精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

七年级数学学业质量监测卷 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4、答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 某种单细胞生物的表面被一层膜包裹，依靠这层膜吸收氧气和排出二氧化碳．其直径为0.00000017米，将数据0.00000017用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 这里的． 【详解】解：． 故选：D． 2. 已知和互余，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了余角的性质．根据余角的性质直接解答． 【详解】∵和互余，， ∴． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，零指数幂，积的乘方，同底数幂相乘，利用同底数幂相乘法则，合并同类项法则，零指数幂，积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、与不是同类项，无法合并，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 4. 下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式“”解答即可． 【详解】解；A、能用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、能用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、能用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，由内错角相等，两直线平行，即可判断．关键是掌握内错角相等，两直线平行． 【详解】解：和是和被截成的内错角， ． 故选：B． 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘方运算，根据有理数的乘法和乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，分式方程的应用，先利用频率估计概率，再根据概率公式计算．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设口袋中红球有个， 通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近， 可以估计摸到红球的概率是， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：口袋中红球可能有12个， 故选：D． 8. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，由平行线的判定方法得若使直线b与直线c平行，则，即可求解；掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 若使直线b与直线c平行， 要使， 可将直线b绕点A逆时针旋转， 故选：A． 9. 已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值和平方数的非负性，等腰三角形的概念和三角形的三边关系．首先根据绝对值和平方数的非负性求出，，然后根据等腰三角形的概念和三角形的三边关系分情况讨论，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴解得，． 当4是等腰三角形腰时， 三角形三边分别为，4，4，9， ∵，围不成三角形，不符合题意； 当9是等腰三角形的腰时， 三角形三边分别为，4，9，9， ∵，能围成三角形，符合题意； ∴三角形的周长为． 故选：B． 10. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，直接利用三角形外角的性质求出，再利用平行线的性质得出即可．准确利用三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 故选：C． 11. 小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故选：B． 12 观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，13－15小题各3分；16小题第一空2分，第二空1分，把答案写在题中横线上） 13. ______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式的除法．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外无其他差别．摸球前先搅匀，随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】∵将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中， ∴随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是． 故答案为：． 15. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置处，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．根据的度数求出的度数，然后由折叠性质得出，最后由平行线的性质即可以求出的度数． 【详解】解：由折叠知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图1所示，将一张长为，宽为n（m>n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为45，中间空白处的正方形的面积为9， （1）原长方形的面积是______； （2）______． 【答案】 ①. 36 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，进行计算即可； （2）根据长方形的面积为，小正方形的面积为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由题意和图可知：原长方形的面积； 故答案为：； （2）由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴； 故答案：9． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，零指数幂公式，负整数指数幂公式等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据去绝对值，零指数幂公式，负整数指数幂公式，有理数的乘法等运算法则和公式计算即可； （3）根据完全平方公式和平方差公式，以及多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式 ． 18. 在有理数范围内定义一种新运算，规定 （1）求 （2）当时，求值 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式的运算，多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，． 19. （）如图：以的点为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ______（ ） ____________（两直线平行，同旁内角互补） 即 ______（等量代换） 【答案】（1）见解析； （2）；内错角相等，两直线平行；；；． 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规作图作一个角等于已知角、证明三角形内角和定理，解决本题的关键是利用尺规作图正确的作出． 利用尺规作图作一个角等于已知角作出即可； 由可证，利用平行线的性质可知即，等量代换可证． 【详解】（）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，同样长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交前弧于点， 作射线，则， 即为所求； （）解：（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；． 20. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 197 b 480 601 摸到红球的频率 0.61 a 0.59 0.602 0.60 0.601 （1）上表中的a＝______，b＝______； （2）“摸到红球”的频率的估计值是______（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】（1）0.62；301 （2）0.6 （3）袋中还有12个其它颜色的球 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到红球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：0.62；301； 【小问2详解】 由表格的数据可得， 解：“摸到红球”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； 【小问3详解】 解： (个)， 答：除红球外，还有大约12个其它颜色的小球． 21. 在学习了三角形的高之后，某学习小组进一步研究发现，三角形面积公式()变形可得：，适用于已知三角形面积和底边，求三角形高的情况． （1）若三角形的面积为10，底为4，则高为______； （2）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，． ①求中边上的高； ②点P是线段上任意一点，则最短为______． 【答案】（1）5 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题目中的公式，可以求得该三角形的高； （2）①根据等面积法即可求得中边上的高； ②由题意可知，当时，取得最小值，然后根据等面积法可以求得此时的值． 【小问1详解】 解：三角形的面积为10，底为4， 高， 故答案为：5； 【小问2详解】 ①作于点， 由图可知，，， ，， ， 解得， 即中边上的高是； ②当时，取得最小值， 由图可得，， 解得， 故答案为：． 22. 发现 两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方． 验证 （1）一个数为5，另一个数为9，它们的差为4，则的结果是哪个正整数的平方？ （2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该结果是哪个正整数的平方． 延伸 （3）两个差为8的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值． 【答案】（1）的结果是7的平方；（2），该数是的平方；（3）16 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和完全平方式，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得较大的正整数是，则这两个数的和与4的和为，据此可得答案； （3）根据题意可得较大的正整数是，求出，由题意知的和始终为某个数的平方，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴的结果是7的平方； （2）若较小的正整数是n，则较大的正整数是， ∴ ∴该结果是的平方． （3）若较小的正整数是m，则较大的正整数是， ， 由题意知的和始终为某个数的平方， ∴， ∴． 23. 某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） （2）【应用】利用“平方差公式”计算： （3）【拓展】计算： 【答案】（1）①③ （2）16 （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键： （1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可； （2）利用平方差公式进行简算即可； （3）先求出的值，再用原式除以，进行计算即可． 【小问1详解】 解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③ 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵ ∴原式 ． 24. 综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示：   ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示：   ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示：   ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示：   ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学学业质量监测卷 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4、答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 某种单细胞生物的表面被一层膜包裹，依靠这层膜吸收氧气和排出二氧化碳．其直径为0.00000017米，将数据0.00000017用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知和互余，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（ ） A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个 8. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 9. 已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 以上答案均不对 10. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 12. 观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，13－15小题各3分；16小题第一空2分，第二空1分，把答案写在题中横线上） 13. ______ 14. 将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外无其他差别．摸球前先搅匀，随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是______． 15. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置处，若，则______． 16. 如图1所示，将一张长为，宽为n（m>n）的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形，拼成如图2的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为45，中间空白处的正方形的面积为9， （1）原长方形的面积是______； （2）______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） （3） 18. 在有理数范围内定义一种新运算，规定 （1）求 （2）当时，求的值 19. （）如图：以的点为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ______（ ） ____________（两直线平行，同旁内角互补） 即 ______（等量代换） 20. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 197 b 480 601 摸到红球的频率 0.61 a 0.59 0.602 0.60 0601 （1）上表中的a＝______，b＝______； （2）“摸到红球”的频率的估计值是______（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 21. 在学习了三角形高之后，某学习小组进一步研究发现，三角形面积公式()变形可得：，适用于已知三角形面积和底边，求三角形高的情况． （1）若三角形的面积为10，底为4，则高为______； （2）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，． ①求中边上高； ②点P是线段上任意一点，则最短为______． 22. 发现 两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方． 验证 （1）一个数为5，另一个数为9，它们的差为4，则的结果是哪个正整数的平方？ （2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该结果是哪个正整数的平方． 延伸 （3）两个差为8的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值． 23. 某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） （2）【应用】利用“平方差公式”计算： （3）【拓展】计算： 24. 综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$