第9章 中心对称图形——平行四边形（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章 《中心对称图形——平行四边形》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四幅图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，DE交AC于点G，若∠DGC＝90°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（3分）下列说法不正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 4．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 5．（3分）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．（3分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，AF＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（3分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．28 B．26 C．24 D．20 10．（3分）如图1，菱形ABCD中，点A为y轴正半轴上一点，AB⊥y轴，直线l∥y轴交菱形两边于E，F两点（点E在点F下方），直线l从y轴出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为x（秒），△OEF的面积为y，y与x的大致图象如图2，若b＝2a，则c的值为（　　） A．6 B． C．8 D．12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是　　.（填一个即可） 12．（3分）如图，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是　　． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为　　． 14．（3分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为　　． 15．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMB的度数是　　°． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是AB上的动点，过点E分别作AC，BC的垂线段，垂足分别为F，G，连接FG，则FG的最小值为　　． 17．（3分）如图，矩形ABCD与矩形AFGQ全等，且AB＝5，AD＝3，若点F在DC上，连接BQ、AF相于点O，则AO的长度为　　． 18．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有　　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）已知：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H，求证：DF＝EH． 20．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）已知AB＝4，BC＝3．当BE的长为　　时，四边形AECF是菱形． 21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣2，3）、C（﹣2，5）． （1）将△ABC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后得到对应的△AB1C1，请画出△AB1C1； （2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2； （3）△ABC绕着某点O1顺时针旋转一定的角度后得到△A3B3C3，点A、B、C的对应点分别是A3、B3、C3，若点A3和点B3坐标分别为A3（0，2）、B3（1，0），则旋转中心O1的坐标为　　． 22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　　． 23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，BD＝6，求CE的长． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝　　；CQ＝　　；QE＝　　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 26．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 《中心对称图形——平行四边形》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四幅图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，而不是中心对称图形，符合题意； B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； D、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意． 故选：A． 2．（3分）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，DE交AC于点G，若∠DGC＝90°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC， ∴∠GCD＝∠BCE＝40°，∠A＝∠D， ∵∠DGC＝90°， ∴∠D＝∠A＝50°． 故选：C． 3．（3分）下列说法不正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法正确； C、有一组邻边相等且有个角是直角的平行四边形是正方形，原说法正确； D、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，原说法错误． 故选：D． 4．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC 【详解】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不合题意； B、由AB＝AD，CB＝CD，不能四边形ABCD是平行四边形，故B不合题意； C、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、由AB∥CD，AD＝BC，不能四边形ABCD是平行四边形，故D不合题意． 故选：C． 5．（3分）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确； 综上，所有正确的结论是①④． 故选：B． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【详解】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1， ∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE， ∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE， ∵∠ACE+∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝30°． 故选：C． 7．（3分）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】解：如图，延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴． 故选：D． 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，AF＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， 在△BAF和△ADE中， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9， ∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5． 故选：A． 9．（3分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2． A．28 B．26 C．24 D．20 【详解】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵Q是BF中点， ∴BQ＝FQ， 在△BEQ和△FCQ中， ∵∠BEQ＝∠FCQ，∠BQE＝∠FQC，BQ＝FQ， ∴△BEQ≌△FCQ（AAS）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴， ∵AB﹣BE＝CD﹣CF，即AE＝FD， ∵AE∥FD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 10．（3分）如图1，菱形ABCD中，点A为y轴正半轴上一点，AB⊥y轴，直线l∥y轴交菱形两边于E，F两点（点E在点F下方），直线l从y轴出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为x（秒），△OEF的面积为y，y与x的大致图象如图2，若b＝2a，则c的值为（　　） A．6 B． C．8 D．12 【详解】解：如图，当l落在l1位置时，与菱形交于D，M， 此时AM＝a； 当l落在l2位置时，与菱形交于N，B， 此时AB＝b，， 由条件可知：AB＝2a， ∴AD＝AB＝2a， 在直角三角形AMD中，由勾股定理得：DMa， ∵AB∥CD，DM⊥AB，BN⊥CD， ∴BN＝DM， ∴y＝S△ONBBN•AB， ∴，解得：a＝±2， ∵a＞0， ∴a＝2， ∵CD＝AB＝4， ∴点C到y距离为CD+AM＝6， ∴c＝6． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是　　.（填一个即可） 【详解】解：添加∠EAF＝90°使得四边形AECF是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠EAF＝90°． 12．（3分）如图，已知，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是　　． 【详解】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴DC＝AC＝1，DE＝AB， ∴AD＝2， ∴在Rt△EDA中，DE3， ∴AB＝3． 故答案为：3． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为　　． 【详解】解：设B点的坐标为（x，y）， ∵平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2）， ∴，解得：x＝3，y＝﹣1， ∴B（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 14．（3分）将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置，两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则纸条重叠部分的面积为　　． 【详解】解：如图，连接AC，BD，过A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F， 由纸条的对边平行可得：AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABC＝S△ADC， ∴BC•AECD•AF， ∵纸条等宽，则AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×8＝24． 故答案为：24． 15．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMB的度数是　　°． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC， ∴∠EBC＝∠BEC（180°﹣∠BCE）＝15°， ∵∠BCM∠BCD＝45°， ∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°， ∴∠AME＝∠BMC＝120°． ∴∠AMB＝180°﹣∠AME＝60°． 故答案为：60． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，E是AB上的动点，过点E分别作AC，BC的垂线段，垂足分别为F，G，连接FG，则FG的最小值为　　． 【详解】解：如图，连接CE， ∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴∠EFC＝∠EGC＝∠FCB＝90°， ∴四边形FEGC是矩形， ∴FG＝CE， ∴当CE最小时，FG的值最小， 根据垂线段最短可知：当CE⊥AB时，CE的值最小， 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴AC2， 当CE⊥AB时，S△ABCAB•CEAC•BC， ∴CE，即CE的最小值为， ∴FG的最小值为． 故答案为：． 17．（3分）如图，矩形ABCD与矩形AFGQ全等，且AB＝5，AD＝3，若点F在DC上，连接BQ、AF相于点O，则AO的长度为　　． 【详解】解：如图，过B作BH⊥AF于H， ∵矩形ABCD与矩形AFGQ全等， ∴AF＝AB， ∵AB∥CD， ∴∠BAH＝∠AFD， 在△ABH与△FAD中， ， ∴△ABH≌△FAD（ASA）， ∴BH＝AD＝3， ∴AH4， ∵AQ＝AD， ∴AQ＝BH， ∵∠QAO＝∠BHO＝90°，∠AOQ＝∠BOH， ∴△AOQ≌△BOH（AAS）， ∴AO＝OH2． 故答案为：2． 18．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有　　． 【详解】解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）已知：如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H，求证：DF＝EH． 【详解】证明：∵D、F分别是△ABC三边中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DFAC， ∵AH⊥BC于H，E是AC的中点， ∴EHAC， ∴DF＝EH． 20．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线上，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）已知AB＝4，BC＝3．当BE的长为　　时，四边形AECF是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， （2）解：当BE的长为时，四边形AECF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°， ∴AE2＝AB2+EB2， ∵BE，AB＝4，BC＝3， ∴EC＝BE+BC，AE， ∴EC＝AE， ∴平行四边形AECF是菱形． 21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣2，3）、C（﹣2，5）． （1）将△ABC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后得到对应的△AB1C1，请画出△AB1C1； （2）画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2； （3）△ABC绕着某点O1顺时针旋转一定的角度后得到△A3B3C3，点A、B、C的对应点分别是A3、B3、C3，若点A3和点B3坐标分别为A3（0，2）、B3（1，0），则旋转中心O1的坐标为　　． 【详解】解：（1）如图，△AB1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）分别作线段AA3，BB3的垂直平分线，相交于点O1， 则△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A3B3C3， ∴旋转中心O1的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　　． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝AB，DF＝CD， ∴BE＝AB＝DF＝CD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图，连接AC，交EF于点O， ∵BE＝AB＝DF＝2，BD＝BE+EF+DF＝5， ∴EF＝1， ∵四边形AECF是平行四边形，四边形AECF的面积为2， ∴OE＝OFEF，S△AOE2， ∴， ∴S△ABE＝4S△AOE＝2， ∴S△AOB＝S△ABE+S△AOE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的面积＝4S△AOB＝410， 故答案为：10． 23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝4，BD＝6，求CE的长． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB． ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6， ∴OA＝OC，OB＝ODBD＝3，BD⊥AC， ∴∠AOB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝8， ∴OAAC＝4， ∴AB5， ∵菱形ABCD的面积＝AB•CEAC•BD， ∴5CE8×6＝24， ∴CE，即CE的长为． 24．（8分）如图，在▱ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长． 【详解】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝2， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OFBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴CF＝CD+DF＝6， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC， 即OC的长为． 25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝　　；CQ＝　　；QE＝　　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【详解】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8， ∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴AP＝t， ∴PD＝6﹣t； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴CQ＝2t， 若点Q与点E重合，则2t＝8，解得：t＝4； 若点P与点D重合，则t＝6， 当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t， 当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8， 故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8； （2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD∥QE， ∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t，解得：t＝2， 当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解得：t， 综上，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 26．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9， ∵CG＝3， ∴CE＝6， 如图，连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3， ∴正方形DEFG的边长为3． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$