10.2 分式的基本性质（题型专练）数学北京版2024八年级上册

10.2 分式的基本性质 题型一 判断分式变形正误 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质进行化简计算，逐一判断即可解答．本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、即，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·天津河东·期末）下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的运算，根据分式的基本性质和分式的运算逐一即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的基本性质和掌握分式运算法则． 【详解】解：、，原选项成立，不符合题意； 、，原选项成立，不符合题意； 、，原选项不成立，符合题意； 、，原选项成立，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变，判定即可，熟练掌握分式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 5．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 【答案】 分式的基本性质 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解． 【详解】解：∵， ∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质． 故答案为：，分式的基本性质． 题型二 判定分式成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质选择作答即可． 【详解】解：使得等式成立的的取值范围为． 故选：D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出的取值范围． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出的符号是解题关键． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 5．（20-21八年级下·陕西西安·期末）已知，则a的取值范围是 ． 【答案】a＜3 【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案． 【详解】解：∵， ∴a-3＜0． 解得a＜3． 故答案为：a＜3． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见解析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 【详解】解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 题型三 由分式的基本性质判断分式值的变化 1．（21-22八年级下·湖南株洲·期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式． 【详解】解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 将x，y分别扩大2倍，再约分可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴分式的值无法确定， 故选：D． 16．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵把分式中的和都扩大为原来的倍， ∴， ∴分式的值扩大倍， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若分式的值为2，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型四 判断最简分式 1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 【答案】x 【分析】本题主要考查了最简分式，正确掌握分式的基本性质及最简分式定义是解题关键．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，都不是最简分式， 而无法化简，故是最简分式， 故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片． 故答案为：x． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式为或， 故答案为：．（答案为不唯一） 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】根据题意选取两个整式分别作为分子和分母，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下： ； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：； 不是最简分式，化简如下：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知方式的基本性质是解题的关键． 题型五 约分 1．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分的应用，能根据分式的基本性质正确约分是解此题的关键． 先对分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 3．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的约分，根据题意将分式约分，然后比较求解即可． 【详解】解：①，②不能继续化简；③；④ ∴与相等的是④． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分法则计算，判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意； B、，故本选项结论不正确，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，故本选项结论不正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）化简时，小明、小华两位同学的化简过程如下： 小明：； 小华：．对于他俩的解法，你的看法是（    ） A．都正确 B．小明正确，小华不正确 C．小华正确，小明不正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式的约分．把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解：小明的做法是先将分子、分母分解因式，再约分，正确； 小华是把分子、分母乘以，利用平方差公式约去，应注意分式的性质，分子、分母同乘以一个不为0的数， ∴小华不正确． 故选：B． 6（24-25八年级下·四川巴中·期中）化简： （1） ， （2） ， （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、因式分解（完全平方公式、提取公因式 ），熟练掌握分式约分化简的方法，以及准确对多项式进行因式分解是解题的关键． （1）观察分子分母，找到公因式，利用分式基本性质，约去公因式化简． （2）先对分子用完全平方公式因式分解，再找分子分母公因式，约去公因式化简． （3）分别对分子、分母提取公因式因式分解，然后找公因式约去，完成化简． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 7．（2025·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子分母进行因式分解，再约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 8．（2025七年级下·浙江·专题练习）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是找出公因式而约去． （1）写成分式的形式，再约分即可； （2）写成分式的形式，再约分即可； （3）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； （4）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶ ； （3）解∶ 原式 ； （4）解∶原式 ． 题型一 将分式的分子分母最高此项的系数化为正数 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 根据了分式的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 题型二 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 5（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【详解】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 3．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 解答下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式写成真分式带和的形式； (3)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查了分式的定义及性质，配方法的应用，理解题意是解题的关键． （）根据“真分式”的定义即可判断； （）根据示例解答即可； （）利用配方法可得分子是正数，进而得到分母为正数，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：； （3）解：， ∵，且分式的值为正数， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知． (1)分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小） (2)将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由． 【答案】(1)增大 (2)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，利用作差法比较代数式的大小是解答的关键． （1）作差，然后利用分式加减运算法则化简，再与0比较大小即可得出结论； （2）同理，作差，然后利用分式加减运算法则化简，再分情况讨论与0比较大小即可得出结论； 【详解】（1）解： ， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：增大； （2）解：由题意，， ， ∵， ∴， 当时，； 当时，，， ∴，即， ∴； 当时，，， ∴，即， ∴； 当时，，， ∴，即， ∴； 综上，当或时，的值变大；当时，得值不变；当时，的值变小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 分式的基本性质 题型一 判断分式变形正误 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津河东·期末）下列等式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ． 题型二 判定分式成立的条件 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）使得等式成立的m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 5．（20-21八年级下·陕西西安·期末）已知，则a的取值范围是 ． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 7．（2024八年级上·全国·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 题型三 由分式的基本性质判断分式值的变化 1．（21-22八年级下·湖南株洲·期末）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不能确定 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 16．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍 4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若分式的值为2，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；    （2）； （3）；    （4）（且）． 题型四 判断最简分式 1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有分别写有的三张卡片，若从中任选一个作为分式的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片． 4．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式． 题型五 约分 1．（23-24八年级上·北京平谷·期末）分式，化简结果为（） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 3．（2025·河北邯郸·二模）在①；②；③；④四个分式中，与相等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）化简时，小明、小华两位同学的化简过程如下： 小明：； 小华：．对于他俩的解法，你的看法是（    ） A．都正确 B．小明正确，小华不正确 C．小华正确，小明不正确 D．都不正确 6（24-25八年级下·四川巴中·期中）化简： （1） ，（2） ，（3） ． 7．（2025·吉林长春·二模）先化简，再求值：，其中，． 8．（2025七年级下·浙江·专题练习）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 题型一 将分式的分子分母最高此项的系数化为正数 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 5（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 3．（24-25八年级上·重庆渝北·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 解答下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式写成真分式带和的形式； (3)若分式的值为正数，求的取值范围． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）已知． (1)分式的分子、分母都加1，所得的分式的值______（填：增大、不变、减小） (2)将分式的分子、分母都加c，所得的分式的值会如何变化？说说你的理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$