精品解析：2025年黑龙江省龙东地区中考四模数学试题

二○二五年升学模拟大考卷（四） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题．总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 2. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 5. 一个直角三角形一条直角边长是，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 6. 若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 8. 如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，轴，轴，D为的中点．若的面积为，则该反比例函数的值为（ ） A B. C. D. 9. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A 14 B. 17 C. 20 D. 24 10. 如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合) ，对角线相交于点过点分别作的垂线，分别交于点交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点在两点的连线上．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 中国航天事业蓬勃发展，彰显了国家强大的科技实力与国防力量．在一次重要的军事演习中，我国成功发射了一枚新型导弹，其最大飞行速度达到了惊人的28470000米/秒．为了更直观地表达这一速度，请将数据28470000用科学记数法表示为________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 14. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 15. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 16. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 17. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的底面半径为______． 18. 如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 19. 如图，在中，，，，点D，E分别为，的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______． 20. 如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为______． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值： ，其中 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 24. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析，所有观众的评分均高于8分，电影评分用x（单位：分）表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：． 下午20名观众的评分在C组的数据是：． 上下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 b 众数 a 9.3 （1）________，________； （2）扇形统计图中D组所对应的扇形的圆心角是________； （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上午、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 25. 在两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 26. 已知中，，垂足E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段的延长线上，时，如图②；当点E在线段的延长线上，时，如图③，请直接写出线段的数量关系． 27. 某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 28. 在平面直角坐标系中，四边形如图所示，与的长是一元二次方程的两个根，且，，动点P从点O出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求出点B和点C的坐标； （2）设以为顶点的四边形面积为S，求S与t的函数关系式； （3）是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年升学模拟大考卷（四） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题．总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. 2x+3x＝5x B. （x﹣y）2＝x2﹣y2 C. x6÷x2＝x3 D. （﹣2xy）2＝﹣4x2y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方运算法则分别进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算正确； B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误； C、x6÷x2＝x4，故本选项计算错误； D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项计算错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项、整式乘法的完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 2. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，数形结合分析是解题的关键． 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形就称为关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 4. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的含义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，根据定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91， 则其中位数为75， 故选：D． 5. 一个直角三角形的一条直角边长是，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，解一元二次方程，再求三角形的面积即可． 本题考查了接一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：解方程得：，舍去， 该直角三角形的另一条直角边长是， 故该三角形的面积， 故选：A． 6. 若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解得情况，求参数的值．解题的关键是掌握整式方程无解和分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键．先将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：方程去分母，得：， 即 ∵整式方程有解， ∴当分式方程有增根时，分式方程无解， ∴， 将，代入整式方程，得：， 即：； 故选：A． 7. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设用个大箱，个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． 8. 如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点B在y轴上，轴，轴，D为的中点．若的面积为，则该反比例函数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的应用，根据线段间的关系利用三角形面积找出关于的方程是解题的关键．设点，根据题意可推出，，，，然后表示出、的代数式，最后利用即可求得值，从而得到答案． 【详解】解：设点， 点在轴上，轴，轴，为的中点 点的横坐标为，， 点，在反比例函数 ， ，，的面积为 故选：C． 9. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（　　） A. 14 B. 17 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意可得，解得， ∴， ∴正方形的周长为， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合) ，对角线相交于点过点分别作的垂线，分别交于点交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点在两点的连线上．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意及正方形的性质，即可判断； ②根据及正方形的性质，得ME=EP=AE＝MP，同理可证PF=NF=NP，根据题意可证四边形OEPF为矩形，则OE=PF，则OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO，AO=AC，故证明； ③根据四边形PEOF为矩形的性质，在直角三角形OPF中，使用勾股定理，即可判断； ④△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形，故④可判断； ⑤连接MO、NO，证明OP=OM=ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可证明． 【详解】∵四边形ABCD正方形，AC、BD为对角线， ∴∠MAE=∠EAP=45°， 根据题意MP⊥AC，故∠AEP=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠APE=45°， 在三角形与中， ∴ASA， 故①正确； ∴AE=ME=EP=MP， 同理，可证△PBF≌△NBF，PF=FN=NP， ∵正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵PM⊥AC，PN⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°， ∴四边形PEOF为矩形， ∴PF=OE， ∴OE+AE=PF+PE=NF+ME=AO， 又∵ME=PE=MP， FP=FN=NP，OA=AC， ∴ PM+PN=AC， 故②正确； ∵四边形PEOF为矩形， ∴PE=OF， 在直角三角形OPF中，， ∴， 故③正确； ∵△BNF是等腰直角三角形，而P点是动点，无法保证△POF是等腰直角三角形， 故④错误； 连接MO、NO， 在△OEM和△OEP中， ∴△OEM≌△OEP，OM=OP， 同理可证△OFP≌△OFN，OP=ON， 又∵∠MPN=90°， OM=OP=ON， ∴M,N,P在以O为圆心，OP为半径的圆上， 又∵∠MPN=90°， ∴MN是圆O的直径， ∴点在两点的连线上． 故⑤正确． 故选择B． 【点睛】本题主要考查几何综合问题，掌握正方形、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 中国航天事业蓬勃发展，彰显了国家强大的科技实力与国防力量．在一次重要的军事演习中，我国成功发射了一枚新型导弹，其最大飞行速度达到了惊人的28470000米/秒．为了更直观地表达这一速度，请将数据28470000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据28470000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，二次根式有意义，根据分母不为0，被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在函数中，， ∴． 故答案为：． 13. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 14. 从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是明确古典概型概率公式（其中是基本事件总数，是事件所包含的基本事件数），准确找出字母的总数以及字母的个数． 先确定拼音“zhongkao”中字母的总数，再确定字母的个数，最后根据古典概型概率公式计算抽中字母的概率． 【详解】从拼音“zhongkao”的个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为． 故答案为：． 15. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，求出不等式的解集，可得，据此即可求解，由不等式组解集的情况得到是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 17. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的底面半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握扇形的面积公式是解题的关键．由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 即得， 所以圆锥的底面圆半径为． 故答案为． 18. 如图，四边形是边长为的菱形，，是的中点，点、分别在，上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】９ 【解析】 【分析】分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，通过证明得到为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到；连接，可得为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一得到，利用线段垂直平分线的性质得到，这样，根据三角形任意两边之和大于第三边，得到，则的值最小为． 本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意将转化为三角形两边之和大于第三边的情形是解题的关键． 【详解】解：分别延长与，设它们交于点，取的中点，延长交延长线于点，连接，，如图， 是的中点， ． 四边形是菱形， ． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ． 同理：， ，． 连接， 四边形是菱形， ，． 为等边三角形， 为的中点， ． 是的垂直平分线． ． 为上一点， ． 当点与点重合时，的值最小为． ， 的最小值为． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，点D，E分别为，的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当，在上方时，由线段中点的定义可得，由三角形的中位线定理可得，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质可得，，，由于点，，在同一直线上，根据勾股定理可得，然后由线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长；②当，在下方时，同理可求得的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，在上方时， 如图， 点D，E分别为，的中点，，， ，，， ， 由旋转的性质可得： ，，， 点，，在同一直线上， ， ； ②当，在下方时， 如图， 点D，E分别为，的中点，，， ，，， ， 由旋转的性质可得： ，，， 点，，在同一直线上， ， ， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质，勾股定理，两直线平行同位角相等，线段中点的有关计算，线段的和与差，利用邻补角互补求角度等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 20. 如图，四边形是边长为1的正方形，点、分别在，轴负半轴上，连接，以的长为边长作正方形，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上：连接，以的长为边长作正方形，点、分别在，轴的正半轴上，依此规律作下去，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 本题考查了规律型：点的坐标，勾股定理．根据题意，找到各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律是关键． 【详解】解：由图形可知，， ， ， ⋯， 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每4次旋转一周． ∴ ∴点在第三象限的角平分线上， ∴． 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【解析】 【分析】利用分式运算法则将进行化简，再求出x的值代入即可． 【详解】解： ∵ ∴将代入化简之后的式子可得：． 【点睛】本题考查分式中的化简求值，分式的混合运算，特殊三角函数值的运算，立方根的运算，负整数次幂的运算，解题的关键是利用分式运算法则将分式进行正确的化简，求出x的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形； （2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 【答案】（1）如图；（2）线段BC旋转过程中所扫过得面积. 【解析】 【分析】(1)关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形； (2)根据旋转图形的性质得出各点的对应点，然后顺次连接，得到三角形.首先得出半径和旋转的角度，然后根据扇形的面积计算法则得出答案. 【详解】(1)如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2， 线段BC旋转过程中所扫过得面积S=． 考点：(1)旋转图形的性质；(2)轴对称图形的性质；(3)扇形的面积计算. 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）已知轴上的动点，连接，若与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将点代入直线中，求出，再求出抛物线的对称轴为，将代入直线中，即可求出点的坐标； （2）根据题意得：，，若与相似，分和两种情况讨论即可； 【小问1详解】 解：将点代入直线中，则， 解得：， ∵抛物线的对称轴为， 将代入直线中，则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， 如图，当时， 此时，， 由（1）知， ∴； 如图，当时， 此时，， ∴， 设， 令中，则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 24. 寒假期间休闲放松，观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评价情况，小川同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析，所有观众的评分均高于8分，电影评分用x（单位：分）表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：． 下午20名观众的评分在C组的数据是：． 上下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 b 众数 a 9.3 （1）________，________； （2）扇形统计图中D组所对应的扇形的圆心角是________； （3）上午有800名观众，下午有600名观众参加了此次评分调查，估计上午、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 【答案】（1）9.4，9.35 （2） （3）1080人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数众数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）先计算出下午20名观众得分在D组的人数，再进一步求解即可； （3）利用样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 解：上午20名观众的得分中，出现次数最多的是9.4分，出现了4次， ∴上午得分的众数是9.4分，即； 由扇形统计图可知：A组数据有人，B组数据有人， 由于C组数据有8人，且， ∴下午20名观众得分的中位数在C组， 按照从小到大排列后，第10和第11个数据的平均数是， ∴； 故答案为：9.4，9.35； 【小问2详解】 解：下午20名观众得分在D组的人数为， ∴扇形统计图中D组所对应的扇形的圆心角是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计上午、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是1080人． 25. 在两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出乙车行驶多长时间，两车之间的距离为240千米． 【答案】（1）70 （2） （3）小时或6小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键； （1）根据函数图象，结合路程、速度与时间的关系，即可求解； （2）先求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）先得出的关系式，再分：当乙车到达C地之前与乙车从C地到达A地前两种情况，根据两车之间的距离为240千米建立方程求解 【小问1详解】 解：由函数图象可知：甲车的速度是千米/时； 故答案为：70； 【小问2详解】 解：由图象可知：乙车的速度是千米/时； ∴乙车从C地到达A地所用的时间为小时， ∴乙车从B地到达A地所用的时间为小时， ∴点F的坐标是， 设线段所在直线的函数解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ， 若两车之间的距离为240千米， 则当乙车到达C地之前时，，即， 解得：（不合题意，舍去） 当乙车从C地到达A地前，，即， 解得：或， 答：乙车行驶小时或6小时时，两车之间的距离为240千米． 26. 已知中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段的延长线上，时，如图②；当点E在线段的延长线上，时，如图③，请直接写出线段的数量关系． 【答案】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）图②：，图③： 【解析】 【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②，当点E在线段延长线上，时， 同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 27. 某校开设智能机器人编程的校本课程，打算购买两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元； （2）若学校预计用不少于14000元且不高于14400元的资金购买两种型号的机器人共40台，则学校共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型机器人模型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元 （2）学校共有3种购买方案 （3）购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，正确理解题意、得出方程和不等式组是解题的关键； （1）设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元，根据题意列出关于x的方程，解方程并检验后即得答案； （2）设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台，根据购买费用不少于14000元且不高于14400元，即可得到关于m的不等式组，解不等式组后再取其解集的整数值即可； （3）设购买两种机器人的花费为y元，根据题意得到y关于m的函数关系式，结合（2）的结果利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模型的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴， 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单价是300元； 【小问2详解】 解：设A型机器人模型购买m台，则B型机器人模型购买台， 根据题意可得：， 解得：， ∵m为整数， ∴，11，12； 答：学校共有3种购买方案； 【小问3详解】 解：设购买两种机器人的花费为y元， 则， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，元， ∴购买A型机器人模型10台，B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 28. 在平面直角坐标系中，四边形如图所示，与的长是一元二次方程的两个根，且，，动点P从点O出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求出点B和点C的坐标； （2）设以为顶点的四边形面积为S，求S与t的函数关系式； （3）是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先通过解方程，求得，，再证明四边形是矩形，从而可求得，，进而求得，再利用正切求得，从而可求得，再求得； （2）分，两段，分别求得S与t的函数关系式； （3）分，两段分别求解，其中分当时 “”、“”、“”三种情况求得的值． 【小问1详解】 解：解方程，得，， 与的长是一元二次方程的两个根，， ，， ， 轴， 过点作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ，， ∴，解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 设运动的时间为t秒， 当时， ∵动点P从点O出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动， ∴，， 又， ∵以为顶点的四边形面积为S， ∴， 当时，点P运动到点B右边， 此时，， ∴， 综上所述，； 【小问3详解】 当时， 当时， 如图，过点作轴于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，解得：； 当时， ，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴无解； 当时， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当时，点P运动到点B右边， ，此时与都不与垂直， 所以与都大于，故不可能是等腰三角形， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $