第15讲 一元一次方程及其解法（3知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第15讲 一元一次方程及其解法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.了解方程及一元一次方程的概念； 2.整我等式的性质，并能够数量的判断式子的变形是否正确以及能够熟练的应用等式的性质解方程. 3.会正确利用合并同类项解一元一次方程，掌握在解方程的过程中如何“合并同类项”. 4.学会运用移项解形如ax+b=0类型的一元一次方程. 5.了解“去括号”是解方程的重要步骤，会解含有括号的一元一次方程. 6.掌握含分母的一元一次方程的解法. 知识点 1 一元一次方程 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错点】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列式子属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程； B、含有两个未知数，不是一元一次方程； C、未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程； D、不是方程，不是一元一次方程； 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是方程， 故选：B． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键． 把代入方程，判断方程的两边是否相等即可判断． 【详解】解：、把代入，左边右边， ∴符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义得出且， 即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）方程的解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把代入求解即可． 【详解】解：方程的解是， ， 解得： 故选：A ． 知识点 2 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. . 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列利用等式的性质，错误的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，正确，不符合题意； B、由，得到，正确，不符合题意； C、由，得到，正确，不符合题意； D、由，，得到，原选项错误，符合题意； 故选D． 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如下表示解方程的流程，其中第3步的依据是 ． 【答案】等式的性质2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，第3步，，由两边除以5，可得，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，第3步，， 两边除以5， ． 第3步的依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质2． 5．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程：          【答案】；； 【分析】本题考查了的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．利用等式的性质解方程即可． 【详解】解： ， ； 解： ； 解： ． 知识点 3 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列算式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则．去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； B、，原式去括号正确，故此选项符合题意； C、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； D、，原式去括号错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）将方程去分母得到，错误的原因是（   ） A．分母的最小公倍数不是6 B．去分母时等号右边的1漏乘6 C．去分母时符号写错了 D．去分母时不该添加小括号 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，利用等式的基本性质判断即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∴错误的原因是去分母时等号右边的1漏乘6． 故选：B． 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）将方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，根据分数的性质，将分数中的小数化成整数即可． 【详解】解：， ∴ ∴； 故选D． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列做法正确的是 ． ①由移项，得 ②由去分母，得 ③由去括号，得 ④由去括号、移项、合并同类项，得 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算并判断即可． 【详解】解：①由移项，得，故①正确， ②由去分母，得，故②错误， ③由去括号，得，故③错误， ④由去括号得、移项、合并同类项得，故④正确， 故答案为：①④ 5．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟练运用等式的基本性质，通过移项，合并同类项，系数化为1来求解方程． （1）先进行移项，把含的项移到等号—边，常数项移到等号另一边，再合并同类项，最后将的系数化为1； （2）先利用分数的基本性质将方程中分数的分母化为整数，然后去括号，接着移项，合并同类项，最后将的系数化为1． 【详解】解：（1） 移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1：； （2） 方程可化为：， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1：． 【题型 1判断方程及方程的解】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，将分别代入各选项中方程的左边并计算，若左边右边，则是该方程的解；否则，则不是该方程的解． 【详解】解：A.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴A不符合题意； B.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴B符合题意； C.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴C不符合题意； D.将代入的左边和右边，得左边，右边， ∵左边右边， ∴不是方程的解， ∴D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把代入各个选项，观察等式是否成立，判断即可． 【详解】解：A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知下列方程：；；；；；．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数且未知数最高次为一次的方程为一元一次方程， ，，均是一元一次方程， 一元一次方程的个数是个． 故选B． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型 2已知方程及方程的解，求参数】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，正确把x的值代入是解题关键． 把代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：由题意可知， 解得． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程．求m的值及方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，进而解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故原方程可化为， 解得：． 3．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)在（1）的前提下，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，，进而解关于的一元一次方程，即可求解； （2）把代入解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴； （2）解：由（1）得，该一元一次方程为， 移项得， 系数化为1，得． 4．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求和的值； (2)若满足关系式，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程， （1）根据一元一次方程的定义求出的值，把的值代入一元一次方程，解一元一次方程即可求出的值； （2）由（1）把代入绝对值，根据绝对值的意义即可求出的值； 解题的关键是解一元一次方程以及绝对值的意义． 【详解】（1）解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 把代入， 得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 【题型 3利用等式的性质判断正误】 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意； B、若，则，原式变形错误，不符合题意； C、若，则，原式变形正确，符合题意； D、若，则，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式错误，不符合题意； B、若，则，原式错误，不符合题意； C、若，则，原式正确，符合题意； D、若，则，原式错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等式的性质的知识，逐选项进行作答，即可求解； 【详解】解：A、∵， ∴，选项A不符合题意； B、∵， ∴，选项B不符合题意； C、∵， ∴，选项C不符合题意； D、∵， ∴不成立，可能为0；选项D符合题意； 故选：D； 4．（24-25七年级上·北京·期中）下列对等式的变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质对各选项进行判断即可．掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由，得，故选项A正确； B．由，方程两边同时除以，得，故选项B错误； C．由，得，故选项C正确； D．由，得，故选项D正确． 故选：B． 【题型 4利用等式的性质解决天平中的问题】 1．（19-20七年级上·吉林·阶段练习）等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，结合题意，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】观察图形，使等式的两边都加，得到，故A正确； 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可． 【详解】解：设□的质量是a，△的质量是b，〇的质量是c． 根据①，得． 根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得； 根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得； ∵②中天平左侧的质量为，右侧的质量为， ∴左侧的质量右侧的质量， ∴②中天平能平衡， 故选：A． 3．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个〇． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等式性质的应用，设1个重a，1个〇重b，1个重c，根据题意，得出，再利用等式性质求解即可． 【详解】解：设1个重a，1个〇重b，1个重c． 根据题意，得， 将的两边同除以3，得， 将代入，得， ∴， ∴“？”处应放2个〇． 故选：B． 4．（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴，， 相加得：， ∴． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 【题型 5利用移项或合并同类项解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是关于的一元一次方程的解（是常数），那么的值为（   ） A．13 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算．将代入中，计算求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）我们规定，则方程：的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． 根据题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【详解】解：， ，， ， ， 故选A． 3．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 【答案】26或11或6 【分析】本题主要考查的是代数式求值和一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．根据题意分别列出方程，求解后若x为正整数，则满足要求，至解得方程的解不为正整数则停止． 【详解】解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∵x为正整数， ∴满足条件的x的值为26或11或6． 故答案为：26或11或6． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法为解题关键． （1）根据合并同类项，系数化为1的过程求解即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型 6利用去括号或去分母解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则的应用，去括号法则：当括号前是正号时，去掉括号后，括号内的各项符号不变，当括号前为负号时，去掉括号后，括号内的各项符号要变号．掌握去括号法则是解题的关键．根据去括号法则去括号即可． 【详解】解：去括号，， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将移项，得 B．将去括号得， C．将去分母得， D．方程可化为 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、将移项，得，故A不符合题意； B、将去括号得，，故B不符合题意； C、将去分母得，，故C不符合题意； D、方程可化为，故D符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是． 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）将方程去分母，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号．方程的两边同时乘以4，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：． 故选：C． 【题型 7选用合适的方法解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）直接移项即可求解； （2）移项，合并同类项，系数化1即可； （3）去括号，移项，系数化1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：； （3）解： 解得：； （4）解： 解得：． 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）先整理原方程，再按照，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）解下列一元一次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，系数化为1即可； （2）方程将小数化成整数，再去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． （2）解：， 变形为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 4．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型 8一元一次方程的错解问题】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）小红解方程 时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求a的值； (2)求出方程的正确解； (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一） 【分析】本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）把代入方程得到关于a的方程，求解得到a的值； （2）把a的值代入方程，得到关于x的方程，求解即可； （3）根据解题经验提一条合理化建议即可． 【详解】（1）由题意得是方程的解， 把代入方程得 ， 解得， （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴原方程正确的解为． （3）去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一）． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则原方程正确的解是多少？ 【答案】 【分析】把代入方程得到关于a的方程求解得到a的值，再把a的值代入方程，得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得是方程的解， 把代入方程得 ，解得， ∴原方程为，解得， ∴原方程正确的解为． 【点睛】本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 4．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 5．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 【题型 9一元一次方程的同解问题】 1．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 【答案】(1) (2)被污染的常数为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的解法、一元一次方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的方法与步骤成为解题的关键． （1）代入代入方程，然后解一元一次方程即可； （2）先计算方程，设被污染的常数为a，求出方程的解代入，然后解关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：当“█”是1时，原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 设被污染的常数为a， 把代入被污染的方程中得，， ∴， ∴． ∴被污染的常数为． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． 先按步骤解方程，得到该一元一次方程的解后代入方程，即可求得字母的值． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把代入方程， 得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故字母的值为． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，，即，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵，即， ∴， ∴，， ∴． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 【题型 10由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 1．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）若、为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，求的值． 【答案】 【分析】先把方程化简，然后把代入化简后的方程，因为无论为何值时，它的解总是，得出就可求出、的值，进而求得的值． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， ∵无论为何值，它的解总是， ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程组等知识点，熟练掌握解方程的方法是解决此题的关键． (1)先解方程，再利用题中的新定义判断即可； (2)根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值；利用题中的新定义确定出所求即可； (3)根据“友好方程”的定义即可得出关于、的方程组，解之即可得出、的值． 【详解】（1）解：，解得： 而，是“友好方程”； ，解得：， 而，不是“友好方程”； 故答案为：； （2）解：方程的解为， ，解得； （3）解：关于x的一元一次方程是”友好方程”，并且它的解是， ，且， 解得，， 故答案为，． 4．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及“美好方程”的定义，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解出方程的解，根据“美好方程”的定义即可判断； （2）求出关于的方程的解，根据两个一元一次方程的解之和为1求出答案即可． 【详解】（1）解：的解为：， 的解为：， ， ∴方程与方程不是“美好方程”． （2）解：的解为， 的解为， 根据题意可得：， 解得． 5．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据倒数的性质得到新的方程是解题的关键． 分别求出每个方程的解，然后根据倒数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 因为两个方程的解互为倒数，所以， 解得． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识，掌握一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识是解答本题的关键． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，因为两个解的值相差，列出方程求出的值即可． 【详解】解：解关于的方程，得：， 解关于的方程，得：， 因为关于的方程的解比方程的解大， 所以，解得． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行变形判断即可． 【详解】解：，变形为，故①错误； ， 变形为；故②正确； ，变形为；故③错误； ，变形为，故④正确． 故选C． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，最高次数为2，不是1，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意；     C. ，是一元一次方程，符合题意； D. ，未知数的个数为2个，不是一个，不是一元一次方程，不符合题意；     故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； C、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； D、若且，则，故此选项变形不正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·云南临沧·期末）解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握等式的性质2是解题关键．将方程两边同时去分母即可得到答案． 【详解】解：将方程两边同时去分母得：， 故选：B． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 【答案】C 【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 根据题意列方程，解得x的值即可． 【详解】解：若输出的结果为3， 则， 解得：， ， 解得：， ∵， ∴， 综上，输入的x值为或1， 故选：C． 8．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，再系数化1求解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得． 故选：C． 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 11．（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）两个关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，相反数的定义等，解题的关键是求出的解．先求出的解，即可得到方程的解，进而得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解得， 两个关于的方程与的解互为相反数， 是方程的解， ， 解得， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 把关于的方程化成，然后根据关于的一元一次方程的解为，求出关于的一元一次方程的解即可． 【详解】解：， ， 观察知：关于y的方程，形式与变形后的关于x的方程相似， 令． 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程的解为： ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）请你写出一个同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是方程的解．②次数是方程解的绝对值． 这个单项式可以是： ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，单项式的系数，次数的知识，掌握解方程，单项式系数、次数的确定方法是关键． 根据题意，先解方法得到系数，次数即可求解． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， ∴， ∴该单项式为：， 故答案为： ． 16．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17．（24-25七年级上·吉林·期末）现规定一种新的运算符号，规则如下：，例如：，请解答下列问题． (1) ； (2)若，求m的值． 【答案】(1)14 (2)． 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． （）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：14； （2）解：∵，， ∴， 解得． 18．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，一元一次方程，非负性问题等知识，解题的关键是找准等量关系列出方程． (1) 根据绝对值和偶次方的非负性求出、的值，即可得到答案； (2) 根据数轴上两点的距离和线段的中点的性质，得出点C表示的数为； (3) 当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而得出，，再结合，得到关于的绝对值方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， 即点表示的数是，点表示的数是5； 故答案为：，5． （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是5， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点表示的数是． （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表小的数为． ∴，． ∵， ∴， 即或， 解得或． ∴当时，运动时间的值为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元一次方程及其解法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.了解方程及一元一次方程的概念； 2.整我等式的性质，并能够数量的判断式子的变形是否正确以及能够熟练的应用等式的性质解方程. 3.会正确利用合并同类项解一元一次方程，掌握在解方程的过程中如何“合并同类项”. 4.学会运用移项解形如ax+b=0类型的一元一次方程. 5.了解“去括号”是解方程的重要步骤，会解含有括号的一元一次方程. 6.掌握含分母的一元一次方程的解法. 知识点 1 一元一次方程 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错点】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列式子属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A． B． C．3 D．0 5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）方程的解是，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点 2 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. . 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列利用等式的性质，错误的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 3．（2024七年级上·吉林·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如下表示解方程的流程，其中第3步的依据是 ． 5．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程：          知识点 3 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列算式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）将方程去分母得到，错误的原因是（   ） A．分母的最小公倍数不是6 B．去分母时等号右边的1漏乘6 C．去分母时符号写错了 D．去分母时不该添加小括号 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）将方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）下列做法正确的是 ． ①由移项，得 ②由去分母，得 ③由去括号，得 ④由去括号、移项、合并同类项，得 5．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）（1）解方程：； （2）解方程：． 【题型 1判断方程及方程的解】 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知下列方程：；；；；；．其中一元一次方程的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ． 【题型 2已知方程及方程的解，求参数】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的方程的解是，求的值． 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程．求m的值及方程的解． 3．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)在（1）的前提下，求方程的解． 4．（23-24七年级下·海南海口·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求和的值； (2)若满足关系式，求的值． 【题型 3利用等式的性质判断正误】 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25七年级上·北京·期中）下列对等式的变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【题型 4利用等式的性质解决天平中的问题】 1．（19-20七年级上·吉林·阶段练习）等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 3．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（　　）个〇． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【题型 5利用移项或合并同类项解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知是关于的一元一次方程的解（是常数），那么的值为（   ） A．13 B．2 C．1 D． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）我们规定，则方程：的解为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型 6利用去括号或去分母解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程，去括号的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．将移项，得 B．将去括号得， C．将去分母得， D．方程可化为 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）将方程去分母，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型 7选用合适的方法解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 2．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）解下列一元一次方程． (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型 8一元一次方程的错解问题】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）小红解方程 时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． (1)求a的值； (2)求出方程的正确解； (3)根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则原方程正确的解是多少？ 4．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 5．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【题型 9一元一次方程的同解问题】 1．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇同学在解方程时不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是， (1)淇淇同学猜想“█”是1，请你根据猜想算一算x的值； (2)淇淇翻看了该题的答案，发现此方程的解与方程的解相同，求被污染的常数． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【题型 10由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 1．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）若、为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，求的值． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 运用 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 (填写序号) (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值 (3)若关于的一元一次程是“友好方程”，且它的解为，则 ， 4．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； 5．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 4．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·云南临沧·期末）解方程时，去分母后正确的等式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（  ） A． B．1 C．或1 D．5或1 8．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列哪个数是方程的解？（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知，则 （填“”“”或“”）． 12．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）两个关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 13．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 14．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）请你写出一个同时满足以下两个条件的单项式： ①系数是方程的解．②次数是方程解的绝对值． 这个单项式可以是： ． 16．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： (1) (2) 17．（24-25七年级上·吉林·期末）现规定一种新的运算符号，规则如下：，例如：，请解答下列问题． (1) ； (2)若，求m的值． 18．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，并且，满足． (1)点表示的数是_________，点表示的数是_________； (2)是线段的中点，求点表示的数； (3)数轴上的点从（2）问中的点开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点从点开始以每秒5个单位长度的速度沿数轴也向右移动，设运动时间为秒，当时，求运动时间的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$