2.4 用因式分解法求解一元二次方程（分层作业）数学北师大版九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 1．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 3．（2024·山西大同·二模）解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 4．（2023·贵州铜仁·三模）下列哪个数是方程的解（    ） A． B． C．2 D．5 5．（24-25九年级上·江西赣州·期末）方程 的解为 ． 6．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解方程：． 8．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程：． 【题型2 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 10．（2022九年级上·全国·专题练习）解方程，若设，则原方程可化为 ． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 1．（2025·江苏常州·一模）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 4．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 5．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 【题型1 因式分解法解一元二次方程】 1．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相同的实数根 D．有两个不相同的实数根 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据题意先移项再提公因式解出即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：，， ∴方程有两个不相同的实数根， 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）解这个方程最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式． 【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法． A、正确，但不符合题意； B、正确，也符合题意； C、正确，但不符合题意； D、正确，但不符合题意． 故选：B． 3．（2024·山西大同·二模）解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题考查了数学方法，熟练掌握转化的思想是解答本题的关键．根据二元一次方程组和一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解，可知以上两种方法体现了一种重要的数学思想是转化思想． 故选A． 4．（2023·贵州铜仁·三模）下列哪个数是方程的解（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】方程分解得：， 可得或， 解得：或， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江西赣州·期末）方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 利用提取公因式法来求解． 【详解】解：提取公因式得， ，， 解得． 答案为：． 6．（2025·安徽池州·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， ， ，， ， 8．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）利用因式分解法法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可. 【详解】（1）解： 方程化为：，， ∴， ∴或； ∴，． （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 9．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程的根． 利用因式分解法法求解即可． 【详解】解： ， ∴或， ∴， 【题型2 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 【答案】A 【解析】略 10．（2022九年级上·全国·专题练习）解方程，若设，则原方程可化为 ． 【答案】 【分析】根据平方的性质，，然后把代入方程，即可得到答案． 【详解】解： ， 整理得， 把代入方程得， 故答案为：． 【点睛】本题考查换元法，涉及平方的性质，读懂题意，按照所给方程结构特征换元是解决问题的关键． 3．（2025·浙江·模拟预测）已知． (1)求． (2)求当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2)当或5时， 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）由得，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）由， 得． 化简，得． 解得， 当或5时，． 1．（2025·江苏常州·一模）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到且a，b同号，结合得到，整理后，解方程即可． 本题考查了非负性，解方程，求代数式的值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：由得到且a，b同号， ∵ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 故或， 当时，； 当时，； 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 则， 由于，那么， 解得：，故有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故选：C． 3．（2025·湖北·模拟预测）代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程． 设另外两根是的根，由其中一个根为，则可化为，求出，，得到，求解即可． 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 4．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 5．（2025·江苏苏州·一模）定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． （1）先解一元二次方程，然后通过根判断在范围内的个数即可； （2）分两种情况进行讨论，当方程只有一个解时，当方程有2个不相同的解时，分别列出判别式以及不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， 在范围内有1个根， 故答案为：1； （2）当方程只一个解且在范围时， ，即， 解得， ∵此时， ∴， ∴， 当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 3．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$