专题05根与系数的关系（8大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

null 专题05根与系数的关系（8大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0： (2)方程有实数根，即△≥0 2.有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 3.几种主要的代数式求值问题 【课前热身】 1．判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． （1）； （2）； （3）； （4）． 2．已知，是方程的两根，求下列各式的值： （1） （2） （3）． 3．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 4．方程的两根之和与两根之积都等于10，求，的值． 【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积 1．（2025•汇川区四模）已知，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B．1 C． D．3 2．（2025春•界首市期中）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 　　 ． 3．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． （1）； （2）． 4．求下列方程两根的和与两根的积： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值 5．（2025春•天津校级月考）已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为　　 A．4 B．5 C．2 D．6 6．（2025春•泉州期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．0 B．1 C．4036 D．2018 7．（2025春•马边县期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为　　． 8．（2024秋•天河区校级月考）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 9．（2025春•濉溪县期中）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）； （2）． 【题型3】已知代数式的值求参数 10．（2025•聊城模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．不存在 11．（2025•绥化二模）设，是关于的方程的两个根，且，则　　 ． 12．（2025春•北仑区期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为　　 ． 13．（2025•和平区校级模拟）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围： （2）若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 14．（2025•和平区校级一模）关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求的值． 15．（2025•高密市三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【题型4】已知方程的一根求另一个根 16．（2025•鹿城区校级三模）若是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是　　 A． B． C． D． 17．（2025春•凤阳县校级期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当时，求实数的取值范围． 18．（2024秋•潮阳区期末）若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 19．（2025春•永康市期中）已知关于的方程． （1）若该方程有一个根为，求方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【题型5】已知两根求一元二次方程 20．（2024秋•平顶山期末）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•即墨区期中）已知一元二次方程的两根分别是 2 和，则这个一元二次方程是　 　． 22．（2010春•怀化校级期中）已知一元二次方程的两根为：，则这个方程是　 　． 23．（2024秋•辉县市校级月考）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为　　 A． B． C． D． 24．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． （1）求证：方程是整根方程； （2）若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题 25．（2025春•崇川区校级月考）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 26．（2025•邗江区校级二模）已知关于的方程：，其中是常数． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 27．（2025•尤溪县一模）已知实数、、，且满足，． （1）求证：的值是定值； （2）若、同号，求的取值范围； （3）当、同号时，设，求的取值范围． 28．（2025•凉州区校级二模）已知关于的方程，其中，为实数． （1）当，时，求方程两根的平方和． （2）当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 【题型7】根与系数的关系与几何问题 29．（2025春•西湖区校级期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值． 30．（2025•五通桥区模拟）已知：平行四边形的两条边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形； （2）若，求平行四边形的周长． 31．（2025春•杭州期中）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当为何值时，为等腰三角形？并求的周长． （3）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【题型8】新定义探究问题 32．（2025春•温州期中）定义：如果关于的一元二次方程，，均为常数，有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　　 （填序号）． ①； ②； ③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 33．（2025春•舟山期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　 ；（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 一．选择题（共6小题） 1．（2025•柳州三模）若、是方程的两个根，则的值为　　 A． B．1 C．6 D． 2．（2025•秦皇岛模拟）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是　　 A． B． C．， D． 3．（2025•绵阳三模）已知和是方程的两个解，则的值为　　 A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 4．（2025•西陵区模拟）已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是　　 A． B． C．1 D．2 5．（2025•江阳区校级模拟）已知四边形是菱形，菱形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 6．（2025•市中区模拟）关于的方程的两实根异号，则满足的条件是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．（2025•信都区二模）若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则　　 ． 8．（2025•天河区校级二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为　　 ． 9．（2025•青羊区校级模拟）若，是方程的两个根，则　　 ． 10．（2025•郫都区校级模拟）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 　　 ． 11．（2025•广州模拟）对于字母、，定义新运算☆，若方程的解为、，则☆的值为 　　． 12．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为　　 ． 三．解答题（共6小题） 13．（2025春•昭平县期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值． 14．（2025•南充）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及的值． （2）求证：． 15．（2025•舒城县模拟）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和． （1）若方程有一个根为2，求的值； （2）敏敏求出，老师说敏敏的这个答案一定有误，你同意老师的观点吗？并给出理由． 16．（2025•青原区模拟）关于的方程为． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根分别为，．且满足，求的取值范围． 17．（2025春•宁海县期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若是这个方程的一个根，求的值和它的另一个根； （3）若等腰的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 18．（2025春•崇川区校级月考）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即，解得，， ，是差积方程． （1）方程 　　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，求的值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$