2.5一元二次方程的根与系数的关系 课堂练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

2.5一元二次方程的根与系数的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足(x1-1)(x2-1)=-1，则m的值为(   ) A．3 B．-3 C．2 D．-2 2．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（    ） A．1 B．-1 C． D． 3．若方程3x2＋7x﹣9＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2等于（    ） A． B． C．﹣3 D．3 4．方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的两个根的符号为(　　) A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 5．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的正实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．有两个异号的实数根 6．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．若为一元二次方程的两个根，则(     ) A． B． C． D． 8．若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（　　） A．10 B．9 C．7 D．5 9．下列关于的一元二次方程的命题中，真命题有　　 ①若，则； ②若方程两根为和，则； ③若方程有一个根是，则． A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 10．若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A． B． C． D． 11．若，是方程的两个实数根，则的值为    A．2015 B． C．2016 D．2019 12．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（    ） A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020 二、填空题 13．设是关于x的方程的两个根，且，则 ． 14．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 ． 15．设、是方程的两个根，、是方程的两个根，则的值为 . 16．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ，q＝ ． 17．已知a、b是方程x2＋x－2016=0的两个实数根，则a2＋2a＋b= ． 三、解答题 18．设是方程的两个根．利用根与系数的关系，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1、x2． （1）当t=m=1时，若x1＜x2，求x1、x2； （2）当m=1时，求t的取值范围； （3）当t=1时，若x1、x2满足3|x1|=x2+4，求m的值． 20．已知一元二次方程的一个根是．求的值和方程的另一个根． 21．已知是一元二次方程的两个根，求的值． 22．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离OP=m，且m使关于x的方程有实数根，求点P与⊙O的位置关系． 23．求一个一元二次方程，使它的两根分别为，． 24．若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？ 《2.5一元二次方程的根与系数的关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C D B A C A 题号 11 12 答案 C B 1．A 【详解】试题分析：根据题意得x1＋x2＝1，x1x2＝－m＋2， ∵(x1－1)(x2－1)＝－1， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝－1， ∴－m＋2－1＋1＝－1， ∴m＝3． 故选A． 点睛：题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝，x1x2＝． 2．B 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 此方程根的判别式，且， 解得且， 又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， 解得或（舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3．C 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：根据题意得，x1x2＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 4．B 【分析】首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=-＜0可知两根异号． 【详解】∵ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）， ∴△=b2+4ac＞0， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2， ∵x1x2=-＜0， ∴两根异号． 故选B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1•x2=．同时考查了根的判别式． 5．C 【分析】根据三角形的三边关系，确定出方程的根的判别式的符号后，判断方程根的情况． 【详解】解： ＝ ∵三角形两边之和大于第三边， ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根 根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根的积是，则两个根一定同号； 两根的和是 ∴方程的两根都是负数． 故方程有两个不相等的负根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式与根的关系，根与系数的关系，三角形三边的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 6．D 【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 7．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴=． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键． 8．A 【详解】解：由题意可知： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，正确运用一元二次方程根与系数的关系及完全平方式可以简便运算． 9．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念判断即可． 【详解】解：①当时，， 则，故①是假命题； ②程两根为和， ， ，故②是真命题； ③方程有一个根是， ， ， ， ，故③是真命题； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程根的概念是解题的关键． 10．A 【详解】这里a=1，b=-7，c=5， 由题意知，12=5，1+2=7， 则= 故选A 11．C 【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 12．B 【详解】解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根， ∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022， ∴m2-m=2022，n2-n=2022， ∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022） =（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022) =(2022-m-2022)((-2022+n+2022) =-mn =2022， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键． 13．2 【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为． 14．0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，再整体代入即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ，， ∴， ∴． 故答案为：0． 15．2772 【分析】根据根与系数的关系，找到a与b，c与d之间的关系，然后化简所求算式；最后将a与b，c与d之间的关系代入求解. 【详解】∵a，b是方程的两个根 ∴            ①                ② ∵c，d是方程的两个根 ∴               ③                  ④ =  ⑤ 将①②代入⑤，得： = 因为c、d是方程的两个根， 所以， 又 ∴ 所以，原式= 故答案为2772 【点睛】本题考查的二元一次方程根与系数的关系的应用，对于方程，、是此方程的两个实根，则，. 16． ﹣2 ﹣3 【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值． 【详解】解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为和， ∴， ∵小红看错了系数q，解得方程的根为和， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣，x1•x2＝，解题关键熟记根与系数的关系． 17．2015 【详解】试题解析：a+b=-1， a是方程的解，则a2+a-2016=0， 即a2+a=2016， 则原式=a2+a+a+b=2016-1=2015． 18．0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 19．（1）x1=1，x2=5（2）t≤且t≠0（3）﹣59或 【分析】⑴根据题意，直接代入即可求解方程的两根； ⑵根据题意，直接代入即可求解； ⑶根据一元二次方程的判别式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可． 【详解】（1）当t=m=1时，方程变形为x2﹣6x+5=0， （x﹣5）（x﹣1）=0， ∵x1＜x2， ∴x1=1，x2=5； （2）当m=1时，方程变形为tx2﹣6x+5=0， 根据题意得t≠0且（﹣6）2﹣4×t×5≥0， ∴t≤且t≠0； （3）当t=1时，方程变形为x2﹣6x+m+4=0， △=（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得m≤5， 则x1+x2=6，x1•x2=m+4， 当x1＜0时，﹣3x1=x2+4，解得x1=﹣5，x2=11，m+4=﹣55，解得m=﹣59， 当x1＞0时，3x1=x2+4，解得x1=，x2=，m+4=，解得m=， ∴m的值为﹣59或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键． 20．，方程的另一个根为1 【分析】先根据一元二次方程2x2-mx-m=0的一个根是x=-，求出m的值，再根据根与系数的关系：x1x2=，x1+x2=-，列出方程求解即可． 【详解】解：将x=-代入， 即：2×(-)²-m(-)-m=0， 解得：m=1， 设方程的另一个根为x2， 则（-）x2=-， 解得：x2=1， m的值是1，这个方程的另一个根是1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系：x1x2=，x1+x2=-，列出方程是本题的关键． 21．1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-，x1x2=-2的值，将所求式子变形后，代入即可求出值． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2+2x-6=0的两个根， ∴x1+x2=-，x1x2==-2， ∴ ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 22．点P在圆上或圆内． 【详解】试题分析：先根据判别式的意义得到△=（2）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，则OP≤2，所以OP≤r，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 试题解析：∵关于x的方程2x2− x+m−1=0有实数根， ∴△=( )2−4×2×(m−1)⩾0，解得m⩽2， 即OP⩽2， ∵⊙O的半径为2， ∴点P在⊙O上或⊙O内． 点睛：本题考查了点与圆的位置关系以及一元二次方程的根的判别式，得出m的取值范围是解题关键. 23．（答案不唯一） 【详解】解：设这个方程为 ∵方程的两个根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，， 即，，若，则，， ∴这个方程可以是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．﹣2＜m＜1或3＜m＜7 【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案． 【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝﹣4×＞0， 整理得：， 即， 根据乘法法则得：或， 解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1， ∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1； 由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3， 解得m＜7； ∵x1x2＝， 解得m＞﹣2． 综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $