精品解析：2025年浙江省舟山市定海区第五中学中考三模数学试题

定海五中2024学年第二学期九年级学科质量检测 数学试题卷 一、选择题（共30分） 1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为，将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩（分） 85 89 90 91 96 97 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为______． 13. 用半径为，圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为______． 14. 如图的直径为，经过圆心，与相切于点，连接，．直径，，则的长为______． 15. 反比例函数的图象上有，两点，当时，________（填“”“”或“”）． 16. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在中，，． （1）用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 19. 2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）； （2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率． 20. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆垂直于地l，活动杆固定在支撑杆上的点E处，若，，， （1）过D作垂直于地l，求的度数． （2）求活动杆端点D离地面的高度．(结果精确到，参考数据：) 21. 如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 23. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 24. 如图1，是半圆的直径，点，是半圆上的点，且，连结交于点． （1）若，求的长． （2）如图2，连接，，，若，求的正弦值． （3）如图3，连接，作交于点，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定海五中2024学年第二学期九年级学科质量检测 数学试题卷 一、选择题（共30分） 1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， 在实数，，1，中，最小的数是． 故选：B 2. 空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为，将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，根据科学记数法表示较小数的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，合并同类项的法则，根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、原计算错误，不符合题意， 故选：C． 4. 在中，，，，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 某校组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，八年级15个参赛选手的成绩如表所示，则这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩（分） 85 89 90 91 96 97 人数 1 2 3 4 3 2 A. 91，91 B. 91，90 C. 90.5，90 D. 90，91 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键． 根据中位数和众数的定义判断即可． 【详解】解：由题意得共有人进入决赛， ∴中位数为第人的成绩，为分； ∵数据出现了次，最多， ∴这组数据的众数为分． 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，b2-4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【详解】∵方程有实数根 ∴b2-4ac= 解得： 又∵原方程是一元二次方程 ∴ ∴的取值范围是且 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键，且切记不要漏掉二次项系数不为0． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 8. 在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得： ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 9. 如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关系性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 10. 已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 点到轴的距离小于， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（共18分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，小王、小李两人恰好选中同一门课程的结果有3个， ∴小王、小李两人恰好选中同一门课程的概率为 ， 故答案为：． 13. 用半径为，圆心角为扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，勾股定理，这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理可求出高． 【详解】解：这个圆锥的底面圆半径为， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥的高为， 故答案为：． 14. 如图的直径为，经过圆心，与相切于点，连接，．直径，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直接所对圆周角等于，相似三角形的判定和性质．连接，作延长线于点，可证，可得的长，根据勾股定理可得的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长，作延长线于点， ∵与切与点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴，则，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴的长为， 故答案为：． 15. 反比例函数的图象上有，两点，当时，________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键． 由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，由可得，进而判定P、Q所在的象限即可解答． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∴点P第三象限，Q在第一象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是化简绝对值，负整数指数幂的含义，分式的加减混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，再合并即可； （2）先通分并利用同分母分式的减法法则计算，从而可得结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，． （1）用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 解：如图，点P为所作； （2） 解：由作图可得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段的垂直平分线．也考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形三边的关系． （1）作的垂直平分线得到； （2）由得到，所以，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）； （2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率． 【答案】（1）补全统计图如图所示： （2）成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）抽到甲、乙两人的概率为． 【解析】 【分析】（1）由统计图可得不及格的人数为2人，所占百分比为5％，则可求出随机抽取的总人数，然后问题可求解； （2）由（1）可直接列式进行求解即可； （3）由题意可画出树状图，然后再进行求解概率即可． 【详解】解：（1）由题意得： 2÷5％=40人， ∴“良好”的人数为40-2-10-12=16人， “优秀”所占百分比为12÷40×100％=30％，“合格”所占百分比为10÷40×100％=25％， 图略； （2）由（1）可得： 650×（5％+25％）=195（人）； 答：成绩未达到“良好”及以上的有195人 （3）由题意可得： ∴抽到甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题主要考查统计与调查及概率，熟练掌握统计与调查及概率的求法是解题的关键． 20. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆垂直于地l，活动杆固定在支撑杆上的点E处，若，，， （1）过D作垂直于地l，求的度数． （2）求活动杆端点D离地面的高度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据邻补角互补求出，结合两直线平行，内错角相等得，即可作答． （2）过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解． 本题考查解直角三角形的实际应用，平行线的性质与判定，矩形的性质与判定，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 21. 如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 解：连接，交于， 在平行四边形中，，， ∵， ， 又， ∴， ∴， 四边形是平行四边形； （2）平行四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，含角的直角三角形，平行四边形的面积公式，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的对角线互相平分的性质，和，即可证明，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形， （2）作四边形的边上的高，根据角直角三角形的性质求出高，即可求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交的延长线与点， ，， ， ∴， 故平行四边形的面积为． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元 （2）应购买34个篮球、66个足球 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 23. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【小问1详解】 ①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； 【小问2详解】 由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 24. 如图1，是半圆的直径，点，是半圆上的点，且，连结交于点． （1）若，求的长． （2）如图2，连接，，，若，求的正弦值． （3）如图3，连接，作交于点，连接．求证：． 【答案】（1）2 （2） （3） 证明：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式，求解即可； （2）连接，根据平行线间的距离处处相等，得到，设，则：，三角形的中线平分面积，推出，进而得到，根据正弦的定义，即可得出结果； （3）连接，平行线的性质，得到，，垂径定理得到，进而得到，，推出，得到四点共圆，进而推出，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴设，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中线，弧，弦，角之间的关系，四点共圆，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理的添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $