专题15 轴对称与坐标变换（3知识点+5大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

null 专题15 轴对称与坐标变换 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 坐标系中的对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【题型1 求点关于x轴的对称点的坐标】 例题：（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 【变式训练】 1．（2025九年级下·广东·学业考试）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【题型2 求点关于y轴的对称点的坐标】 例题：（2025·湖南湘西·模拟预测）点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（2025·广东惠州·二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ． 【题型3 求点关于某直线的对称点的坐标】 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（2025·江西抚州·一模）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则 ． 3．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为 ，点B的坐标为 ． 【题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【题型5 坐标与图形变换--轴对称】 例题：（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【变式训练】 1．（2025·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 3．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，A、B、C、D的坐标分别为、，称点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点，下面点关于轴对称点的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（   ） A．6 B．8 C．10 D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是 ． 7．（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 8．（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）若点关于直线成轴对称的点在轴上，则的值为 ． 9．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为 ． 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为 ． 三、解答题 11．（2025·安徽六安·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. (1)画出关于轴对称所得的； (2)在边上确定一点，连接，使得平分的面积. 12．（2025·安徽亳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中作出关于原点对称的； (2)若点关于轴的对称点为点，点为轴上一点，且，则点的坐标为________． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，此时，P点坐标是__________，最小距离是__________． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 15．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标________； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，直接写出点的坐标________． (4)边上的高为________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 轴对称与坐标变换 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 坐标系中的对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【题型1 求点关于x轴的对称点的坐标】 例题：（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025九年级下·广东·学业考试）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出、，进而可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，即得点的坐标，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点的坐标，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【题型2 求点关于y轴的对称点的坐标】 例题：（2025·湖南湘西·模拟预测）点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·广东惠州·二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了代数式求值，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．利用关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，得出，，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若点在x轴上，则点P关于y轴对称的点Q坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在x轴上求出，得，再求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， ∴, ∵点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q坐标是， 故答案为：． 【题型3 求点关于某直线的对称点的坐标】 例题：（24-25八年级上·四川成都·期末）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称，由轴对称的性质得，点关于直线对称的点的纵坐标为，横坐标为，进而可得答案．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于直线对称的点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标是． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·江西抚州·一模）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形，理解关于直线对称的特点是解题关键．由题意可知，横坐标相同，为，纵坐标与5之和的一半为1，为，即可得解． 【详解】解：点关于直线的对称点的横坐标相同，为，纵坐标与5之和的一半为1，为， 即坐标为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则 ． 【答案】3 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性可得，即可求出结果． 【详解】解：点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上， ， ， 故答案为：3． 3．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为 ，点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形 【分析】此题考查坐标与图形的变化-对称，认真观察，找着特点是解题的关键． 根据题意，可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等，又，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到的距离为2，从而可以得出A、B两点的横坐标． 【详解】解：由题可知：可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等， ∵， ∴A、B两点的纵坐标分别为和4， 又∵C到的距离为2， ∴A、B两点的横坐标都为2， ∴A、B两点的坐标分别为． 故答案为． 【题型4 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题坐标与轴对称，勾股定理，作点过于轴的对称点，连接，则：最小值即为的长，进行求解即可． 【详解】解：如图，作点过于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴； 故最小值为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，，点M，N是x轴，线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，过点P作于H，交x轴于点E，连接．则的最小值为的长， 根据，，推出． 【详解】解：过点P作于H，交x轴于点E，连接， 点M，N是x轴，线段上的动点， 的最小值为的长， ，， ． 故对答案为：4． 2．（24-25八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点C是y轴上一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质找到对称点，然后利用勾股定理进行求解即可．作于D，则，，，，得出，由勾股定理求出即可；由题意得出最小，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，点C即为使最小的点，作轴于E，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：作于D， 则，，，， ∴， ∴； 要使的周长最小，一定， 则最小， 作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C， 点C即为使最小的点， 作轴于E， 由对称的性质得： ，， ∴， 由勾股定理得：＝， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【题型5 坐标与图形变换--轴对称】 例题：（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标 ； (2)求的面积； (3)x轴上找一点P，使三角形周长最小，x轴上画出P点位置． 【答案】(1)见解析， (2)5 (3)见解析 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点的位置，再顺次连接即可作图； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图知，点的坐标为； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时三角形周长最小， 则点P即为所求． 【变式训练】 1．（2025·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的（点的对应点分别为）． (2)连接，直接写出的面积． (3)在（1）的条件下，在线段上找出点D，使得的面积是的面积的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了轴对称的性质，网格中求三角形的面积． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）利用割补法求解即可； （3）根据三角形中线的意义，找出点D即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：的面积； （3）解：如图，点D即为所求作． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上. (1)画出关于轴对称的；并写出；；的坐标. (2)求的面积. (3)在轴上找出点，使的周长最小. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据根据点坐标关于轴对称的变换规律分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）解：由图可得， 与关于轴对称， ， 如图，即为所求． （2）解：的面积； （3）解：如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，规定在网格内（包括边界）横、纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点． (1)的顶点坐标分别是A______，B______，C______； (2)与关于x轴对称，A，B，C的对应点分别是，则______； (3)点D是格点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点D坐标为______． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标、作图—轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可得解； （2）根据轴对称的性质作出，再写出的坐标即可得解； （3）根据轴对称的性质画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：如图：即为所作， 由图可得：； （3）解：如图，点、即为所求， 所有符合条件的点D坐标为或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南永州·阶段练习）点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则的值为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键； 根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出x、y，进而可得答案. 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴； 故选：C. 3．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，A、B、C、D的坐标分别为、，称点为点关于轴的对称点，点为点关于轴的对称点，下面点关于轴对称点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，点关于轴对称点的是， 故选：A 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查轴对称最短问题．如图，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接PA，则PA十PB的最小值为的长度． 【详解】解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的最小值为5， 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一束光线从点发出，经过轴上的点C反射后到达轴上点，则光线从A点到B点经过的路线长是（   ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称及勾股定理的应用，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等难度题目．作关于轴的对称点，连接，交轴于点，作，，先证明点三点在同一直线上，在中，利用勾股定理即可求出，也就求出了从点到点经过的路线长． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接，交轴于点， 作，交轴于点， 则关于轴的对称点坐标是，，， 由光线反射的性质可得：， ， 点三点在同一直线上， ， ， 故光线从点到点所经过的路程． 故选：C 二、填空题 6．（24-25八年级下·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，正确掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．当两点关于y轴对称时，它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值、坐标系中的对称 【分析】本题考查关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根是解题关键．根据关于轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而求出，最后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·辽宁铁岭·期中）若点关于直线成轴对称的点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点的坐标特点，轴对称变换，先求出点关于直线成轴对称点的坐标，然后根据该点在轴上，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：点关于直线成轴对称的点坐标为：， 即， ∵关于直线成轴对称的点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·期中）在中，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，要使以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合），则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形的性质 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质等知识，根据题意可得与关于直线成轴对称，据此即可求出的坐标． 【详解】解：∵以点、、为顶点的三角形与全等（与不重合）， ∴与关于直线成轴对称， ∴与关于直线成轴对称， 由题意可得直线为， ∵的坐标为 ∴的坐标为， 故答案为： 10．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，则点关于轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形面积求法，点关于轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，则，然后利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形面积得出斜边上高的长，再由勾股定理求出的长，进而得出点坐标，即可得出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴点， ∴点关于轴对称点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·安徽六安·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，. (1)画出关于轴对称所得的； (2)在边上确定一点，连接，使得平分的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质得出、、的位置，再连线即可； （2）取与格线的交点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求. 12．（2025·安徽亳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中作出关于原点对称的； (2)若点关于轴的对称点为点，点为轴上一点，且，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作关于原点对称的图形，关于轴对称的点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作出、、三点关于原点对称的点、、，再顺次连接即可； （2）设与轴交于点，根据关于轴对称的点的坐标特征得点，再根据求得，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图，设与轴交于点， ， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； (2)请画出关于y轴对称的； (3)在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，此时，P点坐标是__________，最小距离是__________． 【答案】(1)，，； (2)见解析 (3)， 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作出点A，B，C的对应点点，，，连接，，即可； （3）如图，作点A关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接AP，，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）与关于轴对称，，，， ，，； （2）如图，即为所作； （3）如图，作点A关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接AP， ，连接交轴于点 此时，最小距离是． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)画图见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，求解网格三角形的面积：解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依题意， ； （3）解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 理由如下： 由作图可得：， ∴的周长为， ∴的周长最小． 15．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标________； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，直接写出点的坐标________． (4)边上的高为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据轴对称的性质得到点、、，顺次连线即可得到； （2）根据坐标系中位置直接得到； （3）根据轴对称的性质得到，由，得到，求出a，即可得到点的坐标； （4）用等积法求出边上的高． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：点的坐标为； （3）解：∵是内部一点，点P关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （4）解：， ， 设边上的高为h，则： ． 【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，确定直角坐标系中点的坐标，解一元一次方程，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$