精品解析：重庆市西藏中学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆西藏中学2023-2024学年度上期高二第一次月考 数学试题试题卷 （ 考试时间：120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共60分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线（）的图形可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线：与线段相交，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B. 直线与直线互相平行，则； C. 过两点的所有直线的方程为； D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 10. （多选）为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 已知扇形OAB面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 C. 若角的终边经过点，则 D. 12. 已知直线与轴、轴分别交于两点，直线过的中点，若直线及轴围成的三角形面积为，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 点到直线的距离为 _______ 14. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 15. 已知满足，求的最小值______． 16. ，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________． 四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三个顶点坐标分别为. （1）求边中线所在直线的方程； （2）求的面积. 18. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题. 在中，内角的对边分别是，且满足 ， （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 19. 在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上. （1）求AB边上的高CH所在直线方程； （2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程. 20. 已知向量， （1）求的值； （2）若均为锐角，求的值. 21. 已知△ABC中，BC边上高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2). （1）求点A和点B的坐标； （2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程. 22. 已知三条直线：，，，且与间的距离是， （1）求 的值； （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学2023-2024学年度上期高二第一次月考 数学试题试题卷 （ 考试时间：120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题，共60分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用集合的关系、集合的交并补集的定义求解. 【详解】解：由题得，所以选项A错误； ，所以选项B错误； ，所以选项C正确； ，所以选项D错误. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以， 即 故选：A． 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为 由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 4. 过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 5. 直线（）的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对a分成和两种情况，分析出正确的图象即可. 【详解】直线（）的斜率是，在轴上的截距是， 当时，直线在轴上的截距，此时直线过第一、二、三象限； 当时，直线在轴上的截距，此时直线过第二、三、四象限， 只有选项B符合． 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线方程斜率和纵截距，考查直线图象的识别，属于基础题. 6. 已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出直线过定点，结合图像求得的取值范围. 【详解】依题意，直线：过定点，由图像可知，的取值范围是. 而. 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线过定点，考查直线斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 7. 在中，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，然后结合平面向量数量积的坐标运算得到是关于的二次函数，进而结合函数的性质即可求出结果. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， ，所以，则，令，则，由于对称轴为， 故， 即的取值范围为， 故选：D． 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】在中，设，，， ，即， 即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，， 解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ， ，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B. 直线与直线互相平行，则； C. 过两点的所有直线的方程为； D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】 直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、、、的结论． 【详解】解：对于：当时，“直线与直线 互相垂直”， 当直线与直线互相垂直时，即 解得 或， 故“”是“直线与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故错误． 对于：直线与直线互相平行，所以 解得或 ，经检验时平行， 时重合；故正确； 对于：过，， ，（且， 两点的所有直线的方程为，故 错误． 对于：经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为： 故①：经过原点的直线为，②设在坐标轴上的截距为，设直线方程为所以 ，解得，故 ，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识要点：直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 10. （多选）为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A，若，则，A正确． B，若，则m，n有可能平行、相交或异面，B不正确． C，若，由线面垂直的判定定理可得，，C正确． D，若，因为m不一定在平面内，所以m不一定垂直，D不正确． 故选： AC. 11. 下列四个选项，正确的有（ ） A. 在第三象限，则是第二象限角 B. 已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 C. 若角的终边经过点，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限； ，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确； 对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为， 则，，解得或， 当时，不合题意，所以， 又，即，解得，B正确； 对C：根据题意可得，故C错误； 对D：因为，，故， 故，D正确. 故选：ABD. 12. 已知直线与轴、轴分别交于两点，直线过的中点，若直线及轴围成的三角形面积为，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由中点坐标公式可求得中点，设直线与轴交点为，利用三角形面积可求得，由此确定点坐标，从而确定直线的斜率，由直线点斜式可求得结果. 【详解】由题意知：，，中点为；设直线与轴交点为， 则直线及轴围成的三角形面积，解得：或 即或，或， 直线方程为：或，即或. 故选：AC. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 点到直线的距离为 _______ 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 14. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 15. 已知满足，求的最小值______． 【答案】8 【解析】 【分析】把代入所求式子，利用二次函数的性质求解． 详解】∵，∴， ∴， ∴当时，取最小值8． 故答案为：8． 16. ，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为__________；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别求出两条直线过的定点，根据两直线的位置关系两得直线垂直，是直角三角形，由不等式得到答案. 【详解】由条件知直线过定点，直线过定点，所以， 又因为，所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，所以， 故周长的最大值为 故答案为：①； ②. 【点睛】本题主要考直线查过定点，两直线的位置关系与垂直时满足，不等式的应用. 四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三个顶点的坐标分别为. （1）求边中线所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出边的中点为M ，即可求出，用点斜式方程即可求解； （2）先求出线段BC和A到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）设边的中点为M，则M点的坐标为，∴. ∴直线的方程为，即， ∴边中线所在直线的方程为. （2）∵， ∴. 由得直线的方程为， ∴A到直线的距离， ∴. 18. 在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在中，内角的对边分别是，且满足 ， （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 选①，由余弦定理求得；选②，利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得；选③利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得．接着都相同方法求解： （1）再由余弦定理求得后可得三角形面积； （2）用正弦定理把表示为的函数，然后由两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质得出范围． 【详解】解：若选①，由题意， 化简得 即， 得 （1）由余弦定理， 得， 解得 （2）由正弦定理 又因为， 所以 ， 因为 若选②，由， 得， 化简得 得， 得. 以下与选①同. 若选③，由 得， 即 化简得， 得. 以下与选①同. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质等．解题中常常利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角函数的恒等变换求解．三角形中求与边有关的范围问题也常常转化为角，然后利用三角函数（主要是正弦函数）的性质求解． 19. 在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上. （1）求AB边上的高CH所在直线方程； （2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1) AB边上的高线与直线AB垂直，得到斜率，高线过C点，点斜式求直线方程. (2)设直线方程，由点A与点B到直线距离相等求出未知系数，得到方程. 【小问1详解】 设，则 ， 解得，∴， 由 得， ，即 【小问2详解】 当斜率不存在时，，不满足题意； 当斜率存在时，设，即， 依题意得： ， 有或， 解得或 ， 直线l的方程为：或 ， 即：或. 20. 已知向量， （1）求的值； （2）若均为锐角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得到，利用二倍角降幂公式、同角三角函数的平方关系化简，把代入即可； （2）根据题意可求出的值，由可求出的值，由，均为锐角可得与的值，再根据即可求出结果. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ，， 因为为锐角，所以，因为均为锐角， . 21. 已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2). （1）求点A和点B的坐标； （2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程. 【答案】（1），；（2）的面积最小值为4，此时直线l的方程是. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线AB，BC的方程，再求出交点坐标即可； （2）由题意斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，求出截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(-1，0). 因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2， 因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0， 因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB方程为x+y+1=0， 解方程组得B(5，-6)， 故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5，-6). （2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)， 则M，N(0，2-k)， 所以S△MON=··(2-k)=·≥=4， 当且仅当= ，即时取等号， 所以(S△MON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0. 22. 已知三条直线：，，，且与间的距离是， （1）求 的值； （2）能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】（1）； （2）存在点. 【解析】 【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解； （2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可. 【小问1详解】 ， 与间的距离为， 即 ， ， ； 【小问2详解】 假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或，  因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $