精品解析：吉林省吉林市实验中学2024-2025学年高三下学期基础测试数学试题

吉林市实验中学高三年级基础测试 数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 6 C. 9 D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上存在单调递减区间，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A 0 B. 1 C. 4 D. 8 6. 2025年热播国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》自1月29日在国内首映以来连破票房记录，于3月15日进入全球电影票房榜第五位．它不仅在技术上实现了中国动画电影的突破，更在主题上蕴含了丰富的社会寓意．影片通过对经典神话故事的重新解读，探讨了命运、偏见与人性的复杂议题，同时也反映了中国当代社会的价值观念和文化自信，推动了中国传统文化的传承与创新．现摘取2月4日至2月7日的统计数据如下： 日期 2月4日 2月5日 2月6日 2月7日 首映日起第x天 7 8 9 10 单日观影人次y（亿人次） 单日综合票房z（亿元） 则下列说法正确的是（ ） A. 从表中数据看，累计综合票房增长放缓 B. x与y负相关 C. y与z负相关 D. 经计算，这四天中y与z的经验回归方程为，则 7. 如图，在梯形中，，P是外接圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 10. 已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ） A. 恒过的焦点 B. ，的横坐标之积为定值4 C. ，距离的最大值为6 D. 直线的斜率恒为定值 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，函数单调递增 B. 存在正数，使得函数为偶函数 C. 函数的图象与直线有两个交点 D. 若函数在上单调递增，则实数的最小值为 三、填空题 12. 数列满足，则的前100项和_____． 13. 在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为_______. 14. 在如图的方格中选5个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5个数之和的最大值是__________． 12 11 12 14 13 21 21 23 25 22 32 32 31 33 31 41 43 42 44 40 52 51 53 54 54 四、解答题 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求单调区间. 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 18. 京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达. 上午（00：00至11：59） 下午（12：00至23：59） 07：26北京西17：49广州南 12：26北京西22：51广州南 08：00北京西15：35广州南 14：00北京西21：43广州南 08：32北京西19：12广州南 20：13北京西 10：00北京西17：17广州南 （1）某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； （2）甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 19. 记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． （1）已知数列为7，6，5，8，求数列； （2）若，且A中恰有5个元素，求实数a取值范围； （3）若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市实验中学高三年级基础测试 数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 6 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线求得，进而由向量的坐标运算求得的坐标，可求模. 【详解】因为，所以，解得， ，所以，所以. 故选：B. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角的三角函数关系式化简求出的值，再运用和角的正切公式计算即得. 【详解】由，解得， 因，则，即， 故. 故选：D. 4. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】法一：通过赋值，代入即可求解； 法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可. 【详解】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以 故选：A. 6. 2025年热播的国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》自1月29日在国内首映以来连破票房记录，于3月15日进入全球电影票房榜第五位．它不仅在技术上实现了中国动画电影的突破，更在主题上蕴含了丰富的社会寓意．影片通过对经典神话故事的重新解读，探讨了命运、偏见与人性的复杂议题，同时也反映了中国当代社会的价值观念和文化自信，推动了中国传统文化的传承与创新．现摘取2月4日至2月7日的统计数据如下： 日期 2月4日 2月5日 2月6日 2月7日 首映日起第x天 7 8 9 10 单日观影人次y（亿人次） 单日综合票房z（亿元） 则下列说法正确的是（ ） A. 从表中数据看，累计综合票房增长放缓 B. x与y负相关 C. y与z负相关 D. 经计算，这四天中y与z的经验回归方程为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数据的变化趋势，判断选项的正误，在依据经验回归方程得性质，求出参数. 【详解】根据表格数据A,B正确，C错误. ， . 代入回归方程得，解得. 故选择:ABD. 7. 如图，在梯形中，，P是外接圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的乘法运算律和数量积算法公式，求出的表达式，根据向量夹角的变化范围，求出最大值. 【详解】如图所示，过做,过做, 根据已知条件可知,设, 在和中列出勾股定理方程，解出, 可得，则， 如图,作外接圆,圆心为，设, 在和中，可得方程，解得, 可知圆心就在上，为EF的中点 连接,可知，所以, 据题意可知，, 当，即同向时，最大值为. 故选：B. 8. 如图，从正六边形的顶点和该正六边形的中心这七个点中任意选取三个点，若选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合古典概型和对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 即、、或、、或、、， 其中能构成的等边三角形的有：、、、、、 、、，共个， 因此，构成的三角形不是等边三角形的概率是. 故选：B. 二、多选题 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A错误； 观众年龄的众数估计是，故B正确； 估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误； 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故第70百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第70百分位数为38，故D正确． 故选：BD 10. 已知抛物线：，两平行直线，分别交于点，，，，O为坐标原点，且，M，N分别是，的中点，且，则（ ） A. 恒过的焦点 B. ，的横坐标之积为定值4 C. ，距离的最大值为6 D. 直线的斜率恒为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AC，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，进而根据求解可得的方程为，的方程为即可判断；对B，根据韦达定理结合求解即可；对D，根据中点坐标求解的坐标即可判断. 【详解】对AC，设直线的方程为， 的方程为， ，，，， 联立，得， 所以，，， 所以， 解得或， 所以的方程为或， 同理可得的方程为或， 又，所以的方程为，的方程为， 所以恒过焦点，恒过点（6，0），且，距离的最大值为，A项正确，C项错误； 对B，，B项正确； 对D，由题得，同理得， 所以，D项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，函数单调递增 B. 存在正数，使得函数为偶函数 C. 函数的图象与直线有两个交点 D. 若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；取，结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数的关系求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数， 综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即， 因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12. 数列满足，则的前100项和_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】， ①当为偶数时， ，，， ，， … ， . ②当为奇数时， ，， ， ，，…，， ， 故答案为： 13. 在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，写出点的坐标，根据 ，利用空间数量积求解，得到答案. 【详解】根据题意建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 由，则，设，由题意可知， ， 则，， 由，则， 故的轨迹为矩形，且顶点为， 又，故. 故答案为: . 14. 在如图的方格中选5个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法（用数字作答），在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的5个数之和的最大值是__________． 12 11 12 14 13 21 21 23 25 22 32 32 31 33 31 41 43 42 44 40 52 51 53 54 54 【答案】 ①. 120 ②. 166 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可；先分析行再分析列得到个位上数字之和最大的情况即可求解. 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有5种不同的选法， 第二步，从第二行任选一个与第一个数不同列的数，共有4种不同的选法， 第三步，从第三行中选一个与第一，二个数不同列的数，共有3种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，共有2种选法， 第五步，从第五行中选一个与第一、二，三，四个数不同列的数，只有1种选法， 由分步乘法计数原理可知共有种不同的选法； 先按行分析，每行必选出一个数，所以所选5个数的十位数字分别为1，2，3，4，5， 再按列分析，第一、二、三、四，五列个位上的数字的最大值分别为2，3，3，5，4， 所以从第一行选13，从第二行选25，从第三行选32，从第四行选43，从第五行选53， 此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的5个数之和的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理即可求得，由此即可得解； （2）由三角形面角公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， ， 又， ，即. 又，. 【小问2详解】 ，的面积为， ，即. 由余弦定理可得， 即， 又，. 的周长为. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为和，递减区间为和 【解析】 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【小问1详解】 由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得. （2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【小问1详解】 延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且， 由，得，则，， 又，则是正三角形，，在中，记， 由正弦定理，即， 则，即， 所以，即 【小问2详解】 由（1）知，在中，， 在中，， 于是，整理得， 在中，，当且仅当时取等号， 又，所以的取值范围为. 18. 京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达. 上午（00：00至11：59） 下午（12：00至23：59） 07：26北京西17：49广州南 12：26北京西22：51广州南 08：00北京西15：35广州南 14：00北京西21：43广州南 08：32北京西19：12广州南 20：13北京西 10：00北京西17：17广州南 （1）某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； （2）甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量X为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求X的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）甲 【解析】 【分析】（1）利用古典概率求概率公式得到答案； （2）（ⅰ）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并求出数学期望； （ⅱ）列车运行时长最短为7小时17分，在上午，分别计算出甲，乙，丙选取此列车的概率，比较后得到结论. 【小问1详解】 从北京西出发到广州南的高铁车次共7个， 运行时长不超过10小时的有4个，超过10小时的有3个， 故这趟列车的运行时长不超过10小时的概率为； 【小问2详解】 （ⅰ）上午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有2个， 下午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有1个， 甲选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 乙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 丙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； （ⅱ）甲选取列车运行时长最短的概率最大，理由如下： 列车运行时长最短为7小时17分，在上午，甲选取此列车的概率为， 乙选取此列车的概率为0，丙选取此列车的概率为， 故甲选取的列车运行时长最短的概率最大. 19. 记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． （1）已知数列为7，6，5，8，求数列； （2）若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围； （3）若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 【答案】（1）7，7，7，8； （2） （3）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“生成子列”的定义即可求解； （2）根据中有5个元素结合数列单调性及“生成子列”定义可得：且，从而可得参数的取值范围. （3）根据特殊角三角函数结合“生成子列”的定义可得其通项，从而可求，进一步可求得以及取得最大值时的m值. 【小问1详解】 当数列为7，6，5，8时，根据定义有： ，所以数列为：7，7，7，8； 【小问2详解】 因为，所以， 由得 当时，数列递增，当时，数列递减， 因为A中有5个元素，结合数列的单调性可知， 且，即， 解得，所以a的取值范围是； 【小问3详解】 由题意得 所以， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有n个， ①法一：由题意，所以. 法二：X的取值范围是 ， ． ，所以． ②，令得 即 解得 因为，当时，或时，取得最大值 当时，时取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $