专题02 平面向量与复数（全国通用）-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

专题02 平面向量与复数 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 5．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 10．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·三模）设复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·三模）若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·三模）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·二模）已知平面向量满足，则（   ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 5．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·二模）若的虚部为，则（    ） A． B． C．2 D．6 7．（2025·河北保定·二模）若非零复数z满足，则（      ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南岳阳·三模）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 10．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（    ）. A．的虚部为 B．的最小值为 C．的实部为 D．当时，为纯虚数 13．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 14．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 15．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 二、多选题 16．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·吉林·三模）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·贵州黔南·三模）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（2025·江苏南通·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（    ） A．复数的共轭复数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限 C．已知复数z满足，则的最小值为2 D．若，且，则 三、填空题 22．（2025·天津·二模）已知是虚数单位，复数 ． 23．（2025·安徽合肥·三模）已知向量，，若，则 . 24．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 25．（2025·天津滨海新·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为 ． 26．（2025·北京昌平·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 27．（2025·甘肃金昌·三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 28．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 29．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 30．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 31．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 32．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量与复数 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 5．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 二、填空题 6．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 10．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·河北石家庄·三模）设复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据复数的乘法计算即可. 【详解】由可得，则. 故选：. 2．（2025·北京·三模）若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过复数的运算得出，然后根据共轭复数的概念求解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：D 3．（2025·湖南长沙·三模）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由在复平面内对应的点的对称性求得即可. 【详解】由，所以． 故选：C. 4．（2025·湖南长沙·二模）已知平面向量满足，则（   ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示、数量积的运算律求解. 【详解】由，得，所以． 故选：C 5．（2025·江西·三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出的值，然后利用复数的除法计算出复数. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A. 6．（2025·辽宁·二模）若的虚部为，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算先求复数，根据复数的虚部为即可求解. 【详解】因为的虚部为， 所以，解得． 故选：A． 7．（2025·河北保定·二模）若非零复数z满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合条件即可求解. 【详解】由题意，因为，所以. 故选：C. 8．（2025·湖南岳阳·三模）若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数四则运算求z，再由复数的几何意义可得. 【详解】因为 所以. 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A 9．（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（    ） A．从点O出发，朝北偏西方向移动 B．从点O出发，朝北偏西方向移动 C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km 【答案】C 【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可. 【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得， 设，因为，所以四边形OACB为菱形， 则，则为正三角形，所以， 故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km. 故选：C 10．（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值. 【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为. 对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得. 由韦达定理可知两根之积，则. 可得：，即. 的值为，的值为. 故选：A. 11．（2025·湖南·三模）若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果. 【详解】∵，. ∴，，，∴， 且，则， 故选：B. 12．（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（    ）. A．的虚部为 B．的最小值为 C．的实部为 D．当时，为纯虚数 【答案】B 【分析】根据复数的乘法及复数的概念判断ACD，根据复数的模及基本不等式判断B. 【详解】由题意，，实部为，虚部为，故A，C错误； |z1|=≥=(当且仅当，即时取等号)，故B正确； 当时，，为实数，故D错误. 故选：B 13．（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（    ） A．-3 B．0 C．1 D．4 【答案】A 【分析】设点，得到的坐标，由，可得，将其代入即可得解. 【详解】设点，则， ，所以， 因为，所以， 整理可得， 所以 故选：A 14．（2025·湖南岳阳·三模）已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B直线上，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D 15．（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 二、多选题 16．（2025·江西·一模）已知为虚数单位，虚数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先对式子进行因式分解，解得，再分别对每个选项逐个计算得答案. 【详解】由得，， 所以或(舍) 选项A，因为，所以，A 正确； 选项B, ，B错误； 选项C, ， 所以C正确；选项D，，所以D错误. 故选：AC 17．（2025·吉林·三模）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，得到，再由向量数量积的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】，以为临边的平行四边形对角线相等， ， ， ，，时，， 故选：ACD． 18．（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，则， A选项，，所以A选项正确. B选项，，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项正确. D选项，设，则， 则，所以D选项错误. 故选：ABC 19．（2025·贵州黔南·三模）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题设有在方向的投影向量为，故， 故即，故C错误， 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BD. 20．（2025·江苏南通·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（   ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 21．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（    ） A．复数的共轭复数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限 C．已知复数z满足，则的最小值为2 D．若，且，则 【答案】BC 【分析】A选项，利用复数除法法则和共轭复数的概念得到A正确；B选项，利用复数乘方法则得到，得到对应点坐标，得到所在象限；C选项，由模长的几何意义得到对应的点在虚轴（加上原点）上，由几何意义得到最小值为1；D选项，，又，则. 【详解】A.复数，则共轭复数，正确： B.，对应点为，在第三象限，B错： C.复数满足，则对应的点在是以对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原点）上， 表示虚轴（加上原点）上的点到点的距离，最小值为1，C错误. D.若，则，又，则，故D正确： 故选：BC 三、填空题 22．（2025·天津·二模）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】根据复数除法法则直接求解即可. 【详解】． 故答案为：. 23．（2025·安徽合肥·三模）已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算与平行的坐标表示即可求解. 【详解】∵，， ∴，解得， 故答案为：. 24．（2025·上海·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】应用复数模的运算有且，即可得. 【详解】由，则，故. 故答案为： 25．（2025·天津滨海新·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为 ． 【答案】 【分析】利用复数的模和除法公式求解. 【详解】因为复数满足， 所以， 故答案为： 26．（2025·北京昌平·二模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】 0 【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，， 故答案为：0； 27．（2025·甘肃金昌·三模）已知向量，其中，为单位向量，且，则 . 【答案】/ 【分析】求出后由夹角公式可求余弦值. 【详解】，同理， ， 故， 故答案为：. 28．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案. 【详解】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 29．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离， 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 故答案为： . 30．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 31．（2025·上海宝山·三模）已知复数，集合所构成区域的面积是 . 【答案】 【分析】运用复数的几何意义画图计算即可. 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 32．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 / 学科网（北京）股份有限公司 $$