精品解析： 山东省实验中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

山东省实验中学2023级阶段性测试 数学试题 （2025.5） 命题人：张庆国，审题人：鲁楷文 第I卷（选择题 58分） 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，共40分） 1. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可. 【详解】的展开式的通项是，（） 由题意，， 因此，的系数是. 故选：B. 2. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 由，得. 参照下表， P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 下列结论正确的是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知，对照表格检验独立性. 【详解】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”， 故选：C. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 【详解】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即. 故选：B 4. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】应用导数研究的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案. 【详解】由题设，且定义域为， 所以在上，在上，即在上递减，在上递增， 所以的极小值为，又，， 则在、上各有一个零点，共有2个零点. 故选：B 5. 某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】按照特殊元素优先排列的原则，先排最高和最低的两棵，在排剩余的三棵即可. 【详解】先安排最高和最矮的树木的位置，方法有种； 再安排剩下三棵树的位置，方法有种， 所以一共有种安排方法． 故选：B． 6. 某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）. 年份 0 1 4 5 6 8 芳香度 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3 由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为 A. 6.1 B. 6.28 C. 6.5 D. 6.8 【答案】A 【解析】 【详解】 ，因为样本中心点在回归方程上， 所以将代入回归方程，可得，设该数据的值为 ，由 解得， 即该数据为，故选A. 7. 为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图： 则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果. 【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确. 故选：C. 8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可构造函数，利用函数的单调性和导数的关系可判断的单调性， 再把不等式化为，利用单调性求出不等式的解集. 【详解】由题意得,令，其导函数为， 时，，∴，∴在上单调递增； 又不等式可化为， 即，∴；解得，∴该不等式的解集是为. 故选：A. 二、多选题（每题6分，有两个及以上答案，错选不得分，选对部分得部分分，共8分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，则 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解. 【详解】，故选项A正确； ，故选项B错误； 由题可知服从正态分布，由正态分布的对称性知， ， ，故选项C正确； ，，，，，的方差， ，，，，，的方差 ， 标准差，故选项D正确. 故选:ACD. 10. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A. 回归直线至少会经过其中一个样本点 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，回归直线不一定经过样本点，A选项错误. B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确. C选项，，所以模型的拟合度更好，C选项错误. D选项，由，得，D选项正确. 故选：BD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解. 【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误， 由得，由得，故为偶函数，故B正确， 由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确， 由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减 故结合的性质可画出符合条件的的大致图象： 由性质结合图可知：当，时，，故D正确， 故选：BCD 第Ⅱ卷 填空题、解答题共92分 三、填空题（每题5分，共15分） 12. _____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案. 【详解】设函数，则； . 故答案为：. 13. 在区间上，“”是“函数在上严格递减”的________条件． 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据导数与单调性之间的关系结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】在区间上，当时，函数在上严格递减， 当函数在上严格递减时，，如在R上严格递减，但是在R上， 所以在区间上，“”是“函数在上严格递减”的充分不必要条件， 故答案为：充分非必要 14. 冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________. 【答案】 【解析】 【分析】事件B为前3次中有一次中1发未中，第4次射击中有2发未中，事件AB是第3次有1发未中，第4次有2发未中，然后利用利用条件概率求解. 【详解】解：由题意得， ， 故答案为： 四、解答题（第15题13分，16题15分，17题15分，18题17分19题17分，共77分） 15. 甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%． （1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差； （2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率． 【答案】（1）X分布列为 0 1 2 3 期望为，方差是 （2） 【解析】 【分析】（1）设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件，根据二项分布得出分布列以及期望和方差； （2）由全概率公式得出，再由贝叶斯公式得出. 【小问1详解】 设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件， 则，，，，，，，，， 的取值为0，1，2，3 ， ， 所以分布列为 0 1 2 3 且，故，， 所以的期望是，方差是 【小问2详解】 故它是由甲厂生产的概率是． 16. 已知在生产设备正常的情况下，某零件生产线生产的零件尺寸（单位：）服从正态分布，当零件尺寸满足时合格，当或时不合格. （1）已知当零件合格时，每个零件利润为元；当零件不合格时，每个零件亏损元.假设这条生产线每天生产个这样的零件，则在生产正常的情况下，求该生产线每天利润的期望； （2）为了了解生产线的生产是否正常，需要对零件进行检测.该生产线每天自动检测个零件，设零件不合数为，，时我们认为该生产线正常生产的概率为，当生产线生产的概率低于时我们判定生产线异常. 某天该生产线检测的零件尺寸如下： 尺寸 合计 件数 根据以上检测数据判断该生产线是否异常. （附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，） 【答案】（1）元；（2）生产线异常. 【解析】 【分析】（1）设一个零件盈利元，求得的分布列，进而求得的数学期望，由此求得生产线每天利润的期望. （2）先根据题意求得，由此求得，从而可以判定生产线异常. 【详解】（1）设一个零件盈利元，则的分布列为 概率 ，所以， 则生产正常的情况下，该生产线每天利润的期望是元. （2）因为,，所以时，零件合格， 所以自动检测的个零件中不合格的有个，即，此时生产线正常生产的概率 因为，所以可以判定生产线异常. 【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望，考查正态分布，考查独立重复试验概率计算，属于中档题. 17. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男女生的比例为2：1，男生近视的人数占抽取人数的，男生与女生总近视人数占抽取人数的. （1）完成下面列联表，并判断能否有99.9%的把握认为是否近视与性别有关； 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中至少有一位是女生的概率. 附：（） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 没有99.9%的把握认为是否近视与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先根据已知条件完善列联表，然后计算卡方比较临界值即可得出结论； （2）由列举法即可求解古典概型概率即可. 【小问1详解】 由题意，男生与女生的人数之比是2：1， 所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占抽取人数的， 所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总近视人数占抽取人数的，所以近视人数为， 则女生中近视的人数为.可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 所以， 所以在样本数据中没有足够证据支持是否近视与性别有关， 所以没有99.9%的把握认为是否近视与性别有关． 【小问2详解】 近视的学生一共有40人， 从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：，. 记3名女生分别是，，，5名男生分别是，，，，， 则从中选出2人的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28个， 选出的2人至少有一位是女生的事件有:，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个， 所以选出的2人至少有一位是女生的概率. 18. （1）求的值； （2）设，求证：； （3）证明： 【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接运用组合数的计算公式求解即可； （2）利用组合数性质来变形，再结合二项式性质，即可得证. （3）先应用指对数变形可得，再利用对数不等式放缩，即可得证. 【详解】（1）. （2）由 ，其中且， 所以有 ， 再由二项式性质可知，来对上式进行两两化简可得： ， 所以原等式得证； （3）要证明， 只需要证明，即证明， 设函数， 求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以有最大值， 即， 所以有， 即有， 故原不等式得证！ 19. 已知函数（且），其中. （1）当时，求的最小值； （2）判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； （3）当时，任意，都有，求实数的取值集合. 【答案】（1）当时，函数的最小值为， （2）当时，函数的图象没有对称中心， 函数的图象有对称中心，对称中心为， （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，利用基本不等式求函数的最小值； （2）设点为函数的对称中心，可得恒成立，化简可得，，分，两种情况求，可得结论； （3）条件可转化为在上恒成立，令，证明，函数在上单调递减，分，，，四种情况，研究函数的单调性，由此确定的取值集合. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值； 【小问2详解】 设点为函数的对称中心，则恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 则，，， 即，， 当时，无解，此时函数的图象没有对称中心， 当时，，此时函数的图象对称中心为； 【小问3详解】 当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 而， 设，则 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减， ①当时，故， 因为，故， 所以，则函数在上单调递减， 故此时当时，，舍去； ②当时，，解得； (i)当时，， 所以，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减； 所以时，取极大值，则 所以满足条件， (ii)当时，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，舍去; (iii)当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，舍去； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2023级阶段性测试 数学试题 （2025.5） 命题人：张庆国，审题人：鲁楷文 第I卷（选择题 58分） 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，共40分） 1. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 2. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表． 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 由，得. 参照下表， P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 下列结论正确的是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 6. 某食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）. 年份 0 1 4 5 6 8 芳香度 1.3 1.8 5.6 7.4 9.3 由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为 A. 6.1 B. 6.28 C. 6.5 D. 6.8 7. 为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图： 则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，有两个及以上答案，错选不得分，选对部分得部分分，共8分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，则 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是 10. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A. 回归直线至少会经过其中一个样本点 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ） A. 的图象关于对称 B. 为偶函数 C. D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷 填空题、解答题共92分 三、填空题（每题5分，共15分） 12. _____________． 13. 在区间上，“”是“函数在上严格递减”的________条件． 14. 冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________. 四、解答题（第15题13分，16题15分，17题15分，18题17分19题17分，共77分） 15. 甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%． （1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差； （2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率． 16. 已知在生产设备正常的情况下，某零件生产线生产的零件尺寸（单位：）服从正态分布，当零件尺寸满足时合格，当或时不合格. （1）已知当零件合格时，每个零件利润为元；当零件不合格时，每个零件亏损元.假设这条生产线每天生产个这样的零件，则在生产正常的情况下，求该生产线每天利润的期望； （2）为了了解生产线的生产是否正常，需要对零件进行检测.该生产线每天自动检测个零件，设零件不合数为，，时我们认为该生产线正常生产的概率为，当生产线生产的概率低于时我们判定生产线异常. 某天该生产线检测的零件尺寸如下： 尺寸 合计 件数 根据以上检测数据判断该生产线是否异常. （附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，） 17. 某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男女生的比例为2：1，男生近视的人数占抽取人数的，男生与女生总近视人数占抽取人数的. （1）完成下面列联表，并判断能否有99.9%的把握认为是否近视与性别有关； 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 （2）按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中至少有一位是女生的概率. 附：（） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. （1）求的值； （2）设，求证：； （3）证明： 19. 已知函数（且），其中. （1）当时，求的最小值； （2）判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； （3）当时，任意，都有，求实数的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $