专题01 生活中的立体图形-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题01 生活中的立体图形 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、几何体的识别 4 题型2、立体图形的分类 6 题型3、几何体中的点、棱、面 8 题型4、动态认识点、线、面、体 10 题型5、平面图形旋转所得立体图形 11 题型6、求平面图形旋转所得立体图形的面积或体积 14 基础通关 15 拓展提优 20 1. 认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类； 2. 通过丰富的实例抽象出几何体与基本平面图形，进一步认识点、线、面、体及其之间的关系，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质； 3. 在平面图形经过旋转得到立体图形的过程中，发展空间观念； 4. 体验数学知识之间的内在联系，发展思维能力。 【思考1】在小明的书房中，哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似？ 【思考2】图中物体可以近似地看成由一些常见几何体组成，你能找出其中常见的几何体吗？ 1.立体图形 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 2.常见的立体图形 常见的立体图形 名称 特 征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱（本书一般只讨论直棱柱），其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，且互相平行，侧面为平行四边形，直棱柱的侧面为长方形．底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 正方体与长方体都是四棱柱．（构成棱柱的元素及其关系见后） 圆锥 由两个面围成，有一个底面是圆形，一个顶点，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球 由一个曲面围成． 圆台 由三个面围成，上、下两个底面是大小不等的圆形，且互相平行，侧面为曲面．（了解即可） 棱台 上、下两个底面为多边形，且互相平行，侧面均为梯形．（了解即可） 3.立体图形的分类 分类标准 圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球 按形状 柱 圆柱、棱柱 锥 圆锥、棱锥 球 球 按是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球 按是否有顶点 是 棱柱、圆锥、棱锥 否 圆柱、球 按是否有棱 是 棱柱、棱锥 否 圆柱、圆锥、球 4.棱柱的有关概念及其特征 1）在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形． 2）通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 注意：①长方体、正方体都是四棱柱； ②棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3）棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n＋2个面，n个侧面． 5. 点、线、面、体之间的关系 1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． 2）点动成线，线动成面，面动成体． 3）点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 6. 旋转体：由平面图形绕其一边旋转而成的立体图形． 一般含有曲面的几何体，都可看成是由某一平面图形，绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到的，旋转轴与旋转角不同，得到的几何体也不同． 常见面动成体（旋转体）示例： 题型1、几何体的识别 【解题技巧】 例1．（2025·河南商丘·二模）端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．三棱锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 例3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列几何体中不含曲面的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图图形中属于棱柱的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，关于图中的几何体，下列叙述不正确的是（   ） A．四个几何体中，平面数最多的是图 B．图有四个面是平面 C．图中只有一个顶点的几何体是图 D．图由两个面围成，其中一个面是曲面 变式3．（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来． 变式4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2、立体图形的分类 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其他三个不属于同一类的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称． 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 题型3、几何体中的点、棱、面 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 例2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；特征②：它一共有9条棱． 则盒子里面放的几何体是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥 例4．（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 例6．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 变式2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）若一个棱柱有6条侧棱，则下列说法错误的是（   ） A．这个棱柱共有18条棱 B．这个棱柱有12个顶点 C．这个棱柱有6个面 D．这个棱柱是六棱柱 变式3．（24-25六年级上·山东淄博·期末）一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）四棱柱的棱数与 棱锥的棱数相等． 变式5．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 题型4、动态认识点、线、面、体 【解题技巧】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 例3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 例4．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列生活形象解释正确的一项是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的轨迹：点动成线 B．天空划过的流星：线动成面 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹：线动成面 D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线：面动成体 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）传统文化情境·武术中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为 ． 变式2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 变式3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 题型5、平面图形旋转所得立体图形 【解题技巧】 例1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·陕西延安·模拟预测）陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·全国·期中）如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． 变式1．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 题型6、求平面图形旋转所得立体图形的面积或体积 【解题技巧】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）一个长为6cm，宽为4cm的长方形，以其一条边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是 ，它的体积为 （结果保留）． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 例3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4和9，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为 ___________，这个现象用数学知识可以解释为 ___________． (2)求这个几何体的体积．（结果保留π） 变式2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 变式3．（23-24七年级上·四川成都·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 1．（2025·陕西商洛·一模）下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 4．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱锥；⑥球．回答下面的问题：（用序号填空） (1)表面都是平面的是 ，表面没有平面的是 ，表面既有平面又有曲面的是 ； (2)只有一个表面的是 ，有两个表面的是 ，有三个表面的是 ，有四个表面的是 ，有六个表面的是 ； (3)面与面相交都是直线的是 ，面与面相交都是曲线的是 ． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 7．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）已知一个直棱柱共有个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是 ． 8．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 9．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 10．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）向空中扔一块小石子，小石子经过的路线用数学知识解释为点动成线．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，中国历来有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时．随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象用数学知识解释为 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 12．（2024七年级上·全国·专题练习）下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 13．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，将平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）下列各选项中的图形能够绕虚线旋转一周得到如图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知一个长方形的长和宽分别是和，以其中一条边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 （结果保留）． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长和宽分别为6和2，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）． 18．（2025九年级下·浙江·专题练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 1．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 4．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 生活中的立体图形 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、几何体的识别 4 题型2、立体图形的分类 8 题型3、几何体中的点、棱、面 11 题型4、动态认识点、线、面、体 18 题型5、平面图形旋转所得立体图形 21 题型6、求平面图形旋转所得立体图形的面积或体积 25 基础通关 29 拓展提优 39 1. 认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类； 2. 通过丰富的实例抽象出几何体与基本平面图形，进一步认识点、线、面、体及其之间的关系，了解有关点、线及某些平面图形的一些简单性质； 3. 在平面图形经过旋转得到立体图形的过程中，发展空间观念； 4. 体验数学知识之间的内在联系，发展思维能力。 【思考1】在小明的书房中，哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似？ 【思考2】图中物体可以近似地看成由一些常见几何体组成，你能找出其中常见的几何体吗？ 1.立体图形 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 2.常见的立体图形 常见的立体图形 名称 特 征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱（本书一般只讨论直棱柱），其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，且互相平行，侧面为平行四边形，直棱柱的侧面为长方形．底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 正方体与长方体都是四棱柱．（构成棱柱的元素及其关系见后） 圆锥 由两个面围成，有一个底面是圆形，一个顶点，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球 由一个曲面围成． 圆台 由三个面围成，上、下两个底面是大小不等的圆形，且互相平行，侧面为曲面．（了解即可） 棱台 上、下两个底面为多边形，且互相平行，侧面均为梯形．（了解即可） 3.立体图形的分类 分类标准 圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球 按形状 柱 圆柱、棱柱 锥 圆锥、棱锥 球 球 按是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球 按是否有顶点 是 棱柱、圆锥、棱锥 否 圆柱、球 按是否有棱 是 棱柱、棱锥 否 圆柱、圆锥、球 4.棱柱的有关概念及其特征 1）在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形． 2）通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形…… 注意：①长方体、正方体都是四棱柱； ②棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3）棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n＋2个面，n个侧面． 5. 点、线、面、体之间的关系 1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． 2）点动成线，线动成面，面动成体． 3）点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 6. 旋转体：由平面图形绕其一边旋转而成的立体图形． 一般含有曲面的几何体，都可看成是由某一平面图形，绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到的，旋转轴与旋转角不同，得到的几何体也不同． 常见面动成体（旋转体）示例： 题型1、几何体的识别 【解题技巧】 例1．（2025·河南商丘·二模）端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 例2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．三棱锥 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一种几何体的特征是解题的关键． 根据几何体的特征逐一识别即可． 【详解】 解：A． 是四棱锥，题中名称与图形不相符，故符合题意； B． 是圆柱，题中名称与图形相符，故不符合题意； C． 是四棱柱，题中名称与图形相符，故不符合题意； D． 是圆锥，题中名称与图形相符，故不符合题意； 故选：A． 例3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）下列几何体中不含曲面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何体的意义是解题的关键． 本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 无曲面． 故选：B． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图图形中属于棱柱的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了认识立体图形，理解棱柱的定义是解题关键．棱柱是几何学中的一种常见的三维多面体，指上下底面平行且形状大小一致，侧棱平行且相等的封闭几何体．根据棱柱的定义，可得答案． 【详解】解：各图形中，属于棱柱的有正方体，三棱柱，四棱柱，共计3个． 故选：B． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，关于图中的几何体，下列叙述不正确的是（   ） A．四个几何体中，平面数最多的是图 B．图有四个面是平面 C．图中只有一个顶点的几何体是图 D．图由两个面围成，其中一个面是曲面 【答案】D 【分析】本题考查了对几何体的认识，根据几何体的组成逐一判断即可，正确理解几何体是解题的关键． 【详解】解：只有一个曲面，没有顶点； 有个平面，个曲面，有个顶点； 有个平面，个曲面，有个顶点； 有个平面，有个顶点， 故正确，错误，故D符合题意， 故选：． 变式3．（24-25七年级上·天津河西·期末）把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 【详解】解：如图： ． 变式4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）下列是棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查几何图形的知识，解题的关键是掌握棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体，进行解答，即可． 【详解】解：∵棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体 ∴上述图形中属于棱柱的几何体为： 共3个． 故选：B． 题型2、立体图形的分类 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）按柱体、锥体、球体分类，下列立体图形中与其他三个不属于同一类的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的认识．根据立体图形的特征判断即可．对于本题要掌握柱体、锥体和球体的定义.柱体：一个多面体由一个曲面和两个平面组成，有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱.球体:空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球体.锥体：圆锥和棱锥这样的立体图形是锥体.以直角三角形的一个直角边为轴旋转一周所得到的立体图形就是圆锥.棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥…… 【详解】解：A、D都是四棱柱，B是圆柱是柱体，C为圆锥是锥体． 故选：C． 例3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将下列几何体分为三类，并说出它们的名称． 【答案】见解析 【分析】本题考查几何体的分类，解题的关键是掌握几何体分类的标准，根据几何体的特征写出名称，然后按柱体、锥体、球体为标准进行分类或按面的特征进行分类即可． 【详解】解：（1）是长方体；（2）是三棱柱；（3）是球体；（4）是圆柱；（5）是圆锥；（6）是三棱锥；（7）是六棱柱； 方法一：（1），（2），（4），（7）是一类，是柱体； （5），（6）是一类，是锥体； （3）是一类，是球体． 方法二：（1），（2），（6），（7）是一类，全是由平面构成的； （4），（5）是一类，既有平面，又有曲面； （3）是一类，只有曲面． 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧ 【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可． 【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧， 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 题型3、几何体中的点、棱、面 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【答案】D 【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱， ∴D说法正确，A、B、C说法错误， 故选D． 例2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有 面，它是 棱柱． 【答案】 10/十 八/8 【分析】本题主要考查立体几何的认识，掌握立体几何中点、棱、面的关系是解题的关键． n棱柱底面边数为n，顶点有个，侧面有n个，面有个，棱有个，根据棱柱的棱数与底面多边形边数的关系即可求出答案． 【详解】解：该棱柱共有24条棱，根据棱柱的性质，底面多边形的边数为， ∴它是八棱柱，有面， 故答案为：10，八． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）老师拿着一个装有某几何体的盒子，并描述了这个几何体的两个特征：特征①：它由五个面组成，这些面中只有三角形和长方形；特征②：它一共有9条棱． 则盒子里面放的几何体是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据题干中几何体的两个特征，对四个选项逐一分析判断，即可得出答案． 【详解】解：A．长方体有六个面，故此选项不符合题意； B．三棱锥有四个面，故此选项不符合题意； C．三棱柱有三个侧面，都是长方形，上、下底面都是三角形，有三条侧棱，上、下底各有三条棱，共有9条棱，故此选项符合题意； D．五棱锥的侧面是三角形，底面是五边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 例4．（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了棱柱的侧面积计算，先求出棱柱的棱数，再求出侧棱长，然后求侧面积即可，正确理解棱柱的有关定义是解题的关键． 【详解】解：∵棱柱有个面， ∴是棱柱， ∴侧棱长为， ∵底面边长都是， ∴底面周长是， ∴侧面积， 故答案为：． 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直棱柱，它有18条棱，侧棱长，底面边长都为． (1)这个直棱柱是 ___________棱柱，它有 ___________个面，___________个顶点； (2)这个棱柱的所有棱长的和为 ___________； (3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)六，8，12 (2) (3) 【分析】（1）由n棱柱有条棱，有个顶点，有个面求解可得； （2）棱柱的所有棱长和=6个侧棱长+12个底边长； （3）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 本题考查了n棱柱有条棱，有个顶点，有个面，侧面积，棱长，熟练掌握基本内涵是解题的关键． 【详解】（1）解：∵此直棱柱有18条棱， ∴由知，此棱柱是六棱柱；这个六棱柱有8个面，有12个顶点； 故答案为：六，8，12． （2）解：∵一条侧棱长为，底面各边长都为， ∴棱柱的所有棱长和； 故答案为：． （3）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 例6．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现； （3）根据有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， 故答案为：； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，五边形的个数为个， 有36个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 变式1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 【答案】C 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点． 根据四、五、六、八棱柱的特点可得答案． 【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意； B、五棱柱有个面，选项说法正确，不符合题意； C、八棱柱有条棱，选项说法错误，符合题意； D、六棱柱有个顶点，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）若一个棱柱有6条侧棱，则下列说法错误的是（   ） A．这个棱柱共有18条棱 B．这个棱柱有12个顶点 C．这个棱柱有6个面 D．这个棱柱是六棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握棱、点、面的关系及其特点是解题的关键． 根据题意作图，图形结合分析即可求解． 【详解】解：一个棱柱有6条侧棱，作图如下， ∴A、这个棱柱共有18条棱，正确，不符合题意； B、这个棱柱有12个顶点，正确，不符合题意； C、这个棱柱有8个面，原选项错误，符合题意； D、这个棱柱是六棱柱，正确，不符合题意； 故选：C ． 变式3．（24-25六年级上·山东淄博·期末）一个正n棱柱，它有5个面，该棱柱是 棱柱，它有 条棱、 个顶点． 【答案】 三 9 6 【分析】本题主要考查了认识立体图形，根据棱柱的特点，用5个面减去2个底面可得3个侧面即可得出是三棱柱，然后判断该棱柱的棱和顶点即可． 【详解】解：∵正n棱柱，它有5个面， ∴侧面有（个） ∴这是一个三棱柱， ∴该棱柱有9条棱，6个顶点． 故答案为：三，9，6． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）四棱柱的棱数与 棱锥的棱数相等． 【答案】六 【分析】本题考查了棱柱与棱锥的特点，根据棱柱共有条棱．棱锥共有条棱，即可求解． 【详解】解：四棱柱有条棱，棱锥有条棱． 依题意，， 故． 故答案为：六． 变式5．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 题型4、动态认识点、线、面、体 【解题技巧】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（   ） A．点；面；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【分析】本题考查了点动成线，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体. 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线. 故选：B． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了线动成面． 故选：B． 例3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，是基础题，需熟记，根据、线、面、体四者之间的关系解答即可． 【详解】解：翻书时书页在空中运动的痕迹，说明了面动成体， 故选：C． 例4．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列生活形象解释正确的一项是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的轨迹：点动成线 B．天空划过的流星：线动成面 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹：线动成面 D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线：面动成体 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键，点动成线、线动成面、面动成体． 【详解】解：A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，此现象给我们“面动成体”的感觉，故A不符合题意； B．天空划过的流星，给我们的感觉为“点动成线”，故B不符合题意 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹，给我们的感觉是“线动成面”，故C符合题意； D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线不是面动成体，故D不符合题意； 故选：C． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）传统文化情境·武术中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为 ． 【答案】点动成线，线动成面． 【分析】本题考查了点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：“枪”尖可以抽象成为一个点，“枪挑”对应的是点的运动，点的轨迹是一条线； “棍”可以抽象成为一条直线，“棍扫”对应的是线运动，线运动形成一个面，就是一大片， “枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为:“点动成线，线动成面”． 故答案为：点动成线，线动成面． 变式2．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交形成线 【答案】A 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成题进行判断即可. 此题考查点、线、面、体的关系，正确理解原物体的运动是解题的关键. 【详解】节日里向空中升起的烟火，这个过程体现了点动成线. 故选：A 变式3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列现象不能体现线动成面的是(　　) A．用平口铲子铲去墙面上的大片污渍 B．用一条拉直的细线切一块豆腐 C．流星划过天空留下运动轨迹 D．用木板的边缘将沙坑里的沙推平 【答案】C 【分析】本题考查了点动成线、线动成面的知识．根据上述知识，对各选项进行分析即可． 【详解】选项A，用平口铲子铲去墙面上的大片污渍，说明“线动成面”； 选项B，用一条拉直的细线切一块豆腐，说明“线动成面”； 选项C，流星划过天空留下运动轨迹说明“点动成线”； 选项D，用木板的边缘将沙坑里的沙推平，说明“线动成面”. 故选C． 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期末）几何图形都是由点、线、面、体组成，点动成线，线动成面，面动成体．下列生活现象中，可以反映“面动成体”的是（　　） A．粉笔写字 B．流星划过夜空 C．硬币在桌上旋转 D．汽车雨刷转动 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识．根据点，线，面，体的相关知道分析即可． 【详解】解：A、粉笔写字是“点动成线”，故本选项不合题意； B、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意； C、硬币在桌上旋转是“面动成体”，故本选项符合题意； D、汽车雨刷转动是“线动成面”，故本选项不合题意． 故选：C． 题型5、平面图形旋转所得立体图形 【解题技巧】 例1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，将该平面图形绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，记住常见平面图形旋转得到的几何体是解题的关键． 根据旋转的性质判定即可． 【详解】 解：绕图中的虚线（轴线）旋转一周，得到的立体图形是 故选：B． 例2．（2025·陕西延安·模拟预测）陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项．通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】解：将所给图形绕直线旋转一周后的几何体与D选项的花瓶外表最为相似， 故选：D． 例3．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：观察如图，几何体可能是：空心的圆柱体． 故选：D． 例4．（24-25七年级上·全国·期中）如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体：梯形绕底边旋转得中间圆柱、上下圆锥，半圆绕直径旋转得球，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，可得答案． 【详解】解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为： ． 变式1．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握面动成体得到的几何体的形状是解题的关键．根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体解答． 【详解】解：四边形是矩形，， ，是长边． 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是较高的圆柱体． 故选：B． 变式2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 变式3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及几何体的特点解答．根据面动成体解答即可． 【详解】解：将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得到半个球， 故选：A． 变式4．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，关键是同学们要注意观察，培养自己的空间想象能力．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：将如图所示的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体，里面是空的圆锥体 故选：B． 题型6、求平面图形旋转所得立体图形的面积或体积 【解题技巧】 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）一个长为6cm，宽为4cm的长方形，以其一条边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是 ，它的体积为 （结果保留）． 【答案】 圆柱 或 【分析】本题考查旋转体，根据题意，得到旋转后的图形为圆柱，分两种情况，结合圆柱体的体积公式，进行计算即可． 【详解】将一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周得到的几何体是圆柱； 当绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：； 当绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：． 故答案为：圆柱；或． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的表面积计算，解题关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形． 长方形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：大圆柱的侧面积； 小圆柱的侧面积； 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积． 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个直角三角形的两直角边长分别为4和9，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为 ___________，这个现象用数学知识可以解释为 ___________． (2)求这个几何体的体积．（结果保留π） 【答案】(1)圆锥；面动成体； (2)或 【分析】（1 ）根据圆锥的特征，面动成体即可解答； （2 ）分两种情况进行计算，即可解答． 本题考查了面动成体，圆锥的体积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：圆锥；面动成体． （2）解：以直角边4所在直线旋转一周得到的圆锥的体积为： ； 以直角边9所在直线旋转一周得到的圆锥的体积为：； 综上所述：这个几何体的体积为或． 变式2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 【答案】D 【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为； 乙图圆柱的侧面积为：，体积为； ， ， 故甲乙的侧面积相同，体积不同； 故选：D． 变式3．（23-24七年级上·四川成都·期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 1．（2025·陕西商洛·一模）下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案． 【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意； B．选项中的图形为圆柱，不合题意； C．选项中的图形为三棱锥，不合题意； D．选项中的图形为三棱柱，符合题意； 故选D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图中柱体有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据柱体的定义（一个多面体有两个面互相平行且相等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体为柱体）即可判断． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱， 图中的柱体有①③④⑥，共4个． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了柱体的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念即可． 3．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列几何体中，属于棱柱的是（      ） A．①②③⑥ B．①② C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱． 属于棱柱的有：①③⑥； 故选：C 4．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 【答案】见解析 【分析】本题考查基本立体图形的认识，以及立体图形分类，根据立体图形的特点进行分类即可． 【详解】解：按锥体柱体、锥体，球体划分： 柱体：①②⑤⑦⑧； 锥体：④⑥； 球体：③． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列几何体：①正方体；②长方体；③圆柱；④圆锥；⑤三棱锥；⑥球．回答下面的问题：（用序号填空） (1)表面都是平面的是 ，表面没有平面的是 ，表面既有平面又有曲面的是 ； (2)只有一个表面的是 ，有两个表面的是 ，有三个表面的是 ，有四个表面的是 ，有六个表面的是 ； (3)面与面相交都是直线的是 ，面与面相交都是曲线的是 ． 【答案】(1)①②⑤，⑥，③④ (2)⑥，④，③，⑤，①② (3)①②⑤，③④ 【分析】本题主要考查了常见的立体图形的特征， （1）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况； （2）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况； （3）通过对每个几何体的面的特征进行观察和分析，即可确定它们的分类和交线情况； 熟练掌握它们的特征是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵正方体①由六个完全相同的正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成，三棱锥⑤由多个三角形平面组成， ∴表面都是平面的是①②⑤， ∵ 球体⑥的表面是完全弯曲的，没有平的面， ∴表面没有平面的是⑥， ∵ 圆柱③由两个圆形平面和一个弯曲的侧面组成，圆锥④由一个圆形平面和一个弯曲的侧面组成， ∴表面既有平面又有曲面的是③④， 故答案为：①②⑤，⑥，③④； （2）∵ 球体⑥整个外表面是一个连续的曲面，只有一个表面， ∴只有一个表面的是⑥， ∵圆锥④由一个底面圆形平面和一个弯曲的侧面组成，共两个面， ∴有两个表面的是④， ∵圆柱③由两个圆形底面和一个弯曲的侧面组成，共三个面， ∴有三个表面的是③， ∵三棱锥⑤由三个三角形侧面和一个三角形底面组成，共四个面， ∴有四个表面的是⑤， ∵正方体①由六个正方形平面组成，长方体②由六个矩形平面组成， ∴有六个表面的是①②； 故答案为：⑥，④，③，⑤，①②； （3）∵正方体①、长方体②、三棱锥⑤的面与面相交的线都是直线， ∴面与面相交都是直线的是①②⑤， ∵圆柱③和圆锥④的面与面相交的线都是曲线， ∴面与面相交都是曲线的是③④， 故答案为：①②⑤，③④． 6．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有5个面、5条棱 B．圆锥的底面是圆 C．棱柱的上下底面是完全相同的图形 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】A 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据棱柱和圆锥的特征求解即可． 【详解】解：A、五棱柱有7个面、15条棱，本选项的说法不正确； B、圆锥的底面是圆，本选项的说法正确； C、棱柱的上下底面是完全相同的图形，本选项的说法正确； D、长方体与正方体都有六个面，本选项的说法正确． 故选：A 7．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期末）已知一个直棱柱共有个顶点，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正棱柱侧面积的计算，根据题意，判断这个直棱柱是六棱柱，利用棱柱侧面积公式即可解答，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵一个直棱柱共有个顶点， ∴这个直棱柱是六棱柱， ∵它的底面边长都是，侧棱长都是， ∴它的侧面积是， 故答案为：． 8．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】 / 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键； （1）结合已知四棱柱特征，即可求解； （2）结合六棱柱的特征，即可求解； （3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点； 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 9．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 正方体 8 12 正八面体 8 正十二面体 30 （2）解：∵，，，， ∴ （3）解：由，得， 所以， 所以这个多面体的面数为100． 10．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）向空中扔一块小石子，小石子经过的路线用数学知识解释为点动成线．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，中国历来有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时．随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体的关系是解题的关键；因此此题可根据点动成线，线动成面，面动成体可进行求解． 【详解】解：神舟十七号载人飞船回舱时拖着“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线； 故选A． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．旋转一扇门，门运动的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹 D．时钟的秒针旋转时扫过的痕迹 【答案】A 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的关系，熟练掌握“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”是解题的关键． 【详解】解：A、旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项正确； B、扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项错误； C、雨刮器刮去玻璃上的雨水的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误； D、时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项错误． 故选：A． 13．（24-25七年级上·山西长治·期末）如图，将平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点、线、面、体．根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果． 【详解】解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台， 故选：D． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）下列各选项中的图形能够绕虚线旋转一周得到如图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转体，根据立体图形为圆柱体和球的组合体，以及圆柱是由长方形绕一边旋转而成，球是由半圆绕直径旋转得到的，即可得出结果． 【详解】解：∵立体图形为圆柱体和球的组合体， ∴能绕虚线旋转一周得到该立体图形的是：， 故选：C． 15．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体——图形的旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 图示几何体是由两个圆柱组成的，矩形旋转成圆柱，据此即可求解． 【详解】解：选项A中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，符合题意； 选项B中图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，且上圆柱有空心，不符合题意． 选项C中图形绕虚线旋转一周，能够得到上中下三个圆柱，且上下圆柱有空心，不符合题意； 选项D中图形绕虚线旋转一周，能够得到上中下三个圆柱，故选项不符合题意； 故选：A． 16．（24-25七年级上·山东青岛·期中）已知一个长方形的长和宽分别是和，以其中一条边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，掌握“面动成体”和圆柱体的体积计算方法是正确解答的关键．以长方形的长边或短边为轴旋转，得出圆柱体的底面半径和高，根据侧面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：以长边为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为，高为， 因此侧面积为：， 以短边为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为，高为， 因此体积为：， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知长方形的长和宽分别为6和2，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）． 【答案】或 【分析】以的边为旋转轴；以的边为旋转轴，得到立体图形，根据圆柱的体积，进行计算，即可． 本题考查立体图形的知识，解题的关键是分类讨论． 【详解】解：∵长方形旋转一周得到圆柱体， ∴当以的边为旋转轴时，圆柱体的高为6，底面半径为2，此时体积为：； 当以2的边为旋转轴时，圆柱体的高为2，底面半径为，此时体积为：； 故答案为：或． 18．（2025九年级下·浙江·专题练习）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）分绕和两边中点所在直线旋转一周和绕和两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可； （2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 故形成的几何体的表面积为或； （2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， 得到的几何体的体积． 1．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得出答案． 【详解】A、旋转一周为圆锥，不符合题意； B、旋转一周为倒立的圆锥且底面凹进去一个圆锥，不符合题意； C、旋转一周能够得到的几何体与原题图形位置反过来了，不符合题意； D、旋转一周能够得到原题图形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了立体几何图形的定义，旋转体的定义，理解棱柱、圆柱、圆锥、棱锥、旋转体的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体是四棱柱，四棱柱不一定是长方体，故此项错误； ②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，此项正确； ③棱锥底面边数与侧棱数相等，此项正确； ④直角三角形绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故此项错误； ⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，此项正确； ⑥圆锥和圆柱的底面都是圆，此项正确； ⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，是旋转体，一定不是多面体，此项正确； ⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，此项正确； 故选：D． 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 4．（24-25七年级上·辽宁阜新·阶段练习）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】解：有28个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：16． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体， （1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． 故答案为：小红 （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 【答案】(1)6，6，30 (2) (3)12 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：12； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，边长，边长，，高长，，．求此三角形绕着它的边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为多少． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，能根据已知条件求出旋转后的圆锥的底面半径和高是解此题的关键． 绕着边旋转，得到一个底面圆半径为3，高为4的圆锥；绕着边旋转，得一个底面圆半径半径为4，高为3的圆锥； 绕着边旋转， 得到两个底面相同的圆锥，底面圆半径都为，高分别为和． 【详解】解：三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是 三角形绕着边所在直线旋转一周，所得几何体的体积是； 三角形绕边所在直线旋转一周，所得几何体是底面相同的一个正立，一个倒立的圆锥组合体，所以体积是． 答：所得几何体的体积为或或． 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$