1.2.1 必要条件与充分条件 学案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.2.1必要条件与充分条件 【学习目标】 1.理解充分条件、必要条件的概念．（重点） 2.能够判断命题的充分条件、必要条件。（难点） 【导学流程】 1、 必要条件 1.概述：一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的 ．也就是说，一旦不成立，一定也不成立，即对于的成立是必要的． 例如，“平面四边形的外角和是”；“若平面多边形为四边形，则它的外角和为”，所以“外角和为”是“平面多边形为四边形”的必要条件； 2、 充分条件 1.概述：一般地，当命题“若则”是真命题时，称是的 ．综上，对于真命题“若，则”，即时，称是的必要条件，也称是的充分条件 例如若点C是线段AB的中点，则，所以“点C是线段AB的中点”是“的充分条件； 三、充要条件 1.概述：一般地，如果，且．那么称是的 ，简称是的 ，记作．当是的充要条件时，也是的充要条件．是的充要条件也常常说成成立当且仅当成立”，或“与等价”． 例如命题和命题，因为命题“若，则，为真命题，并且“若，则，也为真命题，所以是的充要条件； 四、充分条件与必要条件的判断 1.若，则p是q的 ，q是p的 2.充分必要条件 （1）若，则p是去的 （2）若，则p是q的 （3）若，则p是q的 （4）若，则p是q的 ，简称为 ，简记为： 【思维拓展】 问题一：请问若是什么条件关系？ 问题二：若AB，那么A,B之间有什么条件关系？ 问题三：若A=B，那么A,B之间有什么条件关系 【题型专练】 1、 判断条件 1.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有(    ) A. 若，是偶数，则是偶数 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若，则 4.“”是“”的          条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 二、充分必要条件的应用 1.方程有实根的充要条件是          ． 2.若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是          ． 3.若“”是“”的必要不充分条件，，则取值可以是          填一个值即可 三、充分、必要、充要条件与集合的关系 1.设集合是全集的两个子集，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知集合，，则“”是“”的 (    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【当堂检测】 1.   已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 3.设为全集，是集合，则“存在集合使得，”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.设集合是全集的两个子集，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设，是非空集合，则“”是“”的          条件填“充分”或“必要” 6.指出下列命题中，是的什么条件 ， ， ，． 7.指出下列各题中，是的充分条件，还是必要条件． ， ， ，． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1必要条件与充分条件 【学习目标】 1.理解充分条件、必要条件的概念．（重点） 2.能够判断命题的充分条件、必要条件。（难点） 【导学流程】 1、 必要条件 1.概述：一般地，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件．也就是说，一旦不成立，一定也不成立，即对于的成立是必要的． 例如，“平面四边形的外角和是”；“若平面多边形为四边形，则它的外角和为”，所以“外角和为”是“平面多边形为四边形”的必要条件； 2、 充分条件 1.概述：一般地，当命题“若则”是真命题时，称是的充分条件．综上，对于真命题“若，则”，即时，称是的必要条件，也称是的充分条件 例如若点C是线段AB的中点，则，所以“点C是线段AB的中点”是“的充分条件； 三、充要条件 1.概述：一般地，如果，且．那么称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作．当是的充要条件时，也是的充要条件．是的充要条件也常常说成成立当且仅当成立”，或“与等价”． 例如命题和命题，因为命题“若，则，为真命题，并且“若，则，也为真命题，所以是的充要条件； 四、充分条件与必要条件的判断 1.若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 2.充分必要条件 （1）若，则p是去的充分不必要条件 （2）若，则p是q的必要不充分条件 （3）若，则p是q的既不充分也不必要条件 （4）若，则p是q的充分必要条件，简称为充要条件，简记为： 【思维拓展】 问题一：请问若是什么条件关系？ 答：A是B的充分条件，B是A的必要条件 问题二：若AB，那么A,B之间有什么条件关系？ 答：因为，所以A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件 问题三：若A=B，那么A,B之间有什么条件关系 答A是B的充要条件 【题型专练】 1、 判断条件 1.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【分析】本题考查了充要条件及其判断，属较易题． 利用幂函数和指数函数的性质判断即可． 【解答】解：根据幂函数在上单调递增，可知  ， 根据指数函数在上单调递增，可知， 所以， 即“”是“”的充要条件． 2.设：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】解：若，则；但由不一定得到，比如．所以是的充分不必要条件．故选：． 3.（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有(    ) A. 若，是偶数，则是偶数 B. 若，则方程有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若，则 【答案】BCD  【分析】本题考察必要条件的判断，属于基础题．结合选项，逐个判断即可． 【解答】解：是偶数不一定能推出，是偶数，因为，可以是奇数，不符合题意 当方程有实根时，则有 ，显然能推出，符合题意因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意显然由能推出，所以符合题意． 4.“”是“”的          条件填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要” 【答案】必要不充分  【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，是较易题．根据充分、必要条件的定义直接分析即可． 【解答】解：因为推不出，所以是的不充分条件． 因为能推出，所以是的必要条件． 所以是的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 二、充分必要条件的应用 1.方程有实根的充要条件是          ． 【答案】  【分析】本题考查充要条件的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题． 【解答】解：当时，方程为，有实根， 当时，满足则且 综上． 2.若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【分析】本题考查了利用充分、必要条件的定义求参数取值范围问题，需要转化为集合关系解答，属于基础题．根据“”是“”的充分不必要条件，得出，即可解得的取值范围． 【解答】解：因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以，故实数的取值范围是．故答案为：． 3.若“”是“”的必要不充分条件，，则取值可以是          填一个值即可 【答案】答案不唯一，且均可  【分析】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．根据题意，结合“且”是“”的真子集，即可求解． 【解答】解：由题意，“”是“”的必要不充分条件，， 即“且”是“”的真子集， 所以取值可以是．故答案为：答案不唯一，且均可 三、充分、必要、充要条件与集合的关系 1.设集合是全集的两个子集，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【分析】本题考查集合与集合的关系，并、补集的混合运算，充分条件与必要条件的判断．通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【解答】解：若，则； 若，则， 是的充分不必要条件．故选A． 2.已知集合，，则“”是“”的 (    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【分析】先求解的充要条件，再结合已知条件判断．本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件． 【解答】解：当时，或所以“”是“”的充分而不必要条件． 故选：． 【当堂检测】 1.   已知，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A  【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【解答】解：若，则成立， 当时，满足，但不成立． 是的充分不必要条件． 2.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】本题考查找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题． 本题先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案． 【解答】解：命题“，”为真命题，可化为，，恒成立， 即只需，即“，”为真命题的充要条件为， 而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意．故选：． 3.设为全集，是集合，则“存在集合使得，”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【分析】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，属于中档题． 通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的定义，推出结果即可． 【解答】解： 由题意，则，当，可得“”； 若“”能推出存在集合使得，， 为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的充分必要的条件．故选C． 4.设集合是全集的两个子集，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【分析】本题考查集合与集合的关系，并、补集的混合运算，充分条件与必要条件的判断． 通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【解答】解：若，则； 若，则， 是的充分不必要条件．故选A． 5.设，是非空集合，则“”是“”的          条件填“充分”或“必要” 【答案】必要  【分析】本题考查充分、必要条件的判断，属基础题．根据定义判断即可． 【解答】解：由，， 可知“”是“”的必要条件． 故答案为：必要． 6.指出下列命题中，是的什么条件 ， ， ，． 【答案】解：是的必要条件． 是的充分条件． 是的充分条件．  【解析】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据题意逐项判断即可 7.指出下列各题中，是的充分条件，还是必要条件． ， ， ，． 【答案】解： 因为，，所以是的必要条件． 因为，，所以是的充分条件． 因为且 ，，所以是的充分条件．  【解析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断的相关知识，属于基础题． 根据充分、必要条件定义判断即可； 根据充分、必要条件定义判断即可； 根据充分、必要条件定义判断即可． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $$