精品解析：江西省九江市修水县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

七年级质量评估 数学 说明： 1．范围：下册第一章至第三章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是( ) A. B. C. D. 3. 春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为( ) A. 不可能 B. 非常有可能 C. 不太可能 D. 大约的可能 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 的个位数字是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个氢原子的直径约为m,将这个数用科学记数法表示为 _______________________ 8. 在英文单词“”中任意选择一个字母，选到字母“”的概率是______． 9. 已知，，则______． 10. 如图， 已知，，，则_________ 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 12. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则______ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 已知：如图，，．试证明：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： （1）甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 （2）乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 17. 如图，已知，请在网格中按下列要求作图： （1）过点作直线，使得； （2）过点作直线，使得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： （1）随机选择一天，恰好天气预报是雨； （2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 19. 如图，直线相交于点，． （1）若，求的度数； （2）若，求和的度数． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在一个不透明的袋中装有4个白球、1个黑球、5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，“摸到红球”是______事件，“摸到黄球”是______事件；（均填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数． 22. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，将其沿图中虚线剪开，平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成如图2的正方形． （1）观察图2，写出，，之间的等量关系为______， （2）根据（1）中的结论，回答问题：若，，，求的值； （3）如图3，正方形，的边长分别为，若，，求图中阴影部分的面积之和． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，若，则等于______（用含的式子表示）； 【结论应用】 （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，顶点放在上，请你探索并说明与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级质量评估 数学 说明： 1．范围：下册第一章至第三章． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2. 下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【详解】解：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 线段是到直线的垂线段，， 选项B，C，D中与不垂直，选项A符合题意． 故选：A． 3. 春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为( ) A. 不可能 B. 非常有可能 C. 不太可能 D. 大约的可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小概念求解即可． 【详解】解：由图知，袋中白球个数明显多于黑球，且个数超过一半， 所以小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为非常有可能， 故选：B． 4. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 5. 如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 6. 的个位数字是( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则将化为以为底的幂，再根据的正整数次幂个位数字的特征规律解答即可． 【详解】解：， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， … 1220÷4=305， ∴的个位数字是．即的个位数字是 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个氢原子的直径约为m,将这个数用科学记数法表示为 _______________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义：指把一个大于10(或者小于1)的整数记为的形式(其中| 1| ≤| a| ＜| 10| )的记数法，即可得解. 【详解】由题意，得 = 故答案为：. 【点睛】此题主要考查对科学记数法的理解，熟练掌握，即可解题. 8. 在英文单词“”中任意选择一个字母，选到字母“”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 先数出“”中共多少个字母，让字母“”个数除以所有字母的总个数即为所求的概率． 【详解】“”中共9个字母，其中共2个“”， 选到字母“”的概率是． 故答案为：． 9. 已知，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：16． 10. 如图， 已知，，，则_________ 【答案】90° 【解析】 【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小 【详解】 ∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF ∵CF∥DE ∴∠FCD+∠D=180° ∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD) ∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90° ∴∠D―∠B=90° 故答案为：90° 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换． 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 【答案】0.7 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据大量重复试验得到的频率即为事件发生的概率解答即可． 【详解】解：由题意得，这名球员投篮一次，投中的概率约为：． 故答案为：0.7． 12. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则______ 【答案】或或 【解析】 【分析】分，，三类讨论结合平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴或或， 当时， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴ ， 当时， ∵，， ∴, 故答案为或或． 【点睛】本题考查平行线性质求角，解题的关键是分类讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）本题根据积的乘方逆运算进行解答即可； （2）原式先计算乘方，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 已知：如图，，．试证明：． 【答案】 证明：，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行． 根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】略 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值．先用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，最后代入的值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式 16. 请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： （1）甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 （2）乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）C （2） 这个游戏不公平．理由如下： （小颖赢），（小琪赢）， （小颖赢）（小琪赢）， 小颖赢的可能性大，这个游戏不公平 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，游戏的公平性，熟知相关知识是解题的关键． （1）在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可； （2）分别计算出小颖和小琪赢的概率，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，摸到白球的事件属于随机事件， 故选：C； 【小问2详解】 略 17. 如图，已知，请在网格中按下列要求作图： （1）过点作直线，使得； （2）过点作直线，使得． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求， （2） 如图，直线即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了平行线和垂直、网格作图等知识，熟练掌握网格的特征是关键． （1）根据网格的特点作图即可； （2）根据网格的特点作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某景区4月7日～13日一周的天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率： （1）随机选择一天，恰好天气预报是雨； （2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列举法求概率的知识．熟练掌握列举法求概率是解答本题的关键． （1）随机选择一天，共有7种结果，天气预报是雨的有1天，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 随机选择一天，天气预报可能出现的结果有7种，即4月7日晴、4月8日晴、4月9日雨、4月10日阴、4月11日晴、4月12日晴、4月13日阴，并且这些结果出现的可能性相等．恰好天气预报是雨（记为事件）的结果有1种，即4月9日雨，所以． 【小问2详解】 随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月8日晴，4月9日雨）、（4月9日雨，4月10日阴）、（4月10日阴，4月11日晴）、（4月11日晴，4月12日晴）、（4月12日晴，4月13日阴），并且这些结果出现的可能性相等．连续两天恰好天气预报都是晴（记为事件）的结果有2种，即（4月7日晴，4月8日晴）、（4月11日晴，4月12日晴），所以． 19. 如图，直线相交于点，． （1）若，求的度数； （2）若，求和的度数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图，找准各角之间的关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后根据对顶角相等解答即可； （2）根据垂直的定义可得，然后列方程求出，再根据余角和角的和差求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先根据两直线平行 ，同旁内角互补得到，则可证明，进而可证明，则； （2）由平行线的性质可得．再根据角的和差关系和已知条件求出．再根据平行线的性质得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ，， ， ． ， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在一个不透明的袋中装有4个白球、1个黑球、5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，“摸到红球”是______事件，“摸到黄球”是______事件；（均填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； （3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数． 【答案】（1）随机；不可能 （2） （3）后来放入袋中的黑球个数为5个 【解析】 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据事件的分类，即事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，分析判断，即可解题； （2）利用红球的数量除以袋子中球的总数量即可解题； （3）设后来放入袋中的黑球个数为，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可解题． 【小问1详解】 解：从中任意摸出一个球，“摸到红球”是随机事件；“摸到黄球”是不可能事件； 故答案为：随机；不可能； 【小问2详解】 解：由题知，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为． 【小问3详解】 解：设后来放入袋中的黑球个数为，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 依题意，得， 解得． 答：后来放入袋中的黑球个数为5个． 22. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，将其沿图中虚线剪开，平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成如图2的正方形． （1）观察图2，写出，，之间的等量关系为______， （2）根据（1）中的结论，回答问题：若，，，求的值； （3）如图3，正方形，的边长分别为，若，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1） （2）6 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）由条件先求解，再利用三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【小问1详解】 大正方形的面积等于4个小长方形面积和1个小正方形面积之和， ． 【小问2详解】 由（1）得， ． ，， ． ，即， 又， ． 【小问3详解】 四边形，为正方形，边长分别为，， ，， ， ． ， ， ， ． ，， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； （2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，若，则等于______（用含的式子表示）； 【结论应用】 （3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，顶点放在上，请你探索并说明与之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）如图2，过点作． ， ． ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板中的相关计算，熟练掌握平行线的性质和添加辅助平行线是关键． （1）根据平行线的性质和三角板中的角度解答即可； （2）过点作．证明．．由，，即可求出； （3）过点作．证明．．由即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1． ， 又， ． 又， ． （2）如图1，过点作． ， ． 又， ， ． ， ． 故答案为：． （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $