专题10 二次根式及乘除法（5知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题10 二次根式及乘除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点03 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 知识点04 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点05 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 【题型1 判断二次根式】 例题：（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在式子（m、n异号）中，二次根式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 根据二次根式有意义条件求范围】 例题：（2025·福建龙岩·二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（2025·北京石景山·二模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可） 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【题型3 二次根式的乘法】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 二次根式的除法】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，化简 ． 【变式训练】 1．（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： ． 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简： ． 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例题：（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型8 复杂的复合二次根式化简】 例题：（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 一、单选题 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）． 7．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）化简二次根式的结果为 9．（24-25八年级下·广东东莞·期中）对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ． 10．（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 15．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题10 二次根式及乘除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点03 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 知识点04 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点05 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 【题型1 判断二次根式】 例题：（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意； B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意； C、是二次根式，故C选项符合题意； D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的识别，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、因为，故是二次根式，符合题意； D、当时，则，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在式子（m、n异号）中，二次根式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案． 【详解】解：根据二次根式的定义可知：为二次根式，不是二次根式， 故选：B 【题型2 根据二次根式有意义条件求范围】 例题：（2025·福建龙岩·二模）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件得出，然后求出的范围即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，则， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·北京石景山·二模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】：8（答案不唯一） 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是8． 故答案为：8（答案不唯一）． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点． 根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【题型3 二次根式的乘法】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)18 (2)15 (3) (4)5 (5)4 (6) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本考查积的算术平方根的性质，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据积的算术平方根的性质求解； （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则计算即可； （5）根据二次根式的乘法法则计算即可； （6）根据二次根式的乘法法则计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可； （）根据二次根式的乘法法则，二次根式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4 二次根式的除法】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式分母中的根号： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握除法法则和二次根式的性质是解题的关键： （1）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （2）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （3）运用除法法则和二次根式的性质化简即可； （4）运用除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3； (2)； (3)3； (4) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算； （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，先计算乘方，再计算二次根式乘法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 【题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，化简 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·新疆伊犁·模拟预测）已知，化简： ． 【答案】1 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1 2．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质， 根据x的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质，可得待求式，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了二次根式的化简及三角形的三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键． 首先利用三角形三边关系得出a的取值范围，进而根据绝对值及二次根式的性质化简即可求出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3、a、6， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例题：（24-25八年级下·甘肃定西·期中）已知，化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：； 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提． 【详解】解：由于二次根式有意义， 所以， 所以， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江西上饶·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简． 先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简． 【详解】因为二次根式有意义，则， 所以． 则． 答案选B． 【题型8 复杂的复合二次根式化简】 例题：（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 2．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【知识点】复合二次根式的化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式；     B．是二次根式；     C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 2．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意可得：，，求出，继而得到，即可得到． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了三角形的三边关系，二次根式的化简，化简绝对值，正确理解三角形的三边关系：两边和大于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系得到，再化简二次根式及绝对值即可． 【详解】解：∵，，是的三边长， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）． 【答案】2 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数是非负数，列出不等式，再确定的值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则，解得，， 故答案为：2（答案不唯一，即可）． 7．（2025·江苏南京·二模）计算的结果是 . 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键.直接化简二次根式进而约分求出答案. 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）化简二次根式的结果为 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点判断出是解题的关键．由题意可知，，那么，然后根据二次根式的化简即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，那么， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东东莞·期中）对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了根式的运算，解题的关键是掌握题中的运算定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广西玉林·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最大值为 ． 【答案】75 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质结合题意计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且n为正整数，是大于1的整数， ∴n的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算． （1）根据二次根式乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3)1 (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再计算二次根式的乘法； （2）利用二次根式的性质（且）计算可得； （3）根据二次根式的乘除法则进行计算即可； （4）先计算括号内的二次根式的除法，再计算乘法可得． 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）原式； （4）原式． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【知识点】求二次根式的值、利用二次根式的性质化简、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 16．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$