2025年广东省湛江市岭南师院附中、东方实验学校中考数学四模试卷　

2025年广东省湛江市岭南师院附中、东方实验学校中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，0，，3这四个数中，最小的数是(    ) A. B. 2 C. D. 3 2.2025年全国高考报名人数预计约14500000人，数14500000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线，的直角顶点B落在直线a上，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 5.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.从数据，，，125，中随机取出一个数，取出的数是负数的概率是(    ) A. B. C. D. 7.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径10cm，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦AB的长为(    ) A. B. 16cm C. 8cm D. 8.不等式组的解集在数轴上可表示为(    ) A. B. C. D. 9.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处，已知，，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，，且点A，B分别落在反比例函数和的图象上，则k的值为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.二次根式中，x的取值范围是______. 12.点关于原点对称的点为点B，则点B的坐标为______. 13.高6cm的旗杆在水平面上的影长为8cm，此时测得一建筑物的影长为28cm，则该建筑物的高为______. 14.已知，则代数式的值为______. 15.如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点若，则______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 如图，在中，， 实践与操作：用尺规作图法作边AB的垂直平分线MN，交BC于点保留作图痕迹，不写作法； 应用与计算，在的条件下，连接AD，求的周长. 18.本小题7分 如图，一艘救生船在码头A接到小岛C处一艘渔船的求救信号后立即出发，沿北偏东方向航行10海里到达小岛C处，将人员撤离到位于码头A正东方向的码头B，此时测得小岛C位于码头B的北偏西方向，求码头A与码头B的距离参考数据：，，，，， 19.本小题9分 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观.学校为了解学生参加家务劳动的情况，对八年级学生参加家庭劳动情况开展调查研究，请将下面过程补全. 收集数据，在八年级随机抽取20名学生进行问卷调查，他们一周参加家庭劳动的次数分别为： 3 1 2 2 4 3 3 2 3 4 3 4 0 5 7 2 6 4 6 6 整理数据，结果如表： 分组 频数 2 9 a 4 根据以上信息，解答下列问题： ______，补全频数分布直方图； 已知这组数据的平均数为，该校八年级现有200名学生，请估计该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数； 劳动时间为的4名学生中有2名男生，2名女生，从中任意抽取2名学生参加学校开展的以“劳动美”为主题的演讲活动，用树状图或列表法求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率. 20.本小题9分 在运动会前夕，光明中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． 求购买一个篮球，一个足球各需多少元； 今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1150元，则最多可购买多少个篮球？ 21.本小题9分 如图AB为的直径，且，点C是弧AB上的一动点不与A，B重合，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接 求证：EC是的切线； 当时，求图中阴影部分面积. 22.本小题13分 综合与实践： 问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图1所示的方式摆放.其中，， 问题探究：将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转. 如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，试判断BD与BF的数量关系，并说明理由； 在图2中，连接AF，请求出AF的长度； 如图3，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是______. 23.本小题14分 综合运用 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C均在坐标轴上，且，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；动点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒时，过点N作于点P，连接 直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标用含x的式子表示； 设的面积为S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值是多少？ 在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， 在，0，，3这四个数中，最小的数是 故选： 有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】A  【解析】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形． 故选： 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4.【答案】C  【解析】【分析】 由平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等 【解答】 解：，， ， 故选： . 5.【答案】C  【解析】解：A、，无法计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误． 故选： 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则和合并同类项法则分解计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6.【答案】B  【解析】解：负数有，，共2个， 从数据，，，125，中随机取出一个数，取出的数是负数的概率是： 故选： 从该组数据中找出负数，根据概率公式解答即可． 本题主要者了概率计算．熟练掌握概率定义和概率公式是解决问题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：，， ， ， ， 故选： 判断出OC的长，利用勾股定理求出AC，可得结论． 本题考查勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用垂径定理，勾股定理解决问题． 8.【答案】A  【解析】解： 不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为：， 故选： 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 9.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻． 根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决． 【解答】 解：由折叠的性质可得≌， ，， 在中，，， 由勾股定理可得， 又，， 而故有， 故 故选 10.【答案】D  【解析】解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E， ， ， 设，则， 点， 由题意可得：， 负值已舍，则点， ，， ， ，， 点， 点B落在反比例函数上， ， 故选： 过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，再求得点，利用待定系数法求解即可． 本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 解得： 故答案是： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12.【答案】  【解析】解：点关于原点对称点为点B， 点B的坐标为 故答案为： 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题是解题关键． 13.【答案】21cm  【解析】解：相同时刻下物高与影长所在的三角形相似， ：建筑物高：28， 解得建筑物高为 故答案为： 根据相同时刻下物高与影长所在的三角形相似可得物高与影长的比相等，把相关数值代入可得建筑物的高． 考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相同时刻下物高与影长的比相等． 14.【答案】17  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由已知条件易得，将原式变形后代入数值计算即可． 本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：过P作于M，于N，连接PA，PB，PC， ， 四边形PMON是矩形， ，， 点，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 过P作于M，于N，连接PA，PB，PC，判定四边形PMON是矩形，推出，，由A、B的坐标得到，，求出，，，由圆周角定理和等腰三角形的性质推出，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质推出，由勾股定理求出，即可得到OC的长． 本题考查垂径定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，关键是由垂径定理推出，由勾股定理求出CN的长． 16.【答案】  【解析】解：原式 利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值及二次根式的性质计算后再算加减即可． 本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】见解析；     【解析】如图，直线MN即为所求． 直线MN为线段AB的垂直平分线， 的周长 根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； 根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 18.【答案】码头A与码头B的距离为海里．  【解析】解：过点C作于点D， 由题意，得：，，， 在中，， ， 在中，， 则， 答：码头A与码头B的距离为海里． 作，在中求得AD、CD的长，在，结合CD求得BD的长，由可得答案． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19.【答案】； 如图所示； 人， 答：该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数为90人． 画树状图如下： 所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个， 恰好抽到一男一女概率为  【解析】解：由收集到的数据可知，分别有4，4，4，5，4共有5个， ，如图所示； 人， 答：该校八年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数为90人． 画树状图如下： 所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个， 恰好抽到一男一女概率为 根据收集到的数据找出有几个即可． 由图表信息先求出达到平均水平及以上的概率，然后再求解八年级学生达到平均水平及以上的人数即可． 列出树状图，利用概率计算公式计算即可． 本题主要考查数据统计与概率的计算，熟练掌握概率的计算是解决本题的关键． 20.【答案】解：设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：购买一个篮球，一个足球分别需150元，100元； 设购买a个篮球， 根据题意可得：， 解得：， 答；最多可购买6个篮球．  【解析】设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元列出方程组解答即可； 设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可． 本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据单价和总价作为等量关系列出方程，根据总费用作为不等关系列出不等式求解． 21.【答案】见解析；    【解析】证明：如图，连接OC、BC、OE， 与相切于点B， ， ， 是的直径， ， ， 点E是BD的中点， ， ，， ≌， ， 经过的半径OC的外端，且， 是的切线； 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分面积 连接OC、BC、OE，先由切线的性质得，由AB是的直径，得，因为点E是BD的中点，所以，可证明≌，得，即可证明EC是的切线； 先由，，求得，由圆周角定理得，再根据三角形的中位线定理证明，得，由，得，则，根据勾股定理求得，即可由求出图中阴影部分的面积． 此题重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22.【答案】， 理由：， ， 将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转点E落在边AB上， ， ， ≌， ； 如图2， ，，， ，， ， ；   【解析】解：， 理由：， ， 将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转点E落在边AB上， ， ， ≌， ； 如图2， ，，， ，， ， ； 如图3，连接CD，取CD的中点G， 取BC的中点O，连接GO，则， ， ， 点G为CD的中点，点O为BC的中点， ， 点G是以点O为圆心，为半径的圆上，如图， 如图4，过点O作于K， 点O为BC的中点，， ， ， 点G到直线AB的距离的最大值是， 故答案为： 根据旋转的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到； 如图2，解直角三角形得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论； 先求出，再判断出点G是以点O为圆心，为半径的圆上，过点O作于K，求出，即可求出答案． 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形的中位线定理，画出图形是解本题的关键． 23.【答案】点P的坐标为；   ，当时，S有最大值，最大值为；   M的坐标为或或  【解析】矩形OABC中，，， 点坐标为 如图，延长NP，交OA于点G，则， ， ∽， ，即，解得， 点P的坐标为； 在中，，OM边上的高为， ， 与x之间的函数表达式为 配方，得， 当时，S有最大值，最大值为； 存在某一时刻，使是等腰三角形．理由如下： ①如备用图1，若，则， 即，解得：， 所以； ②如备用图2，若，则， 即，解得：， 所以； ③如备用图3，若时， ，， ， ， ，解得：， 所以， 综上所述，M的坐标为或或 根据矩形OABC中，以及矩形的性质，得出B点坐标，再由，得出∽，利用相似三角形对应边成比例得出P点坐标； 利用PG以及OM的长表示出的面积，再根据二次函数的性质求出最大值即可； 是等腰三角形时，分三种情况：①；②；③画出图形，分别求出即可． 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$