青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷

绝密★启用前 2024-2025学年海南州高级中学第二学期 高二年级第三次月考考试 数 学 满分：150分 考试时间：120min 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共58分） 1. 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．如图，一套俄罗斯套娃由8个大小各不相同套娃组成，将这8个套娃放置在一个上下两层的展示架上，上层放置3个，下层放置5个，且要求每层的套娃左边都比右边的大，则不同的放置方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．若随机变量服从两点分布，其中，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 5．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击3次，至少击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某单位计划从4名男职工和3名女职工中选2人在周末时间值班，则在周六值班的是男职工的条件下，周日值班是女职工的概率是（   ） A． B． C． D． 7．设，则（   ） A．31 B．32 C．242 D．243 8．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 若，则（   ） A． B． C． D． 10．关于的展开式，下列说法错误的是（   ） A．各项二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1 C．存在常数项 D．的项的系数为80 11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数恰有3个极值点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点 第II卷（非选择题 共92分） 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12．在点处的切线方程为 ． 13．已知随机变量.若，则 . 14．若事件，互斥，，，，则 ． 四.解答题（本小题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 16．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 17．甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球；乙箱中有7个白球，2个黑球． (1)若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列； (2)现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率． 18．某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 19．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2025年高二第三次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D C B C C AD BC 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】通过函数求导代入即可求得参数值. 【详解】∵，∴，解得：. 故选：C. 2．A 【分析】根据题意，只需从8个套娃中任选3枚放在上层，或者任选5枚放在下层都可以达到要求，故得方法数. 【详解】依题意，只需从8枚套娃中任选3枚放上层，有种，因为每层套娃左边都比右边的大， 则上下排法均只有1种，所以不同的摆放方法有种. 故选：A. 3．A 【分析】由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案。 【详解】由题意可知，， 则， 故， 故选：A 4．D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 5．C 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算即可. 【详解】至少击中两次包括击中2次和击中3次, 所以至少击中两次的概率为, 故选:C. 6．B 【分析】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工，则题目所求的即为， 由题意易得，由古典概型可算得，再由条件概率的定义即可算得答案. 【详解】设事件A为周六值班的是男职工，事件B为周日值班的是女职工， 由题意可知，事件AB表示周六值班的是男职工，周日值班的是女职工，二者同时发生， 一共有种符合条件的情况，总情况数有，所以， 由条件概率的计算公式可知. 故选：B. 7．C 【分析】利用二项式定理赋值法求解. 【详解】因为， 令，可得, 令，可得. 所以. 故选：C 8．C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 9．AD 【分析】根据分布列的性质列方程可得，即可判断AB；再根据数学期望和方差的公式、性质求解判断CD. 【详解】依题意得，解得，故A正确，B错误； 而， 则，故C错误； 而， 则，故D正确. 故选:AD. 10．BC 【分析】根据二项式系数和公式即可求解A，利用赋值法即可求解B，利用通项即可求解CD. 【详解】对于A,二项式系数和为，故A正确， 对于B,令，则各项系数和为，故B错误， 对于C, 的通项为，由于不可能为0，故不存在常数项，故C错误， 对于D,令，则，故的项的系数为，D正确， 故选：BC 11．CD 【分析】根据导函数的图象可得导函数的符号，从而可判断原函数的单调区间和极值点. 【详解】根据导数正负得到，上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，故A，B错误，C，D正确. 故选：CD. 12． 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 故答案为： 13．/ 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 因此，. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据互斥事件的性质，结合条件概率的计算公式可得，即可求解，即可由条件概率公式求解.. 【详解】由于事件，互斥， ,故， 故， ， 故答案为： 15．(1)96 (2)60 (3)65 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数； （3）计算比21034大的五位数的个数分两类： 万位比2大的五位数个数是， 万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 16．(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 17．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列； （2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，随机变量的可能取值为， 可得， 所以的分布列为 2 3 4 （2）解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”， 则，，彼此互斥，且， 可得， 且， 所以 18．(1)分布列见解析，（件） (2) (3)应该选择方案一，理由见解析 【分析】（1）先采取分层抽样确定10件产品中一等品和非一等品的数数量，再根据超几何分布求随机变量的分布列及期望即可. （2）根据题意可确定每次抽到三等品的概率为，利用二项分布计算独立重复试验的概率即可. （3）根据题意求得方案二的期望与方案一比较即可判断. 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 （件） （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到三等品的数量为，则， 所以. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， 因为， 所以从采购商小李的角度考虑，应该选择方案一. 19．(1)极小值；极大值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性，再求函数的极值. （2）分情况解一元二次不等式，可得函数的单调区间. （3）分情况讨论，求函数的最大值，根据最大值不大于0，可求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，. 所以. 由或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取得极大值，且； 当时，函数取得极小值，且. （2）当时，，. 所以. 当时，由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. （3）若，当时，，故不合题意； 若，则，所以， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的最大值为：. 所以恒成立； 若，则，. 由；由. 所以函数的最大值为：. 由，所以. 综上可知. 故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$