专题09 有理数的乘方运算（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题09 有理数的乘方运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【题型1 有理数幂的概念理解】 例题：（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方运算概念的运用能力，运用乘方的定义进行辨别． 【详解】解：， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025·河北唐山·二模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 【题型2 有理数的乘方运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)216 (2) (3) (4) (5)1000 (6)1000000 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)100000 (6)0 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，熟练掌握乘方定义是解题的关键．分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数乘方运算法则计算即可； （6）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型3 乘方运算的符号规律】 例题：（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、绝对值非负性 【分析】本题考查有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值，根据有理数的乘方、偶次方的非负性、绝对值的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：只要，恒有，故A选项成立； ∵，故B选项不成立，C成立； ∵， ∴， ∴，故D选项成立， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 【题型4 乘方的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一格放粒米，即粒， 第二格放粒米，即粒， 第三格放粒米，即粒， 第四格放粒米，即粒， 第五格放粒米，即粒， ， ∴第格放的米粒数为粒， ∴第格放的米粒数是粒． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 【题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：∵，． ∴． 故答案为． 2.（23-24七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据新定义，先计算再计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解新定义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例题：（2025·江苏苏州·一模）截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖南常德·期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：1120万． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）国家统计局月日发布数据显示，年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，连续年稳定在万亿斤以上，再创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：亿， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 3．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 4．（2025·四川广元·二模）在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号 【分析】本题考查了绝对值和相反数，有理数的乘方，有理数的分类，掌握相关知识点是解题关键．先化简各数，再根据小于0的数是负数作答即可． 【详解】解：，，， 负数有、、，共3个， 故选：C． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义新运算“&amp;”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算 【分析】考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：， 故选A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【答案】< 【知识点】有理数的乘方运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 【详解】解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 8．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中：与，②与，③与，④与⑤与相等的有 ．(填序号) 【答案】②③④ 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方运算，然后比较，即可求解． 【详解】解：与，不相等； ②与，相等； ③与，相等； ④与，相等； ⑤与，不相等， 所以相等的有②③④； 故答案为：②③④． 10．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数乘方运算，由，可判断a，b，c，必有两正一负，据此化简绝对值，求出，代入计算，即可求解；能化简绝对值求出是解题的关键． 【详解】解：，， a，b，c，必有两正一负， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】（）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘方运算，然后计算乘法即可； （）先算乘法运算，然后计算乘方即可； （）利用乘方逆运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）直接利用乘方的运算即可； （）先算乘方运算，然后计算加法即可； 本题考查了乘方的运算，有理数的乘法，有理数的加法，解题的关键是熟记负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，的任何正整数次幂都是，熟练掌握运算法则． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式； （8）原式； （9）原式 ． 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，求的值． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性，求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴． 13．（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，，0，3． 【答案】数轴见解析， 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴，有理数乘方，绝对值，有理数大小比较的应用，先化简各数，再表示各个数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】解：，，，， ∴． 14．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，． 整数集合；      分数集合； 非负数集合；      自然数集合． 【答案】答案见解析； 【知识点】有理数的乘方运算、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的概念和分类是解题的关键．根据有理数的概念和分类解答即可． 【详解】解：，，，，． 整数集合：， 分数集合：， 非负数集合：， 自然数集合：． 15．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【知识点】有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 有理数的乘方运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【题型1 有理数幂的概念理解】 例题：（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【变式训练】 1．（2025·河北唐山·二模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 2．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【题型2 有理数的乘方运算】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型3 乘方运算的符号规律】 例题：（23-24七年级上·河南周口·期末）当时，下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【题型4 乘方的应用】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期中）古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … 【题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）用“☆”“★”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，那么 ． 2.（23-24七年级上·重庆开州·期中）用“”，“”定义新运算，对于任意有理数、，都有，，求的值． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 例题：（2025·江苏苏州·一模）截止年年底某市有城镇污水处理厂座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖南常德·期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为 ． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）法国奥运会期间，巴黎总计接待访客数量约1120万人次．其中数据1120万用科学记数法表示为 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）国家统计局月日发布数据显示，年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，连续年稳定在万亿斤以上，再创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为 ． 一、单选题 1．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 2．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·二模）在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义新运算“&amp;”，对任意有理数a、b，规定：，则的值为（    ） A．2023 B．2022 C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 7．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 8．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 9．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中：与，②与，③与，④与⑤与相等的有 ．(填序号) 10．（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) (9)． 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，求的值． 13．（24-25七年级上·广西防城港·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，，0，3． 14．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，． 整数集合；      分数集合； 非负数集合；      自然数集合． 15．（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 16．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null