精品解析：山东省泰安市新泰市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题　

八年级下学期期中检测数学试题 本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2.考试结束后，监考人员将答题卡收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点分别在边上，且．下列四种说法： ①四边形平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为（　　） A B. C. D. 6. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 12. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为_______． 13. 若是关于的方程的一个根，则的值是______ 14. 如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 15. 将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行 第二行 2 第三行 第四行 4 …… 则第八行左起第1个数是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明证明过程或推演步骤） 16. 解方程： （1）（配方法解方程）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 19. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若该是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形菱形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． （1）求证：； （2）求证：四边形为矩形； （3）若为中点，，求菱形的周长． 22. 在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； （3）【应用规律】计算：． 23. 我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且． （1）小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程； （2）如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中检测数学试题 本试题分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2.考试结束后，监考人员将答题卡收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，不含能开方的因数或因式，即可解答． 【详解】解：A. ，∴A不是最简二次根式； B. ，∴B是最简二次根式； C. ，∴C不是最简二次根式； D. ，∴D不最简二次根式． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】先化简二次根式，再合并即可判定A；化简二次根式即可判定B；先化简二次根式，再计算除法即可判定C；根据二次根式乘法法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式化简，二次根式加减乘除运算．熟练掌握二次根式加减乘除运算法则是解题的关键． 3. 如图，在中，点分别在边上，且．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出四边形为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，且，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形，选项①正确，符合题意； 若， ∴平行四边形矩形，选项②正确，符合题意； 若平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，选项③正确，符合题意； 若， ∴平分， 由③得求解过程，可得平行四边形为菱形，选项④错误，不符合题意； 综上所述，四种说法中正确的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、特殊平行四边形的判定，涉及平行四边形的判定、角平分线定义、平行线的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识以及等腰三角形的判定与性质，熟记平行四边形、特殊平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 4. 如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 求解出每一个方程的根，即可解答． 【详解】解：A、， ， 或， ，， 故此选项不符合题意； B、， ， ， ， 故此选项符合题意； C、， ，， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．先由矩形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故选：A． 6. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，求出每个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断． 【详解】解：A．，方程有两个不相等实数根，不合题意； B．，方程有两个不相等的实数根，不合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不合题意． 故选：C． 7. 如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 8. 我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ， ∴b边上的高为， 故选：A． 9. 如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，记、的交点为，则，，，是等边三角形，由P为中点，可得，，由折叠的性质可知，，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵P为中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可. 【详解】∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题是对同类二次根式的考查，熟练掌握同类二次根式知识是解决本题的关键. 12. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：，且， 且． 故答案为：且． 13. 若是关于的方程的一个根，则的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，将代入一元二次方程得到，整体代入求代数式值即可得到答案，熟记及一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则 ， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最短距离问题，涉及正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短，连接，，先证明的最小值就是线段的长，利用勾股定理求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为5， ∴周长的最小值为； 故答案为：6． 15. 将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列： 第一行 第二行 2 第三行 第四行 4 …… 则第八行左起第1个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数的规律的探索，找到规律是解题的关键；由题意知，这组数是偶数的算术平方根的排列，由此得第七行有7个数，前面7行共排了28个数，最后一个数是，则第八行左起第1个数是，问题得解． 【详解】解：由题意知，这组数是偶数的算术平方根按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……的规律排列，前7行共排有：（个）数，第七行最后一个数是，则第八行左起第1个数是； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明证明过程或推演步骤） 16. 解方程： （1）（配方法解方程）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ，， 解得：，. 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4 （2）阴影部分的面积为12 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32， ∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为． 【小问2详解】 阴影部分的面积为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若该是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解：当是等边三角形时，， 原方程可化为：，即 ， ， ， 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ，即， 是直角三角形． 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 21. 如图，点、在菱形的对角线上，，点、分别在菱形的边、上，且，． （1）求证：； （2）求证：四边形为矩形； （3）若为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）菱形的周长为16 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，选择适当的全等判定定理证明即可； （2）根据矩形的判定定理证明即可； （3）若为中点，，求菱形的周长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ，即， 又， ． 【小问2详解】 证明：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， 为中点 ，由（1）可得， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，， ， ， 菱形的周长． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 22. 在学习二次根式运算时，同学们根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． ………… （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，写出第个等式（为正整数）； （3）【应用规律】计算：． 【答案】（1），验证见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【小问1详解】 解：① ； ② ； ③ ， 故． 验证：. 【小问2详解】 解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． 【小问3详解】 解： ． 23. 我们已经学习了图形的平移、轴对称、旋转三种图形变化，它们都是全等变化，变化中蕴含着不变．在图形与几何知识的学习中，以图形变化的视角观察图形，会帮助我们更加直观的理解问题，进而找到解决问题的路径．已知，如图1，点M、N分别是正方形的边、上的点，且． （1）小明观察图形发现，，，于是将绕点B顺时针旋转，得到图2，连接，进一步推理发现，请你参考小明的思路，写出证明过程； （2）如图3，若点M、N分别在边、的延长线上，其余条件不变，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． （1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， 将绕点B顺时针旋转，则与重合，则， ∴，，，，则、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 证明：在正方形中，，， 将绕点B逆时针旋转，则与重合，则， ∴，，，，则、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $