专题11 二次根式的加减法（3知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题11 二次根式的加减法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 知识点02 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点03 二次根式的加减法 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型1 最简二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，二次根式不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（湖北省宜昌二十五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级下·天津静海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，被开方数，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项符合题意； C、，可以进行分母有理化，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故答案为：B． 【题型2 化为最简二次根式】 例题：（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 . 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简： ； ： ． 【答案】 7 / 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查的是二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．依据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，，， 故答案为：，7，． 【题型3 已知最简二次根式求参数】 例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】此题考查了同类二次根式的定义及解一元一次方程等知识点，正确理解题意是解答本题的关键． 根据同类二次根式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴，4n-m=2n+1 解得：，． 故答案为：3，5． 3．（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并 ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【题型4 同类二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．． 【详解】解：A、， 与是同类二次根式，故该选项符合题意； B、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D、，，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、和不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 【题型5 求同类二次根式中的参数】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）写出的两个同类二次根式为 ． 【答案】，（答案不唯一） 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴的两个同类二次根式为，． 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 【答案】4或15 【知识点】同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查同类二次根式定义、解一元二次方程等知识，先由与是同类二次根式，得到，其中为实数，且，任意取两个值即可得到答案，熟记同类二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：与是同类二次根式， ，其中为实数，且 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的值可以是4或15（答案不唯一）， 故答案为：4或15． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【知识点】同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，化简二次根式，熟知被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解题的关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：4． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 【题型6 二次根式加减运算】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）化简二次根式，然后合并即可； （2）去括号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握加减运算法则，是解题的关键： （1）直接合并即可； （2）先化简，再合并即可； （3）先化简，再合并即可； （4）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质与加减运算法则是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （3）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （4）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （5）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解； （6）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型7 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)11． 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式加减计算，二次根式乘法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案； （2）利用平方差公式去括号，再计算减法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式，理解最简二次根式的定义是解答关键． 将能化为最简二次根式的进行化简后来进行判定求解． 【详解】解：A．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意； B．是最简二次根式，故此项符合题意； C．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意； D．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意． 故选：B 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列计算中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、利用平方根解方程、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 4．（24-25八年级下·广西贺州·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义成为解题的关键． 将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； B、和的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、和的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误． 故选：C． 5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质、二次根式的减法，根据新定义运算并结合二次根式的性质以及二次根式的减法法则计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南周口·期中）有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的有 个． 【答案】2 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】（1）和不是同类项，不能合并，错误； （2），正确； （3）＝，错误； （4），正确； 其中正确的有2个， 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（24-25七年级下·重庆江津·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要查了二次根式的加减运算： （1）先去括号，再合并，即可求解； （2）先去括号和绝对值，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质，合并同类二次根式的方法，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 14．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)绿地的周长约为42米 (2)8000元 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法、平方差公式与几何图形、二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：绿地的周长： （米）． ∴绿地的周长约为42米； （2）解： （平方米）． ∴购买地砖的花费为（元）． 16．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”． （1）任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； （2）任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 3 a b 1 2 图① 图② 【答案】（1），；（2）． 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次根式的加法和乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意分别列出关于的方程，求解即可； （2）设小圆与竖线相交的空白区域为，依题意列出关于的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 解得：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）设小圆与竖线相交的空白区域为，依题意得： ， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次根式的加减法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 知识点02 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点03 二次根式的加减法 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型1 最简二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·吉林延边·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（湖北省宜昌二十五中教联体2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·天津静海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 化为最简二次根式】 例题：（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）化简： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）把化成最简二次根式的结果为 . 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简： ； ： ． 【题型3 已知最简二次根式求参数】 例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 3．（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【题型4 同类二次根式的判断】 例题：（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各组根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型5 求同类二次根式中的参数】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）写出的两个同类二次根式为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知与是同类二次根式，则的值可以是 （写两个即可）． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【题型6 二次根式加减运算】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【题型7 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）下列计算中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西贺州·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）将化成最简二次根式的结果为 ． 7．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 8．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，则 ． 9．（24-25八年级下·河南周口·期中）有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的有 个． 10．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 12．（24-25七年级下·重庆江津·期中）计算 (1) (2) 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 14．（24-25八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）居民小区有块矩形绿地，绿地的长为米，宽为米．要在绿地内修建一个矩形小花坛（阴影部分），花坛的长为（）米，宽为（）米． (1)求绿地的周长；（参考数值：，，结果精确到1米） (2)除去修建花坛的地方，绿地的其余地方修建成通道．若通道要铺设造价为80元/米的地砖，铺设地砖需要花费多少元？ 16．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”． （1）任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则__________，__________； （2）任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求的值． 3 a b 1 2 图① 图② 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null