专题09 立方根（3知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题09 立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【题型1 立方根概念理解】 例题：（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 【题型2 求一个数的立方根】 例题：（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）计算： ． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 3．（湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标新中考“联合调研考试数学试题）的立方根是 ；的平方根是 ． 【题型3 已知一个数的立方根，求这个数】 例题：（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知a的立方根为，则a的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【题型4 立方根的性质】 例题：（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 2．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【题型5 利用开立方解方程】 例题：（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知．求的值 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）求x的值： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）解方程： (1) (2) 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）解方程： (1) (2) 【题型6 平方根与立方根的综合】 例题：（24-25七年级下·江西宜春·期中）已知的算术平方根是0，的立方根是3． (1)求、的值． (2)的平方根． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根和立方根． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 3．（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知的两个平方根分别是，算术平方根为2． (1)求、的值； (2)求的平方根； (3)若的算术平方根是3，求的立方根． 【题型7 立方根的应用】 例题：（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【题型8 与立方根有关的规律探究问题】 例题：（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 2．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 一、单选题 1．（安徽省芜湖市2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·山西大同·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 3．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　） A． B． C．2 D．8 5．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·吉林·期中）的立方根是 ． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 8．（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知，，，，则 ． 9．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 10．（24-25七年级下·山西朔州·期中）蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的边长为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 16．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【题型1 立方根概念理解】 例题：（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．是2的立方根 D．3的立方根是 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了立方根的定义，正确得出各数的立方根是解题关键．利用立方根的定义分别分析得出正确答案即可． 【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误； B、的立方根是，故此选项错误； C、是2的立方根，故此选项正确； D、的立方根是，故此选项错误； 故选：C． 【题型2 求一个数的立方根】 例题：（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根；根据平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根是；的平方根是 故答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·新疆和田·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 3．（湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标新中考“联合调研考试数学试题）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 【题型3 已知一个数的立方根，求这个数】 例题：（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 2．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 3．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 【题型4 立方根的性质】 例题：（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 2．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【题型5 利用开立方解方程】 例题：（24-25七年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知．求的值 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方后解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）原式变形，直接开平方即可； （2）原式变形，直接开立方即可． 本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 2．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以16，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3后开立方得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 【题型6 平方根与立方根的综合】 例题：（24-25七年级下·江西宜春·期中）已知的算术平方根是0，的立方根是3． (1)求、的值． (2)的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，解二元一次方程组，掌握定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得到关于、的方程组，解出、即可； （2）将、的值代入，再计算其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得； （2）解：∵，， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)， (2)算术平方根是4，立方根是 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根与立方根，正确理解相应的定义是解题的关键． （1）根据平方根与立方根的意义，求出a与b的值； （2）求出，再根据算术平方根与立方根的定义求出结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 又的立方根为， ， 解得； ，． （2）由（1）可知：， 的算术平方根为， 的立方根为． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是． (1)求这个正数； (2)求这个正数的立方根； (3)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出，即可求解； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的性质求出，结合（1）中的计算即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得：， 一个数的两个不同的平方根分别是， 这个正数是； （2）这个正数是， 这个正数的立方根是； （3）的立方根是， ， 解得：， 由（1）知， ， 的算术平方根是． 3．（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知的两个平方根分别是，算术平方根为2． (1)求、的值； (2)求的平方根； (3)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． （1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值； （2）求的平方根即可； （3）求出p的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2， ∴，， 解得：，， （2）∵， ∴的平方根是； （3）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 【题型7 立方根的应用】 例题：（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）某区域气象资料表明，当地雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果这场雷雨持续了分钟，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的近似数、利用平方根解方程、平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用，熟练掌握开平方和开立方是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方，可得答案； （2）根据，其中是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴（负值舍）， 答：这场雷雨大约能持续； （2）解：， 把代入， 得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【答案】这个正方体容器的棱长为 【知识点】立方根的实际应用 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键．直接利用圆柱体体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ， 解得：， 答：这个正方体容器的棱长为． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 【题型8 与立方根有关的规律探究问题】 例题：（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 2．（23-24七年级下·湖北宜昌·阶段练习）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 3．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 一、单选题 1．（安徽省芜湖市2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题）若实数与互为倒数，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】倒数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了倒数和立方根，由立方根得，由倒数的定义即可求解，理解倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：， 实数与互为倒数， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西大同·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握求一个数算术平方根，平方根和立方根的方法．根据算术平方根，平方根和立方根的定义即可进行解答． 【详解】解：A、4的算术平方根是2，故A不正确，不符合题意； B、9的平方根是，故B不正确，不符合题意； C、的立方根是，故C不正确，不符合题意； D、8的立方根是2，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查程序框图运算，涉及算术平方根、立方根及有理数和无理数的判断，当时，按照运算程序逐步运算即可得到答案．按照运算程序求解是解决问题的关键． 【详解】解：当时，取算术平方根得到，是有理数，取立方根得到是有理数，取算术平方根得到，是无理数，则输出， 故选：B． 5．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·吉林·期中）的立方根是 ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ， 故答案为： 8．（24-25八年级下·山西临汾·期中）已知，，，，则 ． 【答案】1.285 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．据此进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1.285 9．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 【答案】7 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行求解即可． 【详解】解：，， 故，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）是无理数， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山西朔州·期中）蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的边长为 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握求一个数的立方根的算法是解题的关键．正方体的容积为棱长的三次方，根据求一个数的三次方根的方法即可求解． 【详解】解：设正方体蓄水池的边长为， 根据题意得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)5 (3) (4) (5) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义求出结果即可； （2）根据，得出答案即可； （3）根据，求出结果即可； （4）根据，求出，再根据相反数定义求出结果即可； （5）根据求出结果即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）原方程变形后利用平方根的定义解答即可； （2）原方程变形后利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 所以， 所以， 解得：或； （2）解：原方程可变形为， 所以， 解得． 13．（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 14．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 15．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 【答案】(1)1 (2)， 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中m、n为有理数，为无理数，再按题干提供的方法求解． 本题考查了立方根，无理数的定义；理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解： ，其中，均为有理数， ，． 解得，， 则，1的立方根为1， 的立方根为1． （2）解：将原式整理，得，即， ∵m、n均为有理数， ，． 解得，． 16．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null