10.3 分式的乘除法（题型专练）数学北京版2024八年级上册

10.3 分式的乘除法 题型一 分式的乘法 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 题型二 分式的除法 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）若成立，内应填入（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 题型三 分式的乘方 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）( )；( )； （2）( )；( )． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如果，那么与之间的关系为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型一 分式的乘除混合运算 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定，按此规定图2中M处的代数式是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 题型二 含乘方的分式乘除混合运算 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）计算 ． 题型三 判断分式乘除法的错误步骤 1．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再选择你喜欢的整数代入求值．小雪计算这一题的过程如下： 解：原式① ② ③ 当时，原式④ (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_______步（填序号），原因：_______；还有第_______步出错（填序号），原因：_______． (2)请你写出此题的正确解答过程． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：其中． 题型四 与分式乘除法有关的化简求值问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）化简 化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 3．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 题型五 分式乘除法与实际问题 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为 （用含x的代数式表示）． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图①，“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分．如图②，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉试验田上修建的两条宽为1米的通道后余下的部分．若两块试验田都收获了千克的小麦，则“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍． 5．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 6．（2025·安徽宣城·二模）在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)化简：； (2)若令，且，求的值． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）现给一定分式：，…（其中x，y均不为0）． (1)写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． (2)求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 分式的乘除法 题型一 分式的乘法 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先对能因式分解的分子、分母因式分解，然后再约分即可解答． 【详解】解： ． 故选A． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若分式“”，可以进行约分化简，则“□”不可以是（　　） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 将，逐一代替“□”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】解：A．，可以进行约分化简，“□”可以是1，不合题意； B．，不可以进行约分化简，“□”不可以是2，符合题意； C．，可以进行约分化简，“□”可以是4，不合题意． D．，可以进行约分化简，“□”可以是，不合题意； 故选：B． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将各分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．根据乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可． （1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ＝； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型二 分式的除法 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）若成立，内应填入（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，再根据分式的除法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式除法运算，根据除以一个数等于乘上这个数的倒数，原式，再化简进行，即可作答． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．，此选项错误，不符合题意；     B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项正确，符合题意；     D．，此选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则，是解题的关键．根据题目中的式子，可以写出各步之间的计算过程，从而可以解答本题． 【详解】解：老师到甲：，故选项A正确，不符合题意； 甲到乙：，故选项B错误，符合题意； 乙到丙：，故选项C正确，不符合题意； 丙到丁：，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)3 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式＝． 题型三 分式的乘方 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，分式的乘方运算，正确分解因式是解题的关键．根据各个运算法则逐项计算即可得解． 【详解】解：A. ，计算正确，该选项不符合题意； B. ，计算正确，该选项不符合题意； C. ，计算正确，该选项不符合题意； D. ，计算错误，该选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）( )；( )； （2）( )；( )． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方，即可得到答案． 【详解】解：（1）；； （2）；． 故答案为：；；；． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如果，那么与之间的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先进行分式的乘方运算，再开方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴开方，得， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方法则求解； （2）利用积的乘方与幂的乘方法则求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题考查分式的乘方、积的乘方与幂的乘方，熟记运算法则是解题的关键．积的乘方：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘． 题型一 分式的乘除混合运算 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定，按此规定图2中M处的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案． （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式化简，先把除法变乘法，再运用平方差公式、完全平方公式把分子分母分解因式，最后约分即可． 【详解】解： ． 题型二 含乘方的分式乘除混合运算 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：原式． 故答案为． 4．（20-21八年级上·全国·课后作业）计算 ． 【答案】－1 【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可． 【详解】 ． 故答案为：． 题型三 判断分式乘除法的错误步骤 1．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简，再选择你喜欢的整数代入求值．小雪计算这一题的过程如下： 解：原式① ② ③ 当时，原式④ (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_______步（填序号），原因：_______；还有第_______步出错（填序号），原因：_______． (2)请你写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)①；运算顺序错误；④；当时，，原式无意义 (2)见解析 【详解】解：（1）①  运算顺序错误  ④  当时，，原式无意义 （2）原式．当时，原式（的取值不唯一）． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【答案】(1)， (2)约分 (3)二， 【分析】先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，； （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分； （3）解：第二步出现错误， ， 故答案为：二，． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 题型四 与分式乘除法有关的化简求值问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值． （1）首先运用完全平方公式和平方差公式将原式化简得，再整体代入求值即可； （2）首先根据乘方的运算法则和分式的除法法则，将原式化简，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵， ∴原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）化简 化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 【详解】解： ； 由分式有意义可得，，， ∴当时， 原式； 3．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的乘除，乘方混合运算，化简求值，先计算乘方，再计算乘除得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键． 原式先算乘方，然后再算乘除，最后根据偶次幂和绝对值的非负性确定x和y的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴原式6． 题型五 分式乘除法与实际问题 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为 （用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，及分式的运算，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍” 得数量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，甲路线的平均速度为， ∵甲路线的平均速度为乙路线的倍， ∴乙路线的平均速度为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示： （1） ， ； （2）是的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的面积为； “丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为； “丰收2号”的单位面积产量为 因此，所求的倍数为 故答案为：， ，． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图①，“丰收1号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分．如图②，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米的正方形田地去掉试验田上修建的两条宽为1米的通道后余下的部分．若两块试验田都收获了千克的小麦，则“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．首先用代数式表示出“丰收1号”试验田和“丰收2号”试验田的面积，再用“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量除以“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量即可． 【详解】由题意可知， “丰收1号”试验田的面积为：平方米， “丰收2号”试验田的面积为：平方米， “丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量是“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量的， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的 倍． 【答案】 【分析】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 5．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）学校医务室给学生准备中药，一碗中药原来的高度是碗的，静置一会高度变成碗的（只计水的蒸发），则中药的浓度变为原来的（　　）倍． A．1.7 B．1.4 C．1.3 D．1.2 【答案】D 【分析】本题考查了浓度，分式的除法等知识，设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为，根据浓度=溶质质量÷溶液体积可得出原浓度，新浓度为，然后发局分式的除法法则计算即可． 【详解】解：设原溶质质量为m，原溶液的体积为（S为碗的横截面积），蒸发后的体积为， 则原浓度，新浓度为， ∴浓度变化的倍数为， 即中药的浓度变为原来的1.2倍， 故选：D． 6．（2025·安徽宣城·二模）在一块稻田上插秧．若10个人插秧，则要用m天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人插秧提前3天完成．一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查分式除法运算的应用．由题意易得一个人每天插秧的工作效率为，一台插秧机每天的工作效率为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：一个人每天插秧的工作效率为，则一台插秧机每天的工作效率为， ∴； 答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)化简：； (2)若令，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据题中所给新定义运算及分式的除法运算进行求解即可； （2）先根据新定义运算进行求解，然后再利用整体思想进行求值即可 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）现给一定分式：，…（其中x，y均不为0）． (1)写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． (2)求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 【答案】(1)，，， (2)；任意一个分式除以前面一个分式恒等于 【分析】本题考查了分式的运算．解答此题需要知道分式的乘法与除法运算法则．也考查了从特殊到一般的规律的探究． （1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，于是这列分式中的第n个分式为． （2）根据分式除法法则进行计算． 【详解】（1）解：分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负， 于是第n个分式为：． 这列分式中的第7个分式为：， 第10个分式为：， 第16个分式为：， 第27个分式为：． （2）解：第2017个分式除以第2016个分式所得的商为：． 规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$