第08讲 有理数的乘法（3知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第08讲 有理数的乘法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度. 知识点 1 有理数的乘法 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 法则的推广：1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 3）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列四个式子中运算结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建三明·期中）定义“”运算：，则的运算结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 知识点 2 有理数的运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. . 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在括号里填写的运算依据是（    ） 解：原式…（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法交换律和结合律 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则下列代数式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北·二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 知识点 3 倒数 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 【补充】 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）ab=1a，b互为倒数；ab=-1a，b互为负倒数； 3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数必定同号； . 1．（2024·河南·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则a与b的关系正确的是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．a大于b 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 5．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ． 【考点1 有理数乘法法则的辨析】 1．（24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）下列说法：①0的倒数是0；②如果且，那么，异号且负数的绝对值较大；③如果，那么，中至少有一个为0；④几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①一个数同1相乘，仍得这个数； ②一个数同相乘，得这个数的相反数； ③一个数同0相乘，得0； ④互为相反数的两数的积是1； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（    ） A．都为 B．只有一个 C．至少有一个 D．有两个数互为相反数 【考点2 利用有理数乘法辨别符号】 1．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）若，，则下列正确的是（   ） A．， B．， C．异号，且 D．异号，且负数的绝对值大 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 3．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）4个数相乘，积为负，那么其中负因数的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若有理数a，b，c满足，，则a，b，c中负数的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点3 有理数乘法的运算】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知，且，则 ． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 【考点4 有理数乘法的运算律】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）的根据是（   ） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 2．（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）对于算式的结果，下列说法不正确的是（   ） A．能被2024整除 B．能被2023整除 C．不能被2025整除 D．能被2021整除 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川内江·期中）计算： ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【考点5 利用有理数乘法运算律进行简便运算】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式              乙同学：原式              A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 3．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： ． 5．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点6 有理数乘法的实际应用】 1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某商品原价400元，价格先上调，再下调出售，现价和原价相比，结论正确的是（   ） A．现价比原价高 B．现价比原价低 C．价格相同 D．无法比较 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）一天下午，某出租车以希望小学为出发点在东西方向营运，行车情况依先后次序记录如下（向东为正方向，单位：）： ，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在出发点位置的东边还是西边？离出发点多远？ (2)若出租车在行驶过程中，每千米耗油升，出租车一下午共耗油多少升？ 6．（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 【考点7 求一个数的倒数】 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习） ，的倒数是 4．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： 5．（2024七年级上·全国·专题练习）比较和的大小． 【考点8 相反数，绝对值，倒数的综合应用】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．求代数式的值． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是4． (1)填空： ； ； ． (2)求：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 4．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【考点9 有理数乘法运算中的新定义问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．11 B． C．5 D． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．其运算符号意义不变，按上述规定计算的值为（   ） A．－1 B．－2 C．－5 D．－4 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有，例如：，则 ． 4．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是 ． 5．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【考点10 有理数乘法运算中的规律问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 5．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是 ． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（   ） A． B．25 C．15 D．20 6（24-25七年级上·山东日照·期末）若一个数的倒数是，则这个数的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 8．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 9．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 10．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 12．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 13．（24-25七年级下·北京·开学考试）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 16．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）临近春节，小芳和妈妈一起去超市买了一盒酥饼（共计6枚）．回家后妈妈要求小芳用电子秤（最大称重量），结合所学知识判断这盒月饼的质量是否合格．小芳仔细地看了标签和包装袋上的有关说明，包装说明上标记的每盒酥饼质量合格标准为克．小芳选取个恰当的标准质量，她把超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，然后把6枚酥饼分别进行称重，列出表格如下（数据不完整）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量（克） 71 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是____________克，____________克，____________克； (2)试判断这6枚酥饼中质量最重比最轻的重多少克； (3)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数的乘法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度. 知识点 1 有理数的乘法 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 法则的推广：1）两个或多个非零有理数相乘时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0. 3）几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数.（口诀：奇负偶正，绝对值相乘.） 【补充】1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 2）有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为分数或小数，再相乘. 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列四个式子中运算结果为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数减法，乘法与除法运算的含义，先判定，再利用有理数的运算法则逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴四个式子中运算结果为正数的是， 故选：A． 3．（24-25七年级上·福建三明·期中）定义“”运算：，则的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则，并正确计算是解题的关键．根据定义的新运算列式，再进行计算即可． 【详解】解：由， 得 ， 故选：C． 4．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 根据题意分别计算出套餐和套餐的花费，然后比较大小即可． 【详解】解：解：套餐每买2杯的花费为（元）， 套餐每买3杯话费为（元）， 买6个套餐的花费为（元）； 买4个套餐的花费为（元）； 买3个套餐，2个套餐的花费为（元）； 买2个套餐，3个套餐，则（杯），不符合题意； ， ∴买4个套餐花费最少， 故选：B． 知识点 2 有理数的运算律 运算律 文字描述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等. 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 【易错点】1）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. . 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在括号里填写的运算依据是（    ） 解：原式…（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，因为，所以运算依据是乘法交换律和结合律，即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则下列代数式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】 把代入原式， 故选：B． 3．（2022·河北·二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 5．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 3 倒数 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.用式子表示为（其中a≠0） 【补充】 1）0没有倒数，倒数等于它本身的数是1和-1； 2）ab=1a，b互为倒数；ab=-1a，b互为负倒数； 3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，即互为倒数的两个数必定同号； . 1．（2024·河南·三模）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则a与b的关系正确的是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．a大于b 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴a与b互为相反数， 故选：B． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和是倒数， 故选：B． 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 5．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）的相反数的倒数是 ；的倒数是 ；倒数等于它本身的数是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的知识点是倒数、相反数和绝对值的相关知识，掌握以上知识是解答本题的关键：相反数的定义：“只有符号不同的两个数是互为相反数”；倒数的定义：“若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数”；绝对值的定义：“这个数在数轴上的点到原点的距离”； 本题分别根据倒数、相反数与绝对值的定义求解即可得出结论． 【详解】解：的相反数是，的倒数是；先将化简为，再化简绝对值为，的倒数为；倒数等于它本身的数是或； 故答案为：；；或． 【考点1 有理数乘法法则的辨析】 1．（24-25七年级上·河南焦作·阶段练习）下列说法：①0的倒数是0；②如果且，那么，异号且负数的绝对值较大；③如果，那么，中至少有一个为0；④几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数定义、根据式子判断符号、有理数乘法等知识，根据倒数定义、根据式子判断符号、有理数乘法等知识逐项判断各种说法即可得到答案，熟记倒数定义、根据式子判断符号、有理数乘法等知识是解决问题的关键． 【详解】解：①根据分母不能为可知，的倒数是说法错误，不符合题意； ②如果且，那么，异号且负数的绝对值较大，原说法正确为，符合题意； ③如果，那么，中至少有一个为0，原说法正确为，符合题意； ④几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，需要考虑因数中有没有0，如果含有0的因数，结果为0，符号与负因数的个数无关，原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的说法是②③， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列说法正确的有（　　） ①一个数同相乘，仍得这个数；②一个数同相乘，得这个数的相反数；③互为相反数的两数之积一定是负数；④两个数相乘得，则这两个数都为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，相反数的定义，根据有理数的乘法运算法则，相反数的定义等知识进行判定即可求解． 【详解】解：①一个数同相乘，仍得这个数，正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，正确； ③互为相反数的两数之积一定是负数或，错误； ④两个数的乘积为，则这两个数至少有一个为，错误． 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列结论中，错误的是（    ） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若三数相乘的积为负，则这三数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用，根据有理数的乘法法则判断即可，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】．根据同号两数相乘，积为正，因此本选项正确； ．异号两数相乘得负，故本选项正确； ．几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项正确； ．可以是一个负数，两个正数，故本选项错误； 故选：． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①一个数同1相乘，仍得这个数； ②一个数同相乘，得这个数的相反数； ③一个数同0相乘，得0； ④互为相反数的两数的积是1； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则逐项判断即可． 【详解】解：①一个数同1相乘，仍得这个数，原说法正确； ②一个数同相乘，得这个数的相反数，原说法正确； ③一个数同0相乘，得0，原说法正确； ④互为相反数的两数的积不是1，原说法错误； ⑤若两个数的乘积为0，则这两个数至少一个为0，原说法正确； ∴说法正确的有4个， 故选：C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）有个有理数相乘，结果为，那么这个数（    ） A．都为 B．只有一个 C．至少有一个 D．有两个数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘以任何数都等于是解题的关键． 根据乘以任何数都等于解答． 【详解】解：有个有理数相乘，结果为， 故这个有理数至少有一个为； 故选：C 【考点2 利用有理数乘法辨别符号】 1．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）若，，则下列正确的是（   ） A．， B．， C．异号，且 D．异号，且负数的绝对值大 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的性质的运用，理解有理数加法和乘法运算法则是解题的关键．由且，可得异号且负数的绝对值大，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴异号， ∵， ∴负数的绝对值大，即选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）下列结论中，错误的是（　　） A．若两数相乘的积为正，则这两数同号 B．若两数相乘的积为负，则这两数异号 C．几个不为的数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．若五数相乘的积为负，则这五数都为负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则的应用．根据有理数的乘法法则判断即可． 【详解】解：A、若两数相乘的积为正，则这两数同号，故本选项不符合题意； B、若两数相乘的积为负，则这两数异号，故本选项不符合题意； C、几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故本选项不符合题意； D、若五数相乘的积为负，则负因数的个数有1个或3个或5个，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）4个数相乘，积为负，那么其中负因数的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的乘法．多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．根据有理数的乘法法则可得答案． 【详解】解：∵4个数相乘，积为负， ∴其中负因数的个数为1或3， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若有理数a，b，c满足，，则a，b，c中负数的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查利用有理数乘法和加法的符号，来判断有理数的符号．熟练掌握有理数的乘法运算法则：“同号为正，异号为负．”加法法则：“同号相加，取相同的符号，异号相加，取绝对值大的符号．”是解题的关键． 根据有理数的乘法法则：同号为正，异号为负，以及互为相反数的两数之和为0，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意； ∴三数中有两数为负，一数为正． 故选：B． 【考点3 有理数乘法的运算】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列乘积的结果，符号为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据同号得正，异号得负，0乘以任何数为0；对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 结果为0，故该选项不正确，不符合题意； B． 结果是负数；故该选项不正确，不符合题意； C． 结果是正数，故该选项正确，符合题意；     D． 结果是负数，故该选项不正确，不符合题意；． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：和互为相反数， 故答案为：. 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的减法，绝对值，会判断出x，y的对应情况是解题的关键；根据绝对值的性质及乘积异号为负，判断出x，y的对应情况，然后根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以，， 所以， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，多个有理数的乘法运算等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义可得，绝对值大于1.5且小于4的所有整数有，，，，然后将其全部相乘即可． 【详解】解：绝对值大于1.5且小于4的所有整数有：，，，， 绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是：， 故答案为：． 【考点4 有理数乘法的运算律】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）的根据是（   ） A．加法交换律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据解题过程得出此题运用了乘法分配律． 【详解】解：根据题意可知，解题过程运用了乘法分配律， 故选： D． 2．（24-25七年级上·天津·阶段练习）下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律．根据有理数的乘法运算律即可进行解答． 【详解】解：A、；正确，本选项不符合题意； B、；正确，本选项不符合题意； C、；原变形不正确，本选项符合题意； D、；正确，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）对于算式的结果，下列说法不正确的是（   ） A．能被2024整除 B．能被2023整除 C．不能被2025整除 D．能被2021整除 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律进行求解即可． 【详解】解：原式， 所以结果是能被2024、2023整除； 故选D． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是乘法的分配律，利用乘法的分配律把原式化为，再展开代入即可得到答案. 【详解】解： 故选：B． 5．（24-25七年级上·四川内江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 将化为，再根据乘法交换律解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【考点5 利用有理数乘法运算律进行简便运算】 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式              乙同学：原式              A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要查了有理数的乘法运算律．根据有理数的乘法运算律计算即可． 【详解】解：方法一： 原式   ； 方法二：原式 所以甲、乙的方法都正确． 故选：C 2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：99900． 3．（22-23七年级上·湖北襄阳·期末）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目做变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，请你在横线上补充完整： 原式 = ． 【答案】 1 【分析】根据所给式子，提公因式得到，故第一个空填；从而根据同分母分数加减运算计算括号里的式子得到，故第二个空填1，从而得到答案． 【详解】解：由题意知 ， 故答案为：；1． 【点睛】本题考查利用乘法分配律对题目恒等变形，使运算量减小，达到简化运算的目的，读懂题意，掌握同分母分数加减运算法则及分数乘法运算法则是解决问题的关键． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，把式子转化成乘法分配律的形式是解题关键． 5．（24-25七年级上·全国·期末）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）根据逆向使用乘法分配律计算即可； （4）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点6 有理数乘法的实际应用】 1．（24-25七年级上·广东湛江·期末）初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了列式计算，理解单循环比赛的特点是解题的关键；根据单循环比赛的特点，进行计算即可得答案． 【详解】解：6支球队举行单循环比赛， 每支球队比赛5场， 每两支球队之间都比赛一场， 总的比赛场数为场； 故选B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某商品原价400元，价格先上调，再下调出售，现价和原价相比，结论正确的是（   ） A．现价比原价高 B．现价比原价低 C．价格相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据题意，可以计算出现价，然后和原价比较大小，即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴现价比原价低， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键．通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和． 【详解】解：通过观察可知密码的前两位数是， 中间两位数是， 最后两位数是， 故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解答本题的关键．设开始时甲向上一面的数字之和为，根据题意有，即，再根据数字确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答． 【详解】解：设开始时甲向上一面的数字之和为， 甲、乙正面朝上的数字之和相等， 此时乙向上一面的数字之和也为， 翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加， 此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为， 则总的面上数之和为：， 根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：， 即，即， 甲一面朝上的数字之和为， 甲朝上的可能是，，，或者，，，， 则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为 故答案为：． 5．（24-25七年级上·广西柳州·期中）一天下午，某出租车以希望小学为出发点在东西方向营运，行车情况依先后次序记录如下（向东为正方向，单位：）： ，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车在出发点位置的东边还是西边？离出发点多远？ (2)若出租车在行驶过程中，每千米耗油升，出租车一下午共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离山发点，且在出发点的东方 (2) 【分析】本题考查正数与负数，理解正数与负数的意义是正确解答的前提，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． （1）计算这些数据的和，根据“和”的符号、绝对值进行判断即可； （2）求出行驶路程，即这些数绝对值的和，再进行计算即可； 【详解】（1）解：， 因此将最后一名乘客送到目的地，出租车离山发点，且在出发点的东方； （2）解：， 升， 答：出租车一下午共耗油升； 6．（24-25七年级上·陕西延安·期末）延安土层深厚，海拔米，光照充足，昼夜温差大，有利果实积累糖分，是苹果的最佳适生带．现有10箱延安苹果，以每箱为标准，其中质量超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下表所示． 与标准质量的差/ 2 0 1 箱数 1 1 1 2 4 1 (1)这10箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，这10箱苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若每千克苹果售价12元，这10箱苹果可卖出多少元？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)3030元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数乘法的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，据此即可求解； （2）求出表格中所有数据的代数和，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负，表示总计不足标准质量，即可解答； （3）先求出10箱苹果的总质量，再乘以12即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重千克． （2）解：（千克）， 答：与标准质量相比，这10箱苹果总计超过千克． （3）解：（千克）， （元）， 答：这10箱苹果可卖出3030元． 【考点7 求一个数的倒数】 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习） ，的倒数是 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号，倒数．一个数前面有偶数个负号，结果为正；一个数前面有奇数个负号，结果为负；乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：， 的倒数是． 故答案为：，． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： 【答案】，，，，2 【分析】本题考查了倒数的知识、绝对值和相反数，解题的关键是掌握倒数的定义． 根据乘积为1的两个数互为倒数，可以求出各个数的倒数． 【详解】解：2的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为． ∵，∴的倒数为2． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的应用，用了倒数法比较两个数的大小．先分别求出两个数的倒数，再比较倒数的大小，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 【考点8 相反数，绝对值，倒数的综合应用】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2．求代数式的值． 【答案】4或 【分析】此题考查了有理数的加减和乘法混合运算，相反数，倒数和绝对值，首先根据题意得到，，或，然后分别代入求解即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2 ∴，，或 当时，； 当时，． 2．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是4． (1)填空： ； ； ． (2)求：． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，有理数的混合运算： （1）根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值的意义，进行求解即可； （2）将（1）中的结果，代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是4， ∴，，； 故答案为：； （2）∵，，； ∴， 当时，原式， 当时，原式． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，再代值计算即可； （2）根据绝对值的意义得到，，再由，得到，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴的值为或． 4．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）问题情境：下列，，，四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）：                       A           B           C         D (1)求四张卡片上数的绝对值的和． (2)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为． ①求，，，的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求出四个数的绝对值，再求和即可； （2）①只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可；②第一种方法把小括号内的式子通分计算加减法，再计算乘法，第二种方法是先计算括号外面的乘法，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵卡片和卡片的倒数分别是和，卡片的相反数是，卡片相反数的倒数为， ∴； ② ； ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，相反数，绝对值，倒数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【考点9 有理数乘法运算中的新定义问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．11 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题中给出的信息来答题，首先要理解信息，熟悉规则，然后运用．原式利用已知的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：． 故选A． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．其运算符号意义不变，按上述规定计算的值为（   ） A．－1 B．－2 C．－5 D．－4 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点，理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A ． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）定义一种运算“△”，对于两个有理数a和b，有，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，根据列出算式，再根据有理数的运算法则计算． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西·期中）定义一种新运算“”，规定：．等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据新定义列式计算，再进一步列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 5．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 【考点10 有理数乘法运算中的规律问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）符号“f”表示一种运算，运算规律如下：，，，，…，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键理解新定义运算；根据新定义运算进行求解即可 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式． 故选D． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第2024次落下时，落点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左减右加”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负， 则由题意得， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为： 5．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，有理数的混合运算．根据题意可得第5个等式，第，6个等式，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ∴ 故答案为： 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的意义，根据题意表示成乘法的形式，即可求解． 【详解】解：可以表示为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）有理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．乘积是1的两数互为倒数，直接利用倒数的定义得出答案． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 4．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 5．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（   ） A． B．25 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，两个数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从正数中找即可．其方法如下：（1）负数正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：解：． 故选：D． 6（24-25七年级上·山东日照·期末）若一个数的倒数是，则这个数的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数和相反数的概念，解题的关键是理解倒数和相反数的定义，并根据定义进行计算． 先根据倒数的定义求出这个数，再根据相反数的定义求出该数的相反数． 【详解】已知一个数的倒数是，则这个数是2024，所以这个数的相反数是． 故选：B． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 8．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，再列式王小武的应发工资是（元），即可作答． 【详解】解：∵在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”， ∴王小武的应发工资是（元）， 故选：A． 9．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算．根据题意将式子展开后进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）若a的相反数是，b的倒数是，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了相反数和倒数的概念，有理数的减法，根据相反数和倒数的概念求出，的值是解答本题的关键．根据题意先求出，的值，再求的值即可． 【详解】解：∵的相反数是，的倒数是， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）的倒数是 ，与它的倒数的乘积是 ． 【答案】 1 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是，与它的倒数的乘积是1． 故答案为：，1． 12．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京·开学考试）下列说法中，正确的是 （填序号）． ①乘积为1的两个数互为倒数；②两个有理数相减，若差为正数，则被减数大于减数；③符号相反的两个数是相反数；④任意两个有理数的和一定大于其中的某一个加数． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了有理数的减法、倒数、相反数的定义、有理数加法等知识点，掌握定义及定理成立时的条件是解题的关键． 根据倒数的定义、有理数的减法、相反数的定义、有理数的加法逐个作出判断即可． 【详解】解：①乘积是1的两数互为倒数是正确的； ②两个有理数相减，差为正，则被减数大于减数，故正确； ③只有符号相反的两个数是相反数，原说法没有限制“只有”这个条件，反例：和2符号相反，但不是相反数，故错误； ④任意两个有理数的和不一定大于其中的一个加数，故错误． 综上，①②正确． 故答案：①②． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 16．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）临近春节，小芳和妈妈一起去超市买了一盒酥饼（共计6枚）．回家后妈妈要求小芳用电子秤（最大称重量），结合所学知识判断这盒月饼的质量是否合格．小芳仔细地看了标签和包装袋上的有关说明，包装说明上标记的每盒酥饼质量合格标准为克．小芳选取个恰当的标准质量，她把超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，然后把6枚酥饼分别进行称重，列出表格如下（数据不完整）： 第枚 1 2 3 4 5 6 质量（克） 71 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是____________克，____________克，____________克； (2)试判断这6枚酥饼中质量最重比最轻的重多少克； (3)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1) (2)最重比最轻的重 1.7 克 (3)合格，见解析 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义即可求得答案； （2）根据（1）的结果，结合题意，用最重的减去最轻的即可求解； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：， ∴王芳选取的标准质量是70克， ， 故答案为：； （2）解： （克）， 答： 这 6 枚月饼中质量最重比最轻的重 1.7 克． （3）解：合格，理由如下： （克）， 因为 ， 所以这盒月饼的实际总质量是合格的． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$