专题14 平面直角坐标系中的图形面积问题（2知识点+4大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题14 平面直角坐标系中的图形面积问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.基本图形面积公式：对于规则图形，如三角形、矩形、平行四边形等，直接运用其对应面积公式。例如三角形面积S =ah（a为底边长，h为高），矩形面积S = ab（a,b为相邻两边长），通过坐标计算出边长或底高来求解。 2.割补法与转化思想：当图形不规则时，通过添加辅助线将其分割成几个规则图形，分别计算面积后求和；或者补成一个大的规则图形，用大图形面积减去补上去的图形面积，将复杂图形转化为熟悉的基本图形进行面积计算。 【题型1 与面积有关的点的位置不定产生多解】 例题；（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 【详解】解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 1.（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点和点两点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12， ， 解得， 所以，点的坐标为或． 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案． 【详解】解：如图，由题意，设点坐标是， ∵，， ， ∴，，三角形的边上的高为1， ∴三角形的面积为，三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， 解得或， 则点坐标是或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 【题型2 直接利用面积公式求图形的面积】 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)点或，图见解析； (2) 【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （2）根据点的纵坐标为，即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上 ∴设点， ∵，顶点的坐标为， ∴， ∴，， ∴点或， ∵顶点的坐标为， ∴如图所示：    （2）解：∵顶点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可； （3）根据，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：设点是轴上一点，坐标为， ，， ， ， 即， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，   ， ，， ，， ， ，， ， 点在第三象限， ，， ， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【题型3 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【题型4 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知中，，，，点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、坐标与图形综合 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，关键是要注意M的坐标有两种情况． （1）由A、B的坐标，得到，求出； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，求出，得到，设M的坐标是，得到，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：，，A、B两点间的距离等于6个单位长度， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G， 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，已知点，，， (1)求出点的坐标；（提示：根据面积求） (2)在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的3倍，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了点坐标与图形，熟练掌握三角形的面积关系是解题关键． （1）先根据点的坐标可得，三角形的边上的高为，三角形的边上的高为2，再根据建立方程，解方程即可得； （2）设点的坐标为，求出，，再利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，三角形的边上的高为，三角形的边上的高为2， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由题意，可设点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴三角形的边上的高为， 由（1）可知，， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标是或． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【知识点】绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：当点移动秒时，移动的路程为， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时 ，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，平面直角坐标系中，为长方形，其中点B、D坐标分别为，且a、b满足，点C在x轴的正半轴上，且，连接． (1)求A、C两点坐标； (2)若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿向D点运动． ①如图2，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图3，当点P运动到上时，点P到x轴、y轴的距离分别为，若在线段上存在无数个点P，使（k为常数），求k的值． 【答案】(1)， (2)①存在，或；② 【知识点】坐标与图形综合、求点到坐标轴的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了坐标与图形，涉及算术平方根的非负性，解一元一次方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据算术平方根的平方的非负性求出，继而得到点坐标，再根据长方形的性质求解即可； （2）①分两种情况讨论，用的代数式表示出图形的面积，再建立方程求解； ②连接，利用面积法得到，化简得到，则当点在线段上的任何位置时，均有成立，那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵为长方形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①存在，理由如下： 四边形的面积为：， 当点在上时， ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当点在上时，如图： ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：或； ②连接， 由题意得，， ∴， ∴， ∴当点在线段上的任何位置时，均有成立， 那么若在线段上存在无数个点P，使（k为常数）时，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据的周长，且的值固定，得到当最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：∵的周长，点A、B、C的坐标分别为和， ∴点在轴上，的值为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，如图， ∴， ∴的面积为：； 故选：C． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，点，，，，点A在x轴正半轴上，线段与线段交于点D．若与面积相等，则点A到直线的距离是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴ ∴ ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴，即：． 解得：． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点，点在轴上，三角形的面积是，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形，根据题意得出，设点坐标为，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：， 设点坐标为，由题意得． ， ①当点在轴的正半轴时，则； ②当点在轴的负半轴上时，则． 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 【答案】16 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线等分三角形的面积及平行线的性质，熟练运用三角形的中线等分三角形的面积是解答本题的关键．过点C作，则，先证明，得到，得到，再证明，得到，得到，继而可得，再结合题目条件，利用三角形面积公式求出，继而得解； 【详解】过点C作，则， 又， 又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为 ， ∴， 故答案为：16 7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 8．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 【答案】4或或14 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 三、解答题 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)， (2)5 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， 点，点， 又点， ，， ． 10．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中． (1)写出各顶点的坐标； (2)求出的面积； (3)点P为x轴上一动点，当与面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)7 (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形、求三角形面积等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）在平面直角坐标系中确定点的坐标，即可获得答案； （2）利用割补法求出的面积； （3）根据题意，可得，解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：由图可知，，，； （2）； （3）根据题意，可得， 解得， ∵P点在x轴上， 或． 11．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了轴对称作图、网格求三角形的面积、轴对称求最短路径等知识，准确作图是解题的关键． （1）找到关于y轴对称的对应点，顺次连接即可得到，并写出A1，B1，C1的坐标即可； （2）用长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可； （3）找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，. （2）． （3）如图所示，点P即为所求． 12．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 【答案】(1)； (2)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查的是平移变换的性质，非负数的性质，掌握算术平方根和绝对值的非负性，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，得到点的坐标，根据平移的性质求出点B的坐标； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到答案； 【详解】（1）解： 解得，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ，， ∴点的坐标为， 故答案为：；； （2）设点的坐标为， ∵的面积是的面积的4倍，即 ①当点在线段上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； ②当点在线段延长线上时， 则 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 13．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【知识点】乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 14．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)25 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的平移、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，算术平方根，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）连接，过B作于E，过A作轴于F，则，设C运动的时间为t秒时，，则，根据，可得，即可得解； （3）平移至，则，，根据面积关系可得，当时，的面积最大，求出的面积的最大值即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知：，， 连接，过B作于E，过A作轴于F，则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，； （3）解：平移至，则，， ， 当四边形的面积有最大时，的面积也最大， 当时，的面积最大，的面积的最大值为：， 四边形的面积的最大值为25． 15．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 【详解】（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形面积、算术平方根的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和面积关系是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null 专题14 平面直角坐标系中的图形面积问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.基本图形面积公式：对于规则图形，如三角形、矩形、平行四边形等，直接运用其对应面积公式。例如三角形面积S =ah（a为底边长，h为高），矩形面积S = ab（a,b为相邻两边长），通过坐标计算出边长或底高来求解。 2.割补法与转化思想：当图形不规则时，通过添加辅助线将其分割成几个规则图形，分别计算面积后求和；或者补成一个大的规则图形，用大图形面积减去补上去的图形面积，将复杂图形转化为熟悉的基本图形进行面积计算。 【题型1 与面积有关的点的位置不定产生多解】 例题；（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 1.（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 2．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【题型2 直接利用面积公式求图形的面积】 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【题型3 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【题型4 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知中，，，，点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，已知点，，， (1)求出点的坐标；（提示：根据面积求） (2)在轴上存在一点，使得三角形的面积是三角形的面积的3倍，请求出点的坐标． 2．（24-25七年级下·天津·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则 ； ；点的坐标为 ； (2)在移动过程中，当点移动秒时，求的面积； (3)在（）的条件下，坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图1，平面直角坐标系中，为长方形，其中点B、D坐标分别为，且a、b满足，点C在x轴的正半轴上，且，连接． (1)求A、C两点坐标； (2)若一动点P从A出发，以1个单位/秒的速度沿向D点运动． ①如图2，连接，是否存在某一时刻t，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，求t的值并求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图3，当点P运动到上时，点P到x轴、y轴的距离分别为，若在线段上存在无数个点P，使（k为常数），求k的值． 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，点，，，，点A在x轴正半轴上，线段与线段交于点D．若与面积相等，则点A到直线的距离是（    ） A．4 B． C． D．3 二、填空题 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点，点在轴上，三角形的面积是，则点的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 7．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 8．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 三、解答题 9．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 10．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中． (1)写出各顶点的坐标； (2)求出的面积； (3)点P为x轴上一动点，当与面积相等时，求点P的坐标． 11．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 12．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点D在x轴正半轴上，，且．连接，，，． (1)直接写出点C的坐标为_______；点B的坐标为_______； (2)当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，求点D的坐标； 13．（24-25七年级下·天津西青·期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 14．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点从点出发以每秒2个单位沿轴负方向运动． (1)________，________； (2)如图1，连接、交于点，则当点运动多少秒时，； (3)如图2，点是轴负半轴上的一点，过点作轴的平行线，在直线上取两点、（点在点右侧），满足，．当点运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 15．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$