21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程根与系数的关系”，课堂导入先复习求根公式及判别式，再通过因式分解法和求根公式推导两根和与积的关系，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 该资料以问题链引导探究，通过求根公式推导关系培养推理意识，结合2024年中考真题设计练习强化应用意识，课堂小结系统归纳常见公式变形助力数学语言表达。这种设计能提升学生逻辑推理和解题能力，也为教师提供分层教学资源和清晰教学思路。

人教新版 九上 数学 同步课件 2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程根 与系数的关系 1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. 2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习目标 方程的两根 x1和 x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 1. 方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)根的情况？ b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 新课引入 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? 思考1 把方程( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0的左边展开，化成一般形式，得 x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0 二次项系数为1 一次项系数p = - ( x1+x2 ) 常数项q = x1x2 可以发现，方程x2+px+q=0的两根的和、积与系数的关系为： x1+x2= -p， x1x2=q. 新知学习 一般的一元二次方程ax2 + bx + c = 0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 思考2 由求根公式知 ， . 由此可得 把方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ 新知学习 归纳总结 若 x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两个根，则有： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数； 两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 新知学习 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2. 解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴ 　　　　　 新知学习 变式 已知x1，x2 是 一元二次方程 x²＋ax＋16 = 0的两个根， ，求 a 的值. 解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4×1×16 ≥ 0， 即 a ≥ 8或a ≤ -8. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = - a，x1 x2 = 16. 所以 ， 解得 a = -16. 运用根与系数的关系需注意前提条件： (1)方程必须是一元二次方程； (2)一定要将方程化为一般形式； (3)方程必须有实数根，即 b2－4 ac ≥0. 新知学习 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：根据根与系数的关系得： (1) (2) 新知学习 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x - 3 = 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：根据根与系数的关系得： (3) (4) 新知学习 常见求值公式变形 归纳总结 新知学习 1.已知关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0，则此方程根的情况是( ) A. 两个相等的实数根 B.两根之和为﹣4 C. 两根之积为﹣4 D. 无实数根 C 随堂练习 2.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是( ) A. x2 + 6x + 5 ＝ 0 B. x2 - 7x + 10 ＝ 0 C. x2 - 5x + 2 ＝ 0 D. x2 - 6x - 10 ＝ 0 B 随堂练习 3.填空： (1)(2024烟台)若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为____________. 6 引导思路 3m2﹣4m+n2 变形 含m+n，mn的形式 2m2﹣4m+(m+n)2﹣2mn 2x2﹣4x﹣1＝0 2m2﹣4m = 1 m + n = 2 mn = 代入 求值 m，n为一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的根 随堂练习 (2)(2024成都)若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+(n﹣2)2的值为____________. 3.填空： 引导思路 x2﹣5x+2＝0 m，n为一元二次方程x2﹣5x + 2＝0的根 m2﹣5m＝ - 2 m+n ＝ 5 n＝ 5 - m m+(n﹣2)2可化为 m2﹣5m+ 9 代入 求值 7 随堂练习 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2． (1)填空：x1+x2＝______，x1x2＝_______； (2)求 ， ； p 1 解：∵x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1， ∴ ； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2 ， ∴x12 - px1 +1 = 0 ， ∴x1- p + = 0 ，即 . 随堂练习 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0 ( p为常数 )有两个不相等的实数根x1和x2． (3)已知x12 +x22 ＝ 2p+1，求 p 的值． 解：由根与系数的关系得：x1 + x2 ＝ p，x1x2 ＝ 1， ∵x12 +x22 ＝ 2p+1， ∴(x1 +x2)2 ﹣2x1x2＝ 2p+1，∴p2﹣2 ＝ 2p + 1， 解得 p1 ＝ 3，p2 ＝ ﹣1， 当 p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 随堂练习 若 x1，x2是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根，则有： 常见应用 一元二次方程的 根与系数的关系 内容 课堂小结 $$