专题05 四边形综合4大题型-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（吉林专用）

专题06 四边形综合 题型概览 题型01平行四边形综合 题型02矩形综合 题型03菱形综合 题型04正方形综合 ( 题型01 )平行四边形综合 1.（2025·吉林吉林·二模）如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则△AOB的面积与的面积之比为 ． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，△ABC中，与之和为，将△ABC沿方向平移至处，，则阴影部分周长为 ． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．      ①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则 则上述结论正确的是 ．（填序号即可） 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC． 5.（2025·吉林长春·二模）如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； (2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； (3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长； (4)连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的值． ( 题型0 2 )矩形综合 1.（2025·吉林延吉·二模）如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 3.（2025·吉林松原·二模）如图，是矩形的边上一点，于点，，，，则的长度为（    ）      A． B． C． D．5 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A．（3，） B．（4，） C．（，） D．（5，） 5.（2025·吉林吉林·二模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“纵横比”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行．下列说法正确的序号是 ． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 6.（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，与交于点，若的面积为，，则的值为________． 7.（2025·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD 求证：四边形ADCE是矩形. 8.（2025·吉林吉林·二模）如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 9.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角，连结． (1)求证：； (2)当、、三点共线时，求线段的长； (3)线段的长度的最小值是__________； (4)当点落在矩形的内部时，四边形面积的最大值是__________，此时线段的长度是__________． 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，过点B作交于点E，交矩形的边于点F． (1)在点恰好落在边上时，求的面积； (2)当时，求点A运动的路径长；（参考数据：） (3)当点落在的垂直平分线上时，求点到直线的距离； (4)若，直接写出的值． 11.（2025·吉林松原·二模）【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 12.（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． (1)当四边形是矩形时，线段的长为________； (2)连结交于点O，求证：； (3)当这是等腰三角形时，求的长； (4)直接写出在整个运动过程中的最大值． 13.（2025·吉林长春·二模）【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，∠B=， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 14.（2025·吉林四平·二模）如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． (1)______； (2)当点E在CD上时，______； (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 15.（2025·吉林长春·二模）在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顾时针旋转90°得到，连结． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） (3)如图③，设线段与射线交于点， ①若，此时线段的长度为______； ②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度． ( 题型0 3 )菱形综合 1.（2025·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．    2.（2025·吉林长春·二模）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 3.（2025·吉林长春·二模）已知：如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，且． 求证：四边形是菱形． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 (1)求证：四边形是菱形： (2)若平行四边形的周长为，求的长． 5.（2025·吉林长春·二模）如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ．（诸填写序号） 6.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，菱形的边长为6，，点P在直线上移动．试探究的值最大时点P的位置． 【问题探究】 如图②，梦琪同学的探究步骤如下： 1．射线上取点，使，构造，从而将转化为，因为是定值6，这样就将双变量（）问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题； 2．进一步发现当时，总有，进而可知，连接，因为四边形是菱形，，可知，即，可知点C、E始终在的外接圆上（定弦定角必定圆）．以下是梦琪同学证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，，又∵， ∴．∴ ∵四边形是菱形，∴，且． 证明过程缺失 ∴．请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点的轨迹圆，并标出圆心O，则的最大值是________．（保留作图痕迹） 3.（2025·吉林长春·二模）如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． (1)当时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为_____________； (3)当点落在边上时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 5.（2025·吉林吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． ( 题型0 4 )正方形综合 1.（2025·吉林松原·二模）如图，正方形中，，点E，F分别为边，上一点，且满足，，相交于点G．连接，点H为的中点，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．4 C． D． 2.（2025·吉林松原·二模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，正方形边长为2，在正方形内部，以为直径作半圆，点E是中点，，分别与半圆交于点G，点F，连接． ①；②；③；④；⑤点G、F是半圆的三等分点． 以上说法正确的有 ．（只需填写序号即可） 5.（2025·吉林长春·二模）如图，在正方形中，点E和点F分别是边和的中点，连结、交于点G，点H是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ． 6.（2025·吉林长春·二模）小明在阅读了相关资料后，了解到白银矩形的知识：如果一个矩形满足，这个矩形就称为白银矩形．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求解答下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点O． 【尺规作图】作的角平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【问题探究】结合【尺规作图】中的图形，帮助小明完成“矩形是白银矩形”的证明过程： ∵四边形是正方形， ∴． ∴， 在中，， ∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 证明过程缺失 所以矩形是白银矩形． 请你补全缺失的证明过程． 【问题拓展】小明进一步思考发现，__________． 7.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 8.（2025·吉林长春·二模）在边长为4的正方形中，点P是线段上一动点，取中点O，连接并延长，使，连接，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连接． (1)如图，当点P不与点B重合时，求证：； (2)连接，当是直角三角形时，求的长； (3)线段的最小值为________； (4)四边形的最大面积为________，此时线段的长度为________． 9.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，点在直线上，试探究的值最小时点的位置． 【问题探究】如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样就将双变量问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使的值最小，此时的值是__________．（保留作图痕迹） 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 11.（2025·吉林延吉·二模）如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. (2)【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延申】 如图3，在△ABC中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 12.（2025·吉林延吉·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 13.（2025·吉林松原·二模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】 是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． ( 题型0 5 )多边形综合 1.（2025·吉林长春·二模）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ． 2.（2025·吉林长春·二模）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的大小是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ． 5.（2025·吉林延边·二模）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 6.（2025·吉林长春·二模）某同学用图1的六个全等△ABC纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为 ． 7.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为 度． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形综合 题型概览 题型01平行四边形综合 题型02矩形综合 题型03菱形综合 题型04正方形综合 ( 题型01 )平行四边形综合 1.（2025·吉林吉林·二模）如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则△AOB的面积与的面积之比为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，△ABC中，与之和为，将△ABC沿方向平移至处，，则阴影部分周长为 ． 【答案】16 【详解】解：由平移性质得，， ∵与之和为，， ∴阴影部分周长为， 故答案为：16． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，，于点，于点，且、交于点，、的延长线交于点．      ①；②平分；③，④若，则，⑤若点为中点，则 则上述结论正确的是 ．（填序号即可） 【答案】①③⑤ 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 条件不足，不能得到平分；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④错误； ∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC． 【答案】见解析 【详解】证明： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， ∵AD∥CE AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD=CE， ∵AD=AB． ∴AB=CE． 5.（2025·吉林长春·二模）如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； (2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； (3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长； (4)连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的值． 【详解】（1）解：①过点D作于点， ∴， ∴设， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转得：， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴当点在上时，， ∴； ②∵， ∴当时，最小，即最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：4，； （2）解：①当时，，而 ∴点到的距离为； ②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则， 由题意得，此时， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：，； （3）解：过点作交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 而， ∴， 由上得：， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴由勾股定理得：； （4）解：记与交于点O，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线） ①当时，由平行线分线段成比例定理得：，由上知， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴ ∴， 而， ∴ ， ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线） 同理可得： ， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：或． ( 题型0 2 )矩形综合 1.（2025·吉林延吉·二模）如图，矩形的对角线、交于点，点、分别为、的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵矩形的对角线、交于点， ∴ ∴ ∵点、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴． 故选：C． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把△ADE沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 把△沿折叠，点落在边上的点处， ，， ，， ， ， 故选：C． 3.（2025·吉林松原·二模）如图，是矩形的边上一点，于点，，，，则的长度为（    ）      A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图：    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A．（3，） B．（4，） C．（，） D．（5，） 【答案】B 【详解】∵矩形OABC的顶点A. B在双曲线y= (x>0)上,点A的坐标为(1,2)， ∴2=， 解得：k=2， ∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x， ∵OA⊥AB， ∴设直线AB的解析式为：y=−x+b， ∴2=−×1+b， 解得：b=， ∴直线AB的解析式为：y=−x+， 将直线AB与反比例函数联立得出： y=y=−x+， 解得：x=4，y=或x=1，y=2， ∴点B(4,). 故选B. 5.（2025·吉林吉林·二模）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“纵横比”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行．下列说法正确的序号是 ． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最小的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 该矩形四个顶点中“纵横比”最大的是点． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为，矩形的长为，宽为， 则有，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的“纵横比”是，点的“纵横比”是，点的“纵横比”是，点的“纵横比”是， ，，，， ，，， “纵横比”最小的是点，“纵横比”最大的是点， 说法正确的序号是． 故答案为：． 6.（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，与交于点，若的面积为，，则的值为________． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7.（2025·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD 求证：四边形ADCE是矩形. 【详解】证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点， ∴BD=CD，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°. ∵AE∥BD,DE∥AB， ∴四边形AEDB为平行四边形， ∴AE=BD=CD， 又∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形. 8.（2025·吉林吉林·二模）如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 9.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角，连结． (1)求证：； (2)当、、三点共线时，求线段的长； (3)线段的长度的最小值是__________； (4)当点落在矩形的内部时，四边形面积的最大值是__________，此时线段的长度是__________． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的延长线与的延长线交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图， 当、、三点共线时， ∵点是边的中点，以为斜边向下作等腰直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，，点是边的中点， ∴，， ∴，解得， 又， ∴． （3）解：过点作，过点作于点， ∵在矩形中，，，点是边的中点， ∴，，， ， ， ∵点是边的中点，以为斜边向下作等腰直角， ∴， ， ， ， 为定值，且， 点从点运动沿到点时，点在平行于的直线上运动（点的运动轨迹只占直线的一部分）， 根据垂线段最短，可知当时，最短，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，有， ， ； 即的最小值为1， 故答案为：1； （4）解：过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 延长交于点， ，即， 又， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（3）可知， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ， ∴（）， 设， ∴， ∴，， 四边形的面积 = =， ∵点在矩形内部， ∴，解得， ， ∴当时，四边形的面积有最大值． 即当时，四边形的面积有最大值． 故答案为：，． 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，过点B作交于点E，交矩形的边于点F． (1)在点恰好落在边上时，求的面积； (2)当时，求点A运动的路径长；（参考数据：） (3)当点落在的垂直平分线上时，求点到直线的距离； (4)若，直接写出的值． 【详解】（1）解：当点恰好落在边上时， 由旋转性质可得：， 由矩形的性质可得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ，    ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴点A运动的路径长； （3）解：当点落在的垂直平分线上时，如图所示，    由旋转性质可得， ∵垂直平分， ∴，， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即点到直线的距离是； （4）解：①当点F在上时，如图所示，    由矩形的性质可得， ∵， ∴， 由旋转性质可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点在上， 如图所示，过E作于H点， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上时，    由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过E作于H点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； ∴的值为或． 11.（2025·吉林松原·二模）【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15； （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 12.（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． (1)当四边形是矩形时，线段的长为________； (2)连结交于点O，求证：； (3)当这是等腰三角形时，求的长； (4)直接写出在整个运动过程中的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动， ∴， 当四边形是矩形时，则：，， ∴， ∴， ∵， ∴两点重合， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当点在矩形内时，如图 ∵， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 过点作，延长交于点，则：，， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点在矩形外时，如下图，作于点，于点， ∵，， ∴四边形都为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴，， ∴， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在直角等腰三角形中，， 故：的长为：或 （4）∵，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴当为直径时， 最大，为：． 13.（2025·吉林长春·二模）【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，∠B=， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 【详解】解：问题解决： 如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动． 故答案为：，，， ，（或）； 结论应用： （1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； （2）∵点在以为直径的圆上运动， ∴弦的最大值为直径，此时与重合，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 14.（2025·吉林四平·二模）如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y． (1)______； (2)当点E在CD上时，______； (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图，当点E在上时， 由（1）知， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：； （3）解：如图， 点Q在线段运动时间为， 当时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴y与x的函数关系式为， 当时，延长与交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为， ∵点P在上的运动时间是， 点Q从点B到A再到点C运动时间为， ∴当 时，设与交于点N，与交于点M， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ． y与x的函数关系式为， 综上所述，． 15.（2025·吉林长春·二模）在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顾时针旋转90°得到，连结． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） (3)如图③，设线段与射线交于点， ①若，此时线段的长度为______； ②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度． 【详解】（1）解：由旋转可得 ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①如图， 由旋转可得 ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ②如图，当与射线交于点，过点作于点 由（1）可得 ∴， ∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图，当线段与射线交于点， 同理可得，，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得： ∴ 综上所述，的长度为或． ( 题型0 3 )菱形综合 1.（2025·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．    【详解】证明：点分别是边的中点， ，且， 同理，，且． ∴四边形是平行四边形 又， ， ∴平行四边形是菱形． 2.（2025·吉林长春·二模）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 【答案】20 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由作图过程得， ∴， ∴， ∴，又， ∴菱形面积为． 故答案为：20． 3.（2025·吉林长春·二模）已知：如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，且． 求证：四边形是菱形． 【详解】证明：连接交于， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 四边形是菱形； 4.（2025·吉林长春·二模）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 (1)求证：四边形是菱形： (2)若平行四边形的周长为，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 5.（2025·吉林长春·二模）如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【详解】四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 6.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，菱形的边长为6，，点P在直线上移动．试探究的值最大时点P的位置． 【问题探究】 如图②，梦琪同学的探究步骤如下： 1．射线上取点，使，构造，从而将转化为，因为是定值6，这样就将双变量（）问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题； 2．进一步发现当时，总有，进而可知，连接，因为四边形是菱形，，可知，即，可知点C、E始终在的外接圆上（定弦定角必定圆）．以下是梦琪同学证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，，又∵， ∴．∴ ∵四边形是菱形，∴，且． 证明过程缺失 ∴．请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点的轨迹圆，并标出圆心O，则的最大值是________．（保留作图痕迹） 【详解】解：由【问题探究】的作法可知，， 又∵， ∴． ∴ ∵四边形是菱形， ∴，且 ∴ 又∵ ∴ ∴． 问题解决： 解：尺规作图如下： ∵，为定值， ∴当最小时，最大． 连接交圆于点，交于点，此时最小，即 ．连接，并延长交于点，则，，， ∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形，． ， ∵ 是外接圆的圆心， ∴，（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）， ， ∴ ． ∴， ∴ ． ∴的最大值为． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． (1)当时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为_____________； (3)当点落在边上时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 【详解】（1）解：如图1，， 菱形的边长为，面积为， ， ， 由勾股定理得： （2）如图2，过点作于，过点作于， 由（1）可得：， ，， ， 即点到直线的距离为 故答案为：． （3）如图2，，， ， ， 即：：：：， 如图，过点作于， 设，，， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即正方形的边长为 （4）分两种情况： ①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， 由（3）知：设，，， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点， 同理设，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 5.（2025·吉林吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．           (1)当点Q与点D重合时，x＝______． (2)和之间的距离为______． (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【详解】（1）解：当点Q与点D重合时， 如图， ∵在菱形中，，． ∴． ∵过点P作， ∴， ∴， ∴, ∴ 故答案为： （2）由（1）得到，， ∵在菱形中， ∴， ∵， 即和之间的距离为； 故答案为： （3）当时，如图， ∵， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时，设交的延长线于点， ∵，， ∴ ( 题型0 4 )正方形综合 1.（2025·吉林松原·二模）如图，正方形中，，点E，F分别为边，上一点，且满足，，相交于点G．连接，点H为的中点，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 连接， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 作点B关于的对称点M，连接即为的最短长度， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴的最小值是， 故选：D． 2.（2025·吉林松原·二模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∵为等腰三角形， 当时，点为正方形对角线的中点，如图， ∵    ， ∴； 当时，如图，过点作于，则，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，仅当点和点重合时， ∵点为正方形内部一点， ∴此种情况不符合； 综上，的长为或， 故答案为：或． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是， 故答案为：． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，正方形边长为2，在正方形内部，以为直径作半圆，点E是中点，，分别与半圆交于点G，点F，连接． ①；②；③；④；⑤点G、F是半圆的三等分点． 以上说法正确的有 ．（只需填写序号即可） 【答案】①②③④ 【详解】解：连接， ∵正方形边长为2，以为直径作半圆，点E是中点， ∴，，， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①正确； ∵；， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 根据题意，得， 故， 故， 故④正确； 由， 故， 故， 故点G、F不是半圆的三等分点． 故⑤错误； 故答案为：①②③④． 5.（2025·吉林长春·二模）如图，在正方形中，点E和点F分别是边和的中点，连结、交于点G，点H是延长线上一点，连结，给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵点E和点F分别是边和的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴, ∵ ∴， ∴，即, ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，即，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点作于点，如图， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ， ∴，故⑤错误， 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 6.（2025·吉林长春·二模）小明在阅读了相关资料后，了解到白银矩形的知识：如果一个矩形满足，这个矩形就称为白银矩形．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求解答下列问题： 如图，在正方形中，对角线、交于点O． 【尺规作图】作的角平分线交于点E，过点E作的垂线交于点F，交于点G．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【问题探究】结合【尺规作图】中的图形，帮助小明完成“矩形是白银矩形”的证明过程： ∵四边形是正方形， ∴． ∴， 在中，， ∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 证明过程缺失 所以矩形是白银矩形． 请你补全缺失的证明过程． 【问题拓展】小明进一步思考发现，__________． 【详解】解：（尺规作图）所求图形，如图所示． （问题探究） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， 所以矩形是白银矩形． （问题拓展） 解：∵平分，，， ∴， ∵在正方形中，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【详解】解：在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8.（2025·吉林长春·二模）在边长为4的正方形中，点P是线段上一动点，取中点O，连接并延长，使，连接，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连接． (1)如图，当点P不与点B重合时，求证：； (2)连接，当是直角三角形时，求的长； (3)线段的最小值为________； (4)四边形的最大面积为________，此时线段的长度为________． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴； （2）解：当Q与点A重合时，，如图所示： 此时； 当O、R、D共线时，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知：的长为4或3； （3）解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 则，，， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最小，且最小值为， 即的最小值为2； （4）解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 根据解析（3）设，则点R的坐标为， ， ， ， ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为，此时． 9.（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，点在直线上，试探究的值最小时点的位置． 【问题探究】如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样就将双变量问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使的值最小，此时的值是__________．（保留作图痕迹） 【详解】解：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． ． 又， ． ； 【问题解决】以为直径作圆，连结，交圆于点， 连结并延长，交于点，连结， 点就为所求作的点． 连结， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． ∴． 10.（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 【详解】（1）解：当点落在线段上时， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， 在中，， ， ． （2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示， 则， 四边形为矩形，，，， 四边形和都是矩形， ，； 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当在线段上，线段中点落在线段上时，； ②当点在上时， 线段中点落在线段上， 此时线段和线段共线， 设线段中点为，连接，设交于点，如图所示， 四边形是正方形，为的中点， ，，，， ， 同①可知四边形和都是矩形， ， 线段和线段共线，， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当点在上，线段中点落在线段上时，； 综上，当线段中点落在线段上时，或． （3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ②当点在上时，如图所示， 此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形； ③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示， ，，， ， 此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形； 作于点，设， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； 综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形． （4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示； ②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示， 则四边形和都是矩形， ，； ， ， ； ， ，， ， ，即点为正方形的对角线中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； ③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 重叠部分面积 ， 在中，， ， ， 整理得，， 解得， ，即， ， ， ， 时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； 综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半． 11.（2025·吉林延吉·二模）如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. (1)【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. (2)【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延申】 如图3，在△ABC中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 【详解】（1）解：， 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于 ，交于， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于，与相交于， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交延长线于，连接，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 12.（2025·吉林延吉·二模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点、、、的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分图形的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是； 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：当点与点重合时，如下图所示， 此时， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， 由题意，得， ； 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， 由图可知：， 由可知， ， ； 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， 由题意，得， ， ， 整理得：． 综上所述， 13.（2025·吉林松原·二模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】 是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：四边形AEFG为正方形，证明如下： 在上截取，如下图， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 又平分， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 在上截取，连接，则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3）解：当点在线段上时， 由（2）可知，四边形是正方形， ∵，， ∴， ； 如图，当点在延长线上时，延长至点，使，连接并延长交于点， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ， ， 延长至，使得，连接， ∴，即， ∴， ， ， ∴，即， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ． 综上所述，线段的长为或． ( 题型0 5 )多边形综合 1.（2025·吉林长春·二模）若一个正多边形的一个内角为，则该多边形的边数为 ． 【答案】8 【详解】解：正多边形的一个内角为， 正多边形的一个外角为， 多边形的外角和为， 该多边形的边数为． 故答案为：8． 2.（2025·吉林长春·二模）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 3.（2025·吉林长春·二模）如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正九边形的外角和为， ∴正九边形每个外角的度数是， ∴正九边形每个内角的度数是． 故选：C． 4.（2025·吉林长春·二模）如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 5.（2025·吉林延边·二模）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数 ． 【答案】5 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 6.（2025·吉林长春·二模）某同学用图1的六个全等△ABC纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为 ． 【答案】8 【详解】解：如图2所示，∵图2的外轮廓是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴图3中，这个正n边形的一个内角的度数为， ∴， 解得， 故答案为：8． 7.（2025·吉林伊通满族自治县·二模）如图，在正八边形的外侧作正五边形，连结，，则的大小为 度． 【答案】54 【详解】解：∵多边形是正八方形， ∴ ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， .故答案为：54． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$