暑假作业11 特殊四边形中的几何变换与最值模型（5大模型+7大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：150min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 特殊四边形中的几何变换与最值模型 要点一、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，现阶段解题工具无非全等、勾股定理，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。 （1）直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。 （2）分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。 要点二、以特殊四边形为背景的旋转问题 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。本专题以特殊的平行四边形为背景，研究翻折与旋转变换下的角度、长度、周长、面积、坐标等问题。 要点三、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 （1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形； （2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系； （3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。 要点四、以特殊四边形为背景的最值问题 几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据：1.两点之间，线段最短；2.垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。 常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。 注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。 要点五、瓜豆原理等五类最值模型补充 【最值模型补充一】瓜豆原理1（直线轨迹型） 1、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 做法：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2、如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 3、确定动点轨迹的方法 当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； 当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； 观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。 【最值模型补充二】瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆， 则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 4、定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【最值模型补充三】“将军饮马”模型 1、“两点一线”模型（5种情况） 1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。 2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。 3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。 4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。 5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。 2、“定点两线”模型（4种情况） 1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。 2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。 3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。 做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。 4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 3、其他模型（三点三线） （三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。 做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。 【最值模型补充四】“将军遛马”与“将军过桥”模型 1、“将军遛马”模型 【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线． 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置． 【最值模型补充五】胡不归模型 1、模型建立 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 2、问题分析 ，记，即求BC+kAC的最小值. 3、问题解决 构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 4、模型总结 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 二层必刷：巩固提升+能力培优 题型一、以平行四边形为背景的折叠（翻折）问题 1．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， (1)求证：； (2)求证：． 3．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 题型二、以矩形为背景的折叠（翻折）问题 4．如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 5．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 6．实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 题型三、以菱形为背景的折叠（翻折）问题 7．如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 8．在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 9．如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 题型四、以正方形为背景的折叠（翻折）问题 10．如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 11．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 12．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 【动手操作】如图1，把正方形纸片对折后再展开，折痕为；将点B翻折到EF上点，折痕为；连接． (1)判断的形状并说明理由； 【类比操作】如图2，点P为长方形纸片的边上一点，折叠纸片，使B与P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B折叠后落在上的点B处，展平纸片，得到折痕、与交于点O；连接、． (2)求证：点O在的垂直平分线上； (3)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型五、以特殊四边形为背景的旋转问题 13．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 14．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 15．在综合与实践课上．老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、． (1)初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为______； (2)迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度． (3)拓展应用 如图③，设点在边上，且，连接、、，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______． 题型六、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 16．如图，矩形中，．一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E，连接． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 17．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）并说明理由； (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 18．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当 时， S最大；当 时， S最小． 题型七、以特殊平行四边形为背景的最值问题 19．如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 20．如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 21．如图，菱形的边长是，，点为对角线的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 22．在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点为线段中点，连接，求证：； (3)如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 23．（1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________． 24．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 1．如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 5．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 6．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 7．如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    8．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 9．已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 10．（1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：． （2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：． （3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：150min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 特殊四边形中的几何变换与最值模型 要点一、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，现阶段解题工具无非全等、勾股定理，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。 （1）直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。 （2）分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形全等，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。 要点二、以特殊四边形为背景的旋转问题 几何变换中的旋转问题是历年中考考查频率高且考查难度较高，综合性强，通常有线段、三角形、（特殊）平行四边形的旋转问题。在解决此类问题时，要牢牢把握旋转的性质，即旋转前后的图形全等，对应角相等，对应边相等，再结合几何图形本身的性质，找到旋转过程中变化的量和不变的量，运用三角形全等的有关知识，求解有关角、线段及面积问题。本专题以特殊的平行四边形为背景，研究翻折与旋转变换下的角度、长度、周长、面积、坐标等问题。 要点三、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 （1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形； （2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系； （3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。 要点四、以特殊四边形为背景的最值问题 几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：（1）几何图形中在特殊位置下的最值；（2）比较难的线段的最值问题，其依据：1.两点之间，线段最短；2.垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。 常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。 注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。 要点五、瓜豆原理等五类最值模型补充 【最值模型补充一】瓜豆原理1（直线轨迹型） 1、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 做法：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 2、如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 做法：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 3、确定动点轨迹的方法 当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； 当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； 观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。 【最值模型补充二】瓜豆原理2（圆弧轨迹型） 1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 3、定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆， 则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 4、定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 【最值模型补充三】“将军饮马”模型 1、“两点一线”模型（5种情况） 1）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+ PB的最小。 2）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。 3）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。 4）当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使最大。 做法：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。 5）当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。 做法：连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。 2、“定点两线”模型（4种情况） 1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 做法：分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。 2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 做法：作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。 3）点P在∠AOB的外部，在OA上找到点C，使PC与C点到直线OB的距离之和最小。 做法：过点P作线段OB的垂线，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为线段PD的长。 4）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 做法：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 3、其他模型（三点三线） （三点三线求三角形周长最小值）点D、E、F分别为AB、AC、BC边上的动点，求△DEF周长的最小值。 做法：先将点D视为定点，利用“一点两线”模型作辅助线；当CD最小时，即CD⊥AB时的交点为D。△DEF周长的最小值为线段𝐷′𝐷′′的长度。 【最值模型补充四】“将军遛马”与“将军过桥”模型 1、“将军遛马”模型 【问题描述】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？ 【模型转化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？ 做法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A'N，将AM+BN转化为A'N+NB．构造点A关于MN的对称点A''，连接A''B，可依次确定N、M位置，可得路线． 2、“将军过桥”模型（单桥/双桥） 【单桥模型】已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【双桥模型】已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置． 【最值模型补充五】胡不归模型 1、模型建立 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分） 2、问题分析 ，记，即求BC+kAC的最小值. 3、问题解决 构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 4、模型总结 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 二层必刷：巩固提升+能力培优 题型一、以平行四边形为背景的折叠（翻折）问题 1．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出的度数即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ， 根据折叠可知，， ∴， ， ∴，故C正确． 故选：C． 2．如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据等角对等边即可求解； （2）根据平行四边形的性质，可得，，根据折叠的性质，可得，，所以，，由等量代换得，得，，，得到，可证． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又根据题意得：，， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定．解题的关键是熟练运用平行四边形和折叠的性质，找出角与边的等量关系，进而证明线段相等和三角形全等． 3．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接． (1)【观察发现】如图1，若，，，求的长； (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，则，由三角形外角性质得，所以，再利用勾股定理得，然后由，求得，即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：由折叠知， ． ． ， ． ． 由勾股定理得，， ． ． ． ． （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 题型二、以矩形为背景的折叠（翻折）问题 4．如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明当点F在AC上，则AF+CF的值最小是解题的关键．由，证明当点F在上，则的值最小，由折叠得，，则，所以，求得，于得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴当点F在上，则，此时的值最小， 如图，点F在上， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 5．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)6． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．实践操作 (1)在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理即可求解；②根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得到， ∴， ∴， ∴； ②解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （2）解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 题型三、以菱形为背景的折叠（翻折）问题 7．如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由菱形的性质，，可得，是等边三角形，结合是边的中点，根据三线合一可得，根据含角直角三角形的性质，可证③正确， 由，结合折叠的性质，可证①正确， 由折叠的性质得到的度数，结合，得到，根据三角形内角和，可证②正确， 连接，与交于点，由，，得，结合，由，可证④正确， 本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， 连接，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 8．在菱形中，，，M为的中点，N为上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况①当时， 连接， 作于，由菱形的性质得出，求出，， 证明，得出， 证出、、三点共线， 设， 在中， 由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时， ， 得到 是等边三角形， 即可解题． 【详解】解：分两种情况： ①当时， 连接， 作于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，，∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴、、三点共线， 设则， 在中， 由勾股定理得：， 解得： ，即； ②当时，，此时点与重合，与点重合，如图所示： 则是等边三角形，(含这种情况)； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 9．如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证； （2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如答图，连接． 四边形是菱形，， 是等边三角形． 是的中点， ，即， ， 即是直角三角形． （2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点． ． 在中，由勾股定理可得 翻折至， ． 设，则． 在中，， 即， 解得， 即． 题型四、以正方形为背景的折叠（翻折）问题 10．如图，正方形的对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点D恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交，于点E、G，连结、，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． 【答案】D 【分析】证明，可以判断选项A正确；证明是等腰直角三角形，推出，可以判断选项B正确；证明，可以判断选项C正确，如图，过作于，则，过作于，证明，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由翻折变换的性质可知，，，， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 由翻折变换的性质可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意． 如图，过作于，则， 过作于，而， ∴ ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 11．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交，，，于点，求证：． （3）如图④，在正方形中，、分别为，上的点，作于，在上截取，连接，为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由【模型呈现】知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 作于，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接，，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， 由【模型呈现】知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴，，， 则， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为证明一个命题提供思路和方法． 【动手操作】如图1，把正方形纸片对折后再展开，折痕为；将点B翻折到EF上点，折痕为；连接． (1)判断的形状并说明理由； 【类比操作】如图2，点P为长方形纸片的边上一点，折叠纸片，使B与P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B折叠后落在上的点B处，展平纸片，得到折痕、与交于点O；连接、． (2)求证：点O在的垂直平分线上； (3)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质可得，进而可以进行判断； （2）由题意得，是的垂直平分线，是的垂直平分线，，可得，进一步得出结论； （3）同理（2）可得，，证明，从而，，根据得出，进一步得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由翻折可知：，， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等边三角形； （2）证明：如图2，连接，，， 由题意得：是的垂直平分线，是的垂直平分线，， ，， ， ， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：，理由如下： 如图3，连接， 与（2）同理得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的一条三等分线， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 题型五、以特殊四边形为背景的旋转问题 13．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 14．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故； （2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故； ②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为． 【详解】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 15．在综合与实践课上．老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、． (1)初步感知 如图①，当点落在边上时，线段的长度为______； (2)迁移探究 如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度． (3)拓展应用 如图③，设点在边上，且，连接、、，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为______． 【答案】(1) (2)； (3)24 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，   过A作于E， ∵点B到的距离小于， ∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 16．如图，矩形中，．一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E，连接． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)2.5或4，见解析 【分析】（1）根据得到，由，得到，由即可得到结论； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，得到，则，即可得到答案； （3）分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：能．理由： ∵， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴时，四边形是菱形； （3）解：当时，满足条件，此时四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 当时，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，舍去 综上所述，满足条件的t的值为2.5或4． 【点睛】本考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质、含的直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． 17．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）并说明理由； (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，由，分别是，中点，得到，再得到，证明，得到，，，即可得出结论； （2）分两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， ∵点，的运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， ∵，分别是，中点，，，， ， 在矩形中，，， ∴四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时，， ，， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， 同理可得：，， ， ； 综上，四边形为矩形时，或． 18．已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当 时， S最大；当 时， S最小． 【答案】(1)3 (2) (3)， 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，推出S的最大值．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，作于Q，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴S与x的函数关系式； （3）解：①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大， 在中，， ∴S的最大值． ②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时易得， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题． 题型七、以特殊平行四边形为背景的最值问题 19．如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小，为， ． 故选：C． 20．如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为36，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：设与交于点，连接、． 点与关于对称， ， ， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点时，，即最小， ∴的最小值为的长， 正方形的面积为36， ， 又是等边三角形， ． 故选：A． 21．如图，菱形的边长是，，点为对角线的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形是轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键． 连接，，根据，可知当时，最短，即取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【详解】解：连接、， ∵四边形是菱形， ，互相垂直平分， ∴点关于的对称点为， ， ， 当时，最短， 中，，， ， ， ； 故答案为： 22．在正方形中，点、分别为边、上的动点，且 (1)如图①，求证：； (2)如图②，当点为线段中点，连接，求证：； (3)如图③，若正方形边长为9，连接，点是的中点，为上的点，且，则的最小值是_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质易得，证明推出，进而求出，得到，即可证明结论； （2）取中点O，连接，设交于点M，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，推出，证明，同理（1）得，进而证明为中点，垂直平分，推出，得到， 由，即可得出结论； （3）作点关于的对称点，连接，由（1）知，利用直角三角形的性质可得，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：取中点O，连接，设交于点M， 由（1）知， ∵点O是中点， ∴， ∵点为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得， ∵， ∴为中点，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作点关于的对称点，连接， 则， 由（1）知， ∵点 M 是的中点， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，对称的性质，直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（1）如图1，正方形中，点、分别是、的中点，连接，交于点．请写出线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点、分别是、上的动点，且，，则的最小值为___________． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，得到，，进而推出，得到即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，证明，得到，即可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得到，连接，同法可得，得到，延长至点，使，连接，易得垂直平分，得到，进而推出，利用勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）过点作，如图，    由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点E、F分别是、的中点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （3）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，同法可得：， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， 则：垂直平分， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为：. 【点睛】本题全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 24．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 1．如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接   四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为, ， ∴, ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故选：B. 2．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键． 3．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．求出，根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，判断①；进而根据判断②；求出，，然后求出，判断③；求出，然后得到是等边三角形，故④正确． 【详解】解：， ， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； 由翻折可知， ， ，， ，故③错误； 由翻折的性质，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D． 5．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． 设，则，用勾股定理解求出；同理，设，则，用勾股定理解求出；作于点H，构造矩形，最后用勾股定理解可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠知，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 同理，设，则， 由折叠知， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 如图，作于点H， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 故答案为：． 6．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】如图1中，求出等边的高即可．如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ∴，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴． 如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    【答案】 3 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形，, ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴，    ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 8．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 9．已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证； （2）①由（1）中结论，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点作，交于点，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 10．（1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：． （2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：． （3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）过点B作交于G，交于H，先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，即可得出结论； （2）在边上截取，使，连接，证明，即可得出结论； （3）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过作于 ，证明得，再将沿方向平移至，连接，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】（1）证明：过点B作交于G，交于H，如图， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在边上截取，使，连接，如图， ∵正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴，，即， ∴ ∵是正方形的外角平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：过F作于G，则，, ∵正方形的边长为2， ∵，, ∵， ∴， ∵E， ∴ ∴， ∴ ∴， 将沿方向平移至，连接，则， ∴四边形为平行四边形， ∴，, 当、、三点共线时，的值最小． 此时， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，利用轴对称求最短路径问题，两点之间线段最短，平行四边形的判定与性质．本题属正方形与全等三角形、平行四边形的综合题目，难度较大．熟练掌握相关知识的灵活应用是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$