精品解析：陕西省西安市新城区2025届高三八模数学试题

高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 3. 若非零复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合条件即可求解. 【详解】由题意，因为，所以. 故选：C. 4. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】因为， 所以，即，故， 所以，故向量与的夹角为. 故选：B. 5. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. 16 C. 20 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】求出的展开式通项，再求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项， 则的展开式中含的项的系数为． 故选：D 6. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 7. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的等价条件，再求出的等价条件，从而可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，则，即. 令，则. 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，所以方程有唯一解，即， 所以方程的解为. 若，则，解得或，所以或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 某批产品的直径（单位：毫米）服从正态分布，现根据该批产品的直径从大到小按照，，，，的比例将该批产品分别划分为特品、优品、良品、普品和合格品五个等级．若某件产品的直径为91毫米，则该产品的等级是（ ） 附：若，则，，． A. 优品 B. 良品 C. 普品 D. 合格品 【答案】B 【解析】 【分析】利用原则求出特品、优品、良品、普品和合格品五个等级分别大致的范围，再根据某件产品的直径为91毫米，看在那个范围即可判断． 【详解】由题意得，，所以，，，，，， 则， ， ， ， ． 因为某件产品的直径为91毫米，所以该产品的等级是良品， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 点的坐标为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程计算焦点判断C，根据等差数列定义计算判断B，C，再根据等差数列求和公式计算判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，C选项错误； 因为是等差数列设公差为，且，，则，所以，A选项正确； ，，所以数列是等差数列，B选项正确； ，D选项正确； 故选：ABD. 10. 已知函数．若不等式的解集为且，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 过原点且与曲线相切的直线有2条 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三次函数图象的特征，结合不等式的解集可判断三次方程的根的分布，从而确定参数，再结合导数来研究三次函数的极值，来判断ABC选项，最后利用导数思想来求过点的切线，通过方程解的个数来判断满足条件的切线条数，从而可判断D选项. 【详解】由的解集为且，得方程的根为和（二重根）， 得，即，得则，A正确． 由，得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以是的极大值点，是的极小值点，B正确，C错误． 设在点的切线方程为， 由切线经过原点，得，即，解得或0，D正确． 故选：ABD. 11. 如图，为坐标原点，点在函数的图象上，且的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由周期公式即可判断；对于B，由图可知，结合即可判断；对于C，不妨取，由求得的表达式，进一步由即可求得；对于D，，求导得函数单调性、最值即可. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以，解得，A正确； 对于B，，由图可得曲线在处的切线的斜率为正数， 所以. 因为是第三象限角，所以，则，即，B错误； 对于C，不妨取，则. 由题意可得，结合图象可得. ，结合图象可得，解得，C正确； 对于D，设的中点为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则原的图象在坐标系中的解析式为， 设点在坐标系中的坐标为， 则. 令函数， 则. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 即的最大值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆与圆恰有2个公共点，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆与圆的交点个数及其方程，讨论、来确定参数值. 【详解】由椭圆与圆恰有2个交点，结合对称性，易知交点一定是椭圆短轴上的两个顶点， 若时，显然椭圆与圆无交点，不符； 若时，椭圆与圆恰好有两个交点，则. 综上，. 故答案为：1 13. 在中，的面积为，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由面积结合题意可得，然后由余弦定理可得， 据此可得周长. 【详解】因为，所以. 由余弦定理可得 . 则，所以的周长为. 故答案为：. 14. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆台及外接球的轴截面图，易得球心在圆台内部，再利用勾股定理可得答案. 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图． 易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为， 则球心到下底面圆的距离为， 由勾股定理得，解得， 则外接球的半径，表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 16. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 【答案】（1）1055kg，4700 （2）该新型水稻不能推广种植. 【解析】 【分析】（1）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （2）首先计算的范围，再根据样本数据比较，即可判断. 【小问1详解】 由频数分布表可得. . 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以. 亩产量在内的稻田有10块，所以亩产量在内的稻田不超过90块，即亩产量在内的稻田不超过90块. 故该新型水稻不能推广种植. 17. 已知数列的前n项和为，且，为常数，记. （1）若数列为等差数列，求的公差. （2）设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）1 （2）①； ②证明：当时，，满足. 当时，， 则 . 综上. 【解析】 【分析】(1)根据证明定义法证明数列是等差数列即可. (2) 根据数列的通项和数列前n项和得关系,求出通项公式.根据放缩法对数列前项和进行放大,证明新代数式符合不等式要求,证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则，，. 因为数列为等差数列，所以，即，解得， 所以的公差为. 【小问2详解】 ①解：当时，， 当时，， 故的通项公式为 ②略 18. 如图，在棱长均为2的八面体中，下底面是正六边形，且平面､平面均垂直于底面. （1）证明：平面平面. （2）求八面体的体积. （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）在八面体中，四点共面. 因为八面体的棱长均为2，所以四边形为菱形，. 因为平面平面，所以平面. 同理，平面. 因为，所以平面平面. （2）12 （3）. 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，平面，而线面平行问题只需转换为线线平行即可； （2）只需求得三棱柱的体积，三棱柱的体积，故所求为； （3）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值的公式、平方关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 在中，. 因为平面平面，平面平面，所以平面- . 因为八面体的棱长均为2， 所以. 三棱柱的体积. 根据对称性可得，三棱柱DEF-IJG的体积与三棱柱ABC-GHI的体积相等. 三棱柱的体积. 八面体的体积. 【小问3详解】 连接，与交于点，连接. 在正六边形中，，所以四边形为平行四边形，所以，四边形为平行四边形，，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. . 设平面的法向量为， 则取. 取平面的一个法向量为. ， 所以二面角的正弦值为. 19. 对于函数，若存在正整数a，使得在上恰有a个零点，则称为理想零点函数，a为的理想零点系数． （1）求函数的理想零点系数． （2）若函数是理想零点系数不大于2的理想零点函数，求m的取值范围. （3）设函数的图象是连续不断的曲线，为理想零点函数，且的所有理想零点系数为1，2，3，4，当时，，当时，，且． ①证明：的极小值小于0，极大值大于0． ②若，试问函数的理想零点系数是否唯一？若是，求出该理想零点系数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）1和2 （2） （3）①证明：依题意可得的单调递减区间为，单调递增区间为． 因为1为的一个理想零点系数，所以在上恰有1个零点，又，所以． 因为2为的一个理想零点系数，所以在上恰有2个零点，所以在上恰有1个零点，所以，所以的极大值大于0． 同理可得，所以的极小值小于0． ②是，12 【解析】 【分析】（1）根据理想零点系数的定义即可求解； （2）求导得，利用单调求得极大值，由是理想零点系数不大于2的理想零点函数即可求解； （3）①由题意可得的单调性，又1为的一个理想零点系数得，由2为的一个理想零点系数得，即的极大值大于0，同理得即可得证； ②作出在上的大致图象，设的零点为，由及，得或或或，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 令， 得， 则在上恰有1个零点，在上恰有2个零点， 所以的理想零点系数为1和2． 【小问2详解】 ， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，所以在上至多有1个零点， 所以的理想零点系数不可能为2，则的理想零点系数为1， 则在上恰有1个零点，所以，解得． 【小问3详解】 ①略 ②根据题意，作出在上的大致图象，如图所示． 设的零点为， 由及，得或或或， 由图可知方程的正根有4个，设这4个根为， 同理可得方程的正根为， 方程的正根为， 方程的正根为． 可知在上的零点有4个，在上的零点有2个，在上的零点有2个， 在上的零点有1个，在上的零点有3个， 可知的正零点有12个，且这12个零点都小于5， 所以当或时，在上都不会恰有n个零点， 在上恰有12个零点，所以的理想零点系数唯一，且该理想零点系数为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若非零复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. 16 C. 20 D. 18 6. 已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某批产品的直径（单位：毫米）服从正态分布，现根据该批产品的直径从大到小按照，，，，的比例将该批产品分别划分为特品、优品、良品、普品和合格品五个等级．若某件产品的直径为91毫米，则该产品的等级是（ ） 附：若，则，，． A. 优品 B. 良品 C. 普品 D. 合格品 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 点的坐标为 D. 10. 已知函数．若不等式的解集为且，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 过原点且与曲线相切的直线有2条 11. 如图，为坐标原点，点在函数的图象上，且的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆与圆恰有2个公共点，则__________. 13. 在中，的面积为，则的周长为__________. 14. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 16. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 17. 已知数列的前n项和为，且，为常数，记. （1）若数列为等差数列，求的公差. （2）设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 18. 如图，在棱长均为2的八面体中，下底面是正六边形，且平面､平面均垂直于底面. （1）证明：平面平面. （2）求八面体的体积. （3）求二面角的正弦值. 19. 对于函数，若存在正整数a，使得在上恰有a个零点，则称为理想零点函数，a为的理想零点系数． （1）求函数的理想零点系数． （2）若函数是理想零点系数不大于2的理想零点函数，求m的取值范围. （3）设函数的图象是连续不断的曲线，为理想零点函数，且的所有理想零点系数为1，2，3，4，当时，，当时，，且． ①证明：的极小值小于0，极大值大于0． ②若，试问函数的理想零点系数是否唯一？若是，求出该理想零点系数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $