江苏省南京外国语学校2024-2025学年高一下学期5月阶段性练习数学试题

高一年级数学阶段性练习 2025.5 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，则与向量AB同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 2. 若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 3. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的内角的对边分别为，，.若，，，则的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 12 5. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 10. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 直线与所成的角的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 在平行四边形中，，交于点，若，则__________. 12. 已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则到的距离为__________. 13. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为.在等腰四面体中，，.则该四面体的体积为__________；该四面体的内切球表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知：，且，． （1）求的值； （2）求的值． 15. 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． （1）求实数m的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面． （1）证明：； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的平面角为，求． 17. 如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，分别为的中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值. 18. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值； （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 高一年级数学阶段性练习 2025.5 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面，， 平面， 平面， 又平面， （2） （3）2 【17题答案】 【答案】（1）证明:在中，因为分别为的中点， 根据三角形中位线定理可得：. 又因为平面平面， 根据直线与平面平行的判定定理可得：平面； （2）证明:已知，因为四边形为正方形， 所以，因为和均为正三角形， 所以在中，，所以，根据勾股定理逆定理可知，即，且，在正方形中，， 在三棱锥中，，则，根据勾股定理逆定理可知，即. 因为平面，根据直线与平面垂直的判定定理得：平面. 又因为平面，根据平面与平面垂直的判定定理可得：平面平面； （3） 【18题答案】 【答案】（1） 因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 所以点的曲率为，得， 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面； （2） （3） 设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号（）多边形有条边， 则多面体共有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形的内角之和为， 所以所有多边形的内角之和为， 所以多面体的总曲率为 所以简单多面体的总曲率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $