专题01 集合与常用逻辑用语（全国通用）-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 三、解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 9．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 一、单选题 1．（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南岳阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2025·四川·三模）已知，；，.下列结论正确的是（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 6．（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南长沙·三模）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 9．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025·辽宁·三模）已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 二、填空题 16．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 17．（2025·四川巴中·二模）设集合，则 . 18．（2025·天津·一模）已知集合，，则 .（用列举法表示） 19．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 20．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 21．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 三、解答题 22．（2025·广东广州·三模）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 23．（2025·湖北武汉·三模）用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； (3)若与都是由个实数构成的集合，证明：的充要条件是． 24．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 25．（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 4．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 7．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 9．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 一、单选题 1．（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出可求. 【详解】,故， 故选：B. 2．（2025·湖南岳阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】或， 则，且， 所以. 故选：C 3．（2025·河南许昌·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出B，再根据交集并集概念计算判断.. 【详解】，又， ， 则，不包含于，不包含于，． 故选：D． 4．（2025·山东烟台·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，再利用并集的定义运算. 【详解】因，， 则. 故选：D 5．（2025·四川·三模）已知，；，.下列结论正确的是（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 【答案】C 【分析】特殊值法、分别判断的真假，即可得. 【详解】当时，，则p是假命题，即是真命题. 当时，，满足，则q是真命题，即是假命题.. 故选：C 6．（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 7．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合A，B，根据交集运算即可得解. 【详解】因为且， ， 所以. 故选：C 8．（2025·湖南长沙·三模）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由大前提推得，再利用菱形的几何性质即可判断. 【详解】在四边形中，由，可得四边形为平行四边形， 若，则平行四边形对角线垂直，所以为菱形，反之也成立， 故“”是“四边形是菱形”的充要条件． 故选：D. 9．（2025·江西·三模）已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 10．（2025·辽宁·三模）已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先求出直线与圆相切时的取值，再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：C. 11．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故是成立的不充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，所以是的充要条件，故B正确； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 当时，成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B 12．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 13．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 14．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据可得必要性. 【详解】令函数，求导得，故在上单调递增， 由，得，即，即充分性成立； 由，得，即，可得，故必要性不成立， 综上可知，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 15．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【分析】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 二、填空题 16．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：，，则命题p的否定为 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案. 【详解】命题p：，的否定为：， 故答案为： 17．（2025·四川巴中·二模）设集合，则 . 【答案】 【分析】首先求解集合M，再根据补集概念得到答案. 【详解】对于方程，根据十字相乘法可得. 则或，解得或，所以. 因为，所以. 故答案为：. 18．（2025·天津·一模）已知集合，，则 .（用列举法表示） 【答案】 【分析】由题意写出集合，根据集合交集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故答案为：. 19．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，根据对数函数的单调性求解不等式. ，即集合. 又集合，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于，即，可得； 又因为，所以集合. 结合集合（）和集合，可得. 故答案为：. 20．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可. 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 21．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 三、解答题 22．（2025·广东广州·三模）对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“伴随向量集”的概念写出集合，再根据“好集”的概念判断集合是否为“好集”. （2）先取，根据“好集”的概念，可证明；在利用反证法，证明. （3）根据“好集”的概念，探索集合中元素的构成，得到数列的结构特点，再求. 【详解】（1）根据“伴随向量集”的定义可得： . 因为，，，，，， 所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”. （2）取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即. 因为，所以. 因为，所以存在，或，. 所以. 假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得. 因为，所以异号. 若，则，而，，所以不可能成立； 若，则，而，，所以不可能成立. 故假设错误，即. 又，且，所以. （3）有限集为“好集”，且，，所以. 取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号. 若，则，因为，，所以； 若，则，因为，，所以该式不成立. 类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中. 由. 23．（2025·湖北武汉·三模）用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； (3)若与都是由个实数构成的集合，证明：的充要条件是． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据和集和邻差集定义直接求解即可； （2）考虑，分别讨论和的情况，由集合中元素的性质与和集的定义可得结果； （3）根据与和集的定义易证得充分性；设集合，，其中，，可确定中所有的元素，可证得；推广可得，由此可得必要性. 【详解】（1），，， ，，， ，. （2）考虑，不妨设，则， ①当时，，此时式不成立； ②当时，若，则，此时式不成立； 若，则，此时式也不成立； 若，则取，此时式成立. 由上述分析知：和集中重复的元素个数共个， . （3）充分性的证明： 当时，不妨设， 设集合，，其中，，是公差为的等差数列， ，里面的元素也是公差为的等差数列，； 必要性的证明： 设集合，，其中，， 则，这里共个不同元素， 又，上面为和集中的所有元素， 又，这里共个不同元素，也为和集中的所有元素， ，即， 一般地，由， ， 可得，即， 同理可得：，得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够充分理解和集与邻差集的定义，同时结合集合中元素的性质进行推理证明. 24．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【答案】(1)，； (2)（i）2；（ii）30. 【分析】（1）直接根据定义性质得，解出，再计算即可； （2）（i）取极端情况为1，3，5；取数列为2，3，4，此时；方法一：利用反证法，假设，最后分析得到与性质②矛盾的点；方法二：一般性证明，设，通过引入进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举出所有情况即可； （ii）考虑极端情况，显然，分类讨论为偶数和为奇数即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以. （2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使越大，则可考虑一组数据更集中， 一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使取到最大值，对应极端情况，取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则， 下证：的最大值为2： 法1：（反证法）假设，则，不妨设， 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去；若： 因为，所以，可得 则，与性质②矛盾，舍去； 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去． 所以，同理可得，所以. 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法2：（一般性证明）设，不妨设， 则， 所以，（7分） 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法3：（枚举法） 取为1，2，3，则只能为1，2，3，此时； 取为1，2，4，则只能为1，2，4，此时； 取为1，2，5，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，4，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，5，则可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时或2； 取为1，4，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，3，4，则可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时或2； 取为2，3，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，4，5，则只能为2，4，5，此时； 取为3，4，5，则只能为3，4，5，此时． 综上，的最大值为2． （ii）考虑极端情况，显然， 若为偶数，取为， 取为 则 解得成立； 若为奇数，取为， 取为 则 解得，与为奇数矛盾，舍去， 所以的最小值为30， 当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到． 证明： 记， 则， ，设 则有，其中分别表示集合的元素个数 由（i）可得， 所以（＊） 又因为，所以，进一步有， 将代入（＊）中可得 ， 再次代入（＊）中可得，解得， 另一方面，当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时． 所以的最小值为30． 25．（2025·上海·三模）设函数的定义域为，给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记． (1)设，求； (2)设．若对于任意，均有，求的取值范围； (3)已知对于任意与均存在，证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过导数求函数在区间上的单调性即可； （2）通过导数确定函数的单调性及极值，以及是在处的切线，再分类讨论和即可； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可. 【详解】（1）因为，求导得， 所以在上为单调递增函数，因此； （2）因为，所以，而， 因为，表示过点， 斜率为的直线，故是在处的切线， 而存在极值点，又因为，所以， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，此时与在上均为单调递增函数， 因此当时，恒成立， 即， 当时，则有，显然成立，当时，则有， 因为，所以； 当时，此时 此时，不符题意舍去； 综上，实数的取值范围为； （3）证明：先证明必要性（）： 若为上的单调递增函数，则任取， 由题意可得， 因为，所以或或或， 因为为上的单调递增函数， 所以或或或， 所以，所以或成立． 同时对为上的单调递减函数，同理可证． 下面证明充分性（）： 当与其中一式成立时，不可能为常值函数， 先任取，总有或 假设存在，使得， 记，则， 因为存在，则或， 不妨设，则，否则当， 此时，矛盾； 进而可得，则，，因此①． 最后证明为上的单调递减函数，任取，且，需考虑如下情况： 情况一：若，同上述可得，， 所以． 情况二：若，则， 否则，，由此矛盾， 因为，同情况一可得矛盾， 所以． 情况三：若，则，否则， 记，否则， 记， 则，， 同理若，所以， 由①可得：． 情况四：若，同上述可得，． 综上，恒成立．（当为上的单调递增函数时，同理可证） / 学科网（北京）股份有限公司 $$