第10讲 有理数的乘方（2知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第10讲 有理数的乘方 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2.会求有理数的正整数指数幂； 3.熟练掌握有理数混合运算(含乘方)顺序和法则； 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心. 知识点 1 有理数的乘方 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 有理数乘方运算法则： 【补充】1)[考点]任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2) 平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 1．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，负数有 个． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 知识点 2 含乘方的有理数混合运算 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. . 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 【考点1 有理数乘方的概念】 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加；乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4；丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 4．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【考点2 有理数乘方的运算】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果m的相反数是2，计算的结果为（   ） A．2 B．4 C．1 D． 【考点3 乘方运算的符号规律】 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【考点4 乘方的逆运算(简算)】 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 3．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 4．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 5．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与；②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【考点5 含乘方的有理数混合运算】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在，，，中，最大的数和最小的数的和等于（   ） A． B．5 C．6 D．8 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A．12 B．10 C．-10 D．-6 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（    ）个 ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【考点6 偶次方的非负性的运用】 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）已知，；若，则 ． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，则 ． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如果m、n、k均为整数，且，则 ． 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【考点7 乘方的实际应用】 1．（2025·贵州六盘水·二模）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．在二进制中，只有0、1两个数字，部分十进制数和二进制数转化如下表： 十进制 二进制 则表中的值为(   ) A．110 B．100 C．101 D．1110 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 5．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 6．（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 7．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 【考点8 乘方中的规律探究】 1．（24-25七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ① ，… ② ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第10个数，计算这两个数的和． 2．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 【考点9 程序流程图与有理数计算】 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【考点10 乘方中的新定义问题】 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 3．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 1．（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 5．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读材料，解决问题： 由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，则的值不可能等于（    ） A． B． C．0 D．2 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）化简：，，，，，结果是的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．无法计算 11．（24-25七年级上·四川广安·期末）若n是偶数，则的值是（   ） A．最大的负整数 B．最小的非负数 C．绝对值最小的数 D．最小的正整数 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）以下是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（    ） 姓名：嘉淇    得分： 填空题（评分标准：每道题5分） （1）（2）（3）（4） A．20分 B．15分 C．10分 D．5分 13．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）若，则 ． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）若，，且，，则 ． 15．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如果，则 ． 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 17．（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 18．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 19．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 有理数的乘方 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2.会求有理数的正整数指数幂； 3.熟练掌握有理数混合运算(含乘方)顺序和法则； 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心. 知识点 1 有理数的乘方 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 有理数乘方运算法则： 【补充】1)[考点]任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2) 平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 1．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，负数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，正数和负数的定义等知识点．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：,是负数； ,是正数； ,是负数； 负数有，,共2个． 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值． 根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（天）； 故选A． 知识点 2 含乘方的有理数混合运算 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. . 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键．根据题目中的新定义计算，即可求出的值． 【详解】解：依题意， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．利用有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，则选项A不符合题意； ，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 【考点1 有理数乘方的概念】 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加；乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4；丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘，故甲的观点不正确； ，结果相同，故乙的观点不正确； 中底数是，指数是4，故丙的观点正确； 是4个n相乘，故丁的观点不正确； 所以观点正确的有1个． 故选：B． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案． 【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意； B、的计算结果为，故此选项说法错误，不符合题意； C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意； D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数，据此判断即可． 【详解】解：读作：负的5的平方，表示的是2个5的乘积的相反数，底数是5，指数是2，运算结果为． 读作：负5的平方，表示的是2个的乘积，底数是，指数是2，运算结果为25． 所以，与读法不同，底数不同，结果不同， 故选：D． 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义以及有理数的定义，有理数的乘方，根据相关内容的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负数，是无限不循环小数，不是有理数，故该选项正确，符合题意； B、0没有倒数，但有相反数，即为0，故该选项错误，不符合题意； C、如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数也可以是正数，故该选项错误，不符合题意； D、如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是，故该选项错误，不符合题意； 故选：A 【考点2 有理数乘方的运算】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，以及相反数、绝对值和有理数的乘方，掌握以上只是是解题的关键，先计算各选项，再判断结果为负数的选项． 【详解】A． ，不是负数，该选项不符合题意； B． ，不是负数，该选项不符合题意； C． ，不是负数，该选项不符合题意； D． ，是负数，该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值以及有理数大小比较，解题的关键是先分别化简各数，再根据有理数大小比较规则进行排序． 先计算出的值，再与比较大小． 【详解】解：，， 是负数，9和27是正数， 最小． 又， ， 故选：A． 4．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据乘方运算求得，，的值，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ； 故选：D； 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果m的相反数是2，计算的结果为（   ） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的加法运算，有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．根据相反数的定义可得，再根据有理数的加减运算及有理数的乘方运算求解即可． 【详解】解：和2互为相反数， ， ， ． 故选：C． 【考点3 乘方运算的符号规律】 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 5．（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 6．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可． 【详解】解：当n是偶数时，原式， 当n是奇数时，原式，是正偶数． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键． 【考点4 乘方的逆运算(简算)】 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 3．（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 4．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 5．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 【考点5 含乘方的有理数混合运算】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了求代数式的值，在解答过程中要注意符号的变化． 将直接代入，进行有理数的运算即可． 【详解】解：，则代数式的值为， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在，，，中，最大的数和最小的数的和等于（   ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，根据乘方运算方法，化简各数是关键． 根据有理数的乘方运算，先化简四个数，即可得出最大数与最小数，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴最大的数与最小的数的和：． 故选：B． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A．12 B．10 C．-10 D．-6 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列计算不正确的有（    ）个 ①② ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用有理数的混合运算法则对各式逐一计算即可得到答案． 【详解】解：①，原计算错误； ②，原计算错误； ③，原计算错误； ④，原计算错误， ∴不正确的有4个， 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点6 偶次方的非负性的运用】 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性，有理数的乘方，熟知绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·北京·期中）已知，；若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值和乘方，有理数的大小比较，代数式求值，根据题意确定、的取值是解题关键．根据题意可得，，再分别代入计算求值即可． 【详解】解：，， ，， ， ，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，有理数的的乘方，求代数式的值，正确理解绝对值和平方数的非负性是解题的关键．由题意得，，求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如果m、n、k均为整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数乘方运算，先根据m、n、k均为整数，且，得出，或，，求出，或，，根据，代入求值即可． 【详解】解：∵，m、n、k均为整数， ∴，或，， ∴，或，， ∵， ∴， ∴或， 综上分析可知：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 【考点7 乘方的实际应用】 1．（2025·贵州六盘水·二模）如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（   ） A．253 B．256 C．257 D．259 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，数字类的规律探究，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键．从特殊出发，归纳得到一般规律：n个小时后细胞存活的个数是，再进一步解答即可完成． 【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，； …… n个小时后细胞存活的个数是， 当时，存活个数是． 故选：C． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．在二进制中，只有0、1两个数字，部分十进制数和二进制数转化如下表： 十进制 二进制 则表中的值为(   ) A．110 B．100 C．101 D．1110 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 则， 故选：C． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 5．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 7．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受此启发，你能求出的傎． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【详解】（1）解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是． （2）解： ． 【考点8 乘方中的规律探究】 1．（24-25七年级上·山东日照·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ① ，… ② ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第10个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)， (2)2050 【分析】本题主要考查了数字变化的规律． （1）观察第①行数字，发现后一个数是前一个数的倍，再结合第一个数为，得出第①行的第n个数即可，观察第②行数，发现第②行中的数与第①行中对应数位置之间的关系即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察第①行数可知， 后一个数是前一个数的倍，且第1个数字为， 所以第①行的第n个数可表示为：； 观察第②行数可知， 第②行的数比第①行相应位置的数大2， 所以第②行的第n个数可表示为：； 当时， ，； 所以第①②行的第7个数分别为，， 故答案为：，； （2）解：当时， ，， 则， 即每行第10个数的和为2050． 2．（24-25七年级上·山西长治·期中）探寻规律，学以致用 (1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来： 观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳出的结论是：______． (2)利用上述规律计算下式的值： ． 【答案】(1)连线见详解， (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算，连线，找出规律即可； （2）根据（1）中的规律，先展开，再根据分数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：连线如图所示， ∴； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）用黑色、白色棋子摆成图中的正方形，观察各个图形和对应表达式的变化规律： (1)写出第4个图形对应的表达式； (2)写出第个图形对应的表达式； (3)利用上面发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)4049 【分析】本题主要考查了图形与式子的规律，代数式表示式，有理数的乘方运算，通过观察所给的式子，找到规律，并用规律进行变形应用是解题的关键． (1)根据题干中的规律写出第4个图形对应的表达式即可； (2)总结题干中的规律写出第个图形对应的表达式即可； (3)结合题干所总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第4个图形对应的表达式为， （2）解：观察图形和表达式知，第个图形对应的表达式为； （3）解：由(2)知． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 【答案】(1)①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥ (2)当时，，当时， (3) 【分析】本题主要考查了规律型的知识．归纳所给式子的特点，得出其规律是解题的关键． （1）计算出各个数的乘方，再比较大小即可； （2）根据（1）中的运算总结，并用含n的式子表示两数的乘方，以及大小关系，并分析的取值情况； （3）根据（2）中得出的规律直接得出结论即可． 【详解】（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，， ∴； ⑤∵，， ∴； ⑥∵，， ∴； … 故答案为：；；；；； （2）由（1）知，对于正整数n，当时，，当时，； （3）由（2）知，． 故答案为：． 【考点9 程序流程图与有理数计算】 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，根据程序流程图计算并比较大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵开始输入的值为， ∴， ， ， 故最后输出的结果是， 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算得出规律运算每次一个循环，即可得解． 【详解】（1）解：若输入的是，运算次后结果为， 运算次后结果为，即第2次输出的结果为； （2）解：若输入的是， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， …， 故运算每次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 【考点10 乘方中的新定义问题】 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)， 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）， ，， 解得，． 3．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算； （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴， 解得． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）定义一种新的运算“*”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、绝对值，掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据规定的新运算法则直接计算即可； （2）先求出的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据乘方的意义得出算式，求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，再把所得结果相加即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南常德·期末）阅读材料，解决问题： 由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为7； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为8； ∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， ∵， ∴的个位数字是7． 故选：D． 6．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘方的意义．根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米． 【详解】解：∵， ∴第2次后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米． 故选：C． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法的运算法则进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，则的值不可能等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的加法运算，根据题意，得到，分情况讨论进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当四个数均为时：； 当四个数均为时：； 当四个数中有1个时：； 当四个数中有2个时：； 当四个数中有3个时：； 故的值不可能等于：； 故选B． 9．（24-25七年级上·福建泉州·期末）化简：，，，，，结果是的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值意义，相反数定义，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，根据有理数乘方运算法则，绝对值意义，相反数定义，有理除法运算法则进行计算，再判断得出结果即可． 【详解】解：，，，，， ∴结果是的有3个， 故选：C． 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知与互为相反数，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识．新根据相反数的定义得出，然后根据非负性可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级上·四川广安·期末）若n是偶数，则的值是（   ） A．最大的负整数 B．最小的非负数 C．绝对值最小的数 D．最小的正整数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的相关定义，乘方的运算法则，掌握有理数的相关概念，乘方运算法则是解题的关键． 当为偶数时，；当为奇数时，，由此即可求解． 【详解】解：∵是偶数， ∴，是最小的正整数， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）以下是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（    ） 姓名：嘉淇    得分： 填空题（评分标准：每道题5分） （1）（2）（3）（4） A．20分 B．15分 C．10分 D．5分 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解本题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算，判断即可． 【详解】解：（1），正确，得5分； （2），正确，得5分； （3），不正确，得0分； （4），不正确，得0分． 他最后得分为：（分）． 故选：C． 13．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值的意义，代数式求值，求出、的值是解题关键．根据平方和绝对值的非负性，求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东聊城·期末）若，，且，，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了代数式求值，绝对值，根据题意，利用绝对值的代数意义求出m与n的值，即可求出的值． 【详解】解：∵，，且，， ∴，， ∴． 故答案为：9． 15．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，乘方，根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，再代入式子计算乘方即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解题的关键是将黑圈和白圈转化为二进制的数字及二进制与十进制数字的转换方法． 由图知“”记为数字1，“”记为数字0，将各情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得． 【详解】解：由图知“”记为数字1，“”记为数字0， 则表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ∵用数字表示为“”， ∴表示的数为， 故答案为：25． 17．（24-25七年级上·河南安阳·期末）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么_______，______； ②已知，那么_______，_______． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动_______位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动______位． （3）已知，，．填空： ①________； ②_______． 【答案】（1）①121，；②，；（2）①两；②三；（3）； 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据有理数的乘方运算得出结论即可； （2）通过观察底数的小数点移动的位数与结果的小数点移动的位数得出规律即可求出结果； （3）根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）①已知，那么，； ②已知，那么，． （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位． （3）①； ②． 18．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的乘方运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据题意列出运算式子，计算有理数的乘方与加法即可得； （2）①根据前面三个等式，归纳类推出一般规律即可得； ②将式子变形为，再利用（2）①的结论计算即可得． 【详解】（1）解： ， 答：截取的棍棒总长度是． （2）解：①， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：； ② ． 19．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先进行括号内计算，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【答案】[理解]（1）2，1，11；（2）D；[迁移] ；[创新] 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． [理解]（1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； [迁移]将25写成即可得出答案； [创新]先将二进制数转化为十进制数为89，再将十进制数89写出即可． 【详解】[理解]（1）解：， 故答案为：2，1，11； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：D； [迁移]解：， ∴十进制数25转化为二进制数为； [创新]解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$