精品解析：湖北省咸宁市赤壁市2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题卷

2024年春季期中教学质量监测 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷和答题卷：全卷24小题，满分120分：考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置． 3．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A. ∠A＝∠B B. AB＝AD C. AC＞BD D. ∠B+∠C＝180° 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　) A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 5. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（ ） A. 8米 B. 7米 C. 6米 D. 5米 6. 一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ） A. 甲同学说的对 B. 乙同学说的对 C. 甲、乙两名同学说的都对 D. 无法判断 7. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 3 9. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 10. 将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大半圆形的面积 C. 较小两个半圆形的面积和 D. 最大半圆形与直角三角形的面积和 二、细心填一填（本大题共5小题，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 使式子有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于点，连接，则的度数为______． 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所设计的一种桌面拼合游戏，它的设计不仅是一种娱乐方式，它还体现了明朝时期智力游戏和几何学的发展水平，它包括六种基本图形块，分别为：“长斜”（两只等腰梯形）、“右半斜”（两只直角梯形）、“左半斜”（两只直角梯形，与右半斜相似，但方向相反）、“闺”（一只直角梯形）、“小三斜”（四只等腰直角三角形）、“大三斜”（两只等腰直角三角形）．图2为某蝶几拼合图，其中和为“大三斜”组件，已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接，．若，则______． 14. 定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 15. 如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，取的中点，连接，，若，则________________． 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 16. 计算： 17. 一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． （1）求两地的距离； （2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M． （1）求证：BE＝FM； （2）求BE的长度． 19. 如图，的顶点O、A、C的坐标分别是、、，E，F分别是，上的点． （1）点B的坐标是_______； （2）若，求证：四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 21. 有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ （2）若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 22. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形的边上一动点，连接，将沿着折叠得到． 初步探究： （1）如图1，当点P与点A重合时，与交于点E，求证：； 深入探究： （2）如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接，求证：； 拓展延伸： （3）在问题（2）中，若，，的面积为，直接写出长方形的面积． 24. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值______，并写出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季期中教学质量监测 八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷分试题卷和答题卷：全卷24小题，满分120分：考试时间120分钟． 2．考生答题前，请将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置． 3．考生答题时，请按题号顺序在答题卷上各题目的答题区域内作答，写在试题卷上无效． 试题卷 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，被开方数的因数是整数，因式是整式，且不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A. ∠A＝∠B B. AB＝AD C. AC＞BD D. ∠B+∠C＝180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可完成． 【详解】A、平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，故错误； B、平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，故错误； C、平行四边形的对角线AC不一定大于对角线BD，故错误； D、平行四边形的邻角互补，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的性质是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【详解】解： ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　) A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形内角和等于 C. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D 5. 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（ ） A. 8米 B. 7米 C. 6米 D. 5米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 6. 一块长为、宽为的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（ ） A. 甲同学说的对 B. 乙同学说的对 C. 甲、乙两名同学说的都对 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先利用算术平方根求出每个正方形的边长，求出两个小正方形的边长之和，与长方形的长比较即可． 【详解】解: ∵两个面积分别是和的正方形木板， 边长分别为，， ∵两个正方形边长之和为＞7dm， ∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确． 故选择B． 【点睛】本题考查正方形面积求边长，二次根式的和，比较无理数的大小，掌握以上知识是解题关键． 7. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，则可求出，再由折叠的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得， 故选；D． 8. 如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，再根据点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8得到，再由勾股定理即可计算出的值． 【详解】解：连接，交于M， 四边形是菱形， ， 平行x轴，， ， 点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8， ， ， ． 菱形的边长值为． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 9. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 10. 将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大半圆形的面积 C. 较小两个半圆形的面积和 D. 最大半圆形与直角三角形的面积和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆的面积．两个月牙形的面积和以、为直径的半圆的面积的和直角三角形三角形的面积以为直径的半圆的面积，由此即可解决问题． 【详解】解：以为直径的半圆的面积， 同理：以、为直径的半圆的面积分别是，， 两个月牙形的面积和以、为直径的半圆的面积的和直角三角形三角形的面积以为直径的半圆的面积， 两个月牙形的面积和直角三角形的面积直角三角形的面积， 由勾股定理得：， 两个月牙形的面积和直角三角形的面积． 故选：A． 二、细心填一填（本大题共5小题，满分15分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 11. 使式子有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于点，连接，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题意知所作直线为线段的垂直平分线，得，进而得，又由菱形的性质可得，得到，再利用角的和差关系即可求解，掌握菱形和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，所作直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 《蝶几图》是明朝人戈汕所设计的一种桌面拼合游戏，它的设计不仅是一种娱乐方式，它还体现了明朝时期智力游戏和几何学的发展水平，它包括六种基本图形块，分别为：“长斜”（两只等腰梯形）、“右半斜”（两只直角梯形）、“左半斜”（两只直角梯形，与右半斜相似，但方向相反）、“闺”（一只直角梯形）、“小三斜”（四只等腰直角三角形）、“大三斜”（两只等腰直角三角形）．图2为某蝶几拼合图，其中和为“大三斜”组件，已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，，则，根据对称的性质得，，则，，进而得，，然后根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握等腰直角三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 14. 定义：因为，可以有效的去掉根号，我们称与为一对“对偶式”．若，则 ____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 15. 如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，取的中点，连接，，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形的性质得，，再由直角三角形性质得 ，，然后证明，得，，从而可证得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵G是的中点， ∴ ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．利用证是解题的关键． 三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先化简二次根式、绝对值，求负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 17. 一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． （1）求两地的距离； （2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，， ∴， 即两地的距离为； 【小问2详解】 解：根据等面积法知：， 即， ∴， 即的距离为 18. 如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M． （1）求证：BE＝FM； （2）求BE的长度． 【答案】 （1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF ∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF ∠FAM＝∠EAB ∵FM⊥AC ∠FMA＝∠B＝90° ≌（AAS） BE＝FM （2）—4 【解析】 【分析】（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可； （2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可． 【详解】（1）略； （2）在正方形ABCD中，边长为4 AC＝，∠DCA＝45° ≌ ∴AM＝AB＝4 MC＝AC—AM＝—4 ∵是等腰直角三角形 BE＝MF＝MC＝—4 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理． 19. 如图，的顶点O、A、C的坐标分别是、、，E，F分别是，上的点． （1）点B的坐标是_______； （2）若，求证：四边形是平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）证明：由题意可得：，， ∵， ∴，且 ∴四边形是平行四边形． （3）12． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出点B的横坐标与纵坐标即可求解； （2）只需推出，且，即可求证； （3）根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵的顶点O、A、C的坐标分别是、、， ∴B点纵坐标为3，横坐标为5+2=7， ∴点B的坐标是． （2）略 （3）∵的顶点O、A、C的坐标分别是、、 ∴，点B到OA的距离为3， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 21. 有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ （2）若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】（1）此时游轮距离岸边还有米 （2）工作人员手中的绳子被收上来米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【小问1详解】 解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； 【小问2详解】 解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 22. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． 【小问2详解】 解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形的边上一动点，连接，将沿着折叠得到． 初步探究： （1）如图1，当点P与点A重合时，与交于点E，求证：； 深入探究： （2）如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接，求证：； 拓展延伸： （3）在问题（2）中，若，，的面积为，直接写出长方形的面积． 【答案】 （1）证明：∵矩形，根据题意，得 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． （2）证明：根据题意，得， ， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，特殊角的直角三角形的应用． （1）根据矩形的性质和折叠的性质，得，，根据平行线性质，得到，继而得到，得到，证明即可． （2）根据折叠的性质，矩形的性质，得到，，结合,得证可得． （3）利用，，勾股定理分割计算面积后求和即可． 【详解】(1)略 (2)略 （3）根据题意，得，， ∴． ∵， ∴，， ∴，， 根据(2)得，， ∴， ∴． 24. 已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值______，并写出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）时，；时，；时， （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，再用三角形的中位线得出，进而求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于，如图所示： ， ， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为， ， ∴， ∴，， ，即， ∴， 故答案为：，此时． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、最值的确定、三角形中位线定理等知识，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $