精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三下学期5月冲刺2数学试题

华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷2 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若集合，则______ 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 3. 在的展开式中，含项的系数为__________. 4. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 5. 已知空间向量，，共面，则实数______ 6. 若函数对任意实数x都有，则______ 7. 已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为_________． 8. 已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 9. 已知，函数的图像与函数的图像交于点P，点P在x轴上的垂足为，直线交于点，则___________. 10. 将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 11. 雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 12. 已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）． A. B. C. D. 14. 设x，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 如图，四边形是圆柱的轴截面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，. （1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，. （1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） （2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 20. 已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二2024-2025学年第二学期高三年级数学冲刺卷2 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据双曲线的性质得到或，再求即可. 【详解】因为，，所以或，即或. 所以. 故答案为： 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可得，进而可得，再根据复数的乘法进行运算即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，则， 所以 故答案为：. 3. 在的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得出含项的系数. 【详解】的展开式的通项为， 由得，则含的项为，系数为 故答案为： 4. 若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以，， 所以等比数列的首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 5. 已知空间向量，，共面，则实数______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【详解】设，即， 故，解得. 故答案为：3 6. 若函数对任意实数x都有，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到是函数的一条对称轴，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数对任意实数x都有， 可得是函数的一条对称轴， 根据三角函数的图象与性质，可得. 故答案为：. 7. 已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法求得，进一步得的渐近线方程为. 【详解】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 故答案为：. 8. 已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 9. 已知，函数的图像与函数的图像交于点P，点P在x轴上的垂足为，直线交于点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可得，即为的值，根据题意，化简计算，即可得答案. 【详解】作出图象，如图所示： 则即为的值， 因为，即， 所以，解得或（舍）， 所以. 故答案为： 10. 将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求圆锥底面圆的半径与母线，设轴截面的内切圆半径为，进而由，可求得，进而可求得球的表面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 11. 雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，， 由题意，， 因为为得中点，所以，又，所以，， 又，， 由正弦定理得，所以， 又，所以， ， 所以， 所以, 所以阴影部分面积为. 故答案为： 12. 已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是_________． 【答案】42 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质，以及新定义的等式，构造函数，分类讨论，结合绝对值函数求和的性质列出不等式，得到，从而求出，时不合要求，舍去，最终求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有5个公共点， 假设，故5个公共点横坐标分别为， 根据绝对值函数求和的性质知： 当为奇数时，函数的图象关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最小值，此时与最多有2个交点，不满足题意； 当为偶数时，若，则函数图象在上是一条水平的线段， 若，则函数图象在上是一条水平的线段， 故与可以有5个交点， 若，此时有， 若，此时有， 且，故， 即， 所以 故，，故． 当时，，故舍去， 综上，数列的项数的最大值为44. 又因为时，只有在内，不足5个，不合题意； 为时，恰好有五个数在内，符合题意； 所以的最大值是42， 故答案为：42. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由卡方的意义即可得解. 【详解】统计量的意义是. 故选：C. 14. 设x，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出与的区域，即可判断. 【详解】分别作出与的图象如图， 表示圆及内部，表示正方形及内部，显然 ，，则是的必要不充分条件. 故选B． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围大范围，大范围小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题. 15. 已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值. 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素， 又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素， 有，则结合诱导公式易知， 可取的值是4或5. 故选：B 16. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 如图，四边形是圆柱的轴截面，，，以圆柱上底面为底面作高为的圆锥，、分别在、上，，. （1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）表面积为，体积为；（2）. 【解析】 【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为， 因为为圆锥的高，且，所以，圆锥的母线长为， 又，因此，该几何体的表面积为. 该几何体的体积为； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则点，，，， 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， ， 由图象可知，二面角为锐角，它的余弦值为. 【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域； （2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由解得，反之时， ，符合题意， 故，据此，， 即值域为 （2）在显然是单调增函数，为正数， 所以，故， 令，则 随的增大而增大， 最大值为，实数范围是. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值. 19. 烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下： 1 3 4 6 7 5 6.5 7 7.5 8 与可用回归方程（其中为常数）进行模拟. 参考数据与公式：设，则 6.8 线性回归直线中，. （1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元） （2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议. 【答案】（1） 0.54 6.8 1.53 0.45 ，（元） （2）建议购买3辆车 【解析】 【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可； （2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可. 【小问1详解】 由表格及公式通过计算器可计算得 补全填空如下： 0.54 6.8 1.53 0.45 根据题意，， 所以 所以， 又，所以， 所以时，（千元）， 即卖出100份的成本为11764元， 故利润（元）. 【小问2详解】 根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为： 箱数 设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元， 则的可能取值为，其分布列为： 1500 800 100 P 故， 的可能取值为，其分布列为： 2000 1300 600 -100 P 故， 即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车. 20. 已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； （3）设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 【答案】（1） （2） （3）的所有可能值为2． 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意求得椭圆与直线的方程，将直线与椭圆联立方程求得线段的中点横坐标为，根据题意联立等式求解即可； （3）根据题意求得，将点代入椭圆根据直线与椭圆相切得或0，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的上焦点为，所以， 由题意，，解得，故的方程为； 【小问2详解】 当时，．故椭圆的方程为． 求导得函数图象在点处的切线方程为，即直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程得． 从而线段的中点（若存在）横坐标为． 由题意，．故． 经检验，此时，方程（＊）有两个相异实根．故为所求最小值． 【小问3详解】 由题意可得，抛物线的方程可以看成向上或向下平移个单位长度（向上平移，否则向下平移）， 所以抛物线的准线为，即的纵坐标为．由（2）得直线的方程为． 故．代入椭圆的方程，得． 又因为直线与椭圆相切，联立二者方程并令判别式为0，解得． 代入，得，故， 解得或0．因，故不合要求．从而，相应地， 综上，的所有可能值为2. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $