精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级数学学业质量监测卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 注意事项： 1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 如果，那么 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 4. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长 ( ) A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 21 5. 如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 8. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 11. 如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 不等式，去分母后得（ ） A. B. C. D. 13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 14. 在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 方程组的解是 B. 方程的解是 C. 不等式和不等式的解集相同 D. 不等式组的解集是 16. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　 　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共78分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（共3小题，每小题3分，共9分） 17. 如图，中，，，，则__________． 18. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为________． 19. 如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共69分）． 20. 解下列不等式（组） （1） （2） 21. （1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：． ②因式分解：． 22. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）将绕点旋转得到，作出； （2）将向上平移4个单位得到，作出； （3）已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 24. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 25. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 26. 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学业质量监测卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 注意事项： 1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形定义逐项判断即可．中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形、中心对称图形的定义． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握表示方法是解题关键． 【详解】解：数轴上表示不等式的解集如下： 故选：C． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 如果，那么 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定即可判断A；根据有理数乘方的意义即可判断B；根据等边三角形的判定即可判断C，根据角平分线的性质即可判断D． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题是假命题，不符合题意； B、如果，那么，故原命题是假命题，不符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故原命题是假命题，不符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，故原命题是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，角平分线的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定，有理数乘方的意义，熟知相关知识是解题的关键． 4. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长 ( ) A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 21 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可. 详解： 由题意分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为4+4<9，围不成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为4+9>9，能够围成三角形，此时该等腰三角形的周长=9+9+4=22. 综上所述，该等腰三角形的周长为22. 故选B. 点睛：当已知等腰三角形其中两边长，求第三边长或周长时，通常要分“已知两边分别为等腰三角形的腰长”两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论. 5. 如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点A重合，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 让B的横坐标加5，纵坐标减3即可得到所求点A的坐标． 【详解】解：∵将点向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合， ∴所求点A的横坐标为：，纵坐标为， ∴所求点的坐标为． 故选A． 7. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 8. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A.A是多项式相乘，故A错误； B.B是提取了公因式a，不是两整数的乘积，故B错误； C.a2x−a=a(ax−1)化为a和(ax−1)两整式的乘积，故C正确； D.2x2+x−1=x(2x+1−)整式里面有分式，故D错误； 故选C. 9. 已知，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A符合题意； B．∵，， ∴，故B不符合题意； C．∵， ∴，故C不符合题意； D．∵， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 10. 如图，是一个可调节平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当且平分时，则点到的距离是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质．过点分别作的垂线，垂足分别为，根据勾股定理求得，等面积法求得，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 11. 如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组． 【详解】根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 则的取值范围为． 故选D． 12. 不等式，去分母后得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质2，去分母时要注意不等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，当是负数时不等号方向要改变．根据不等式性质2，两边都乘以分母最小公倍数4可得． 【详解】解：， 不等式两边都乘以分母的最小公倍数4，得： ， 故选：D． 13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得AB=AE=5，∠BAE=60°，即可求解． 【详解】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB=， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED， ∴AB=AE=5，∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=5， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 14. 在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】由图形可得，垂直平分，故排除A、C选项； 点很明显不在的垂直平分线上，故排除选项D； 故选：B． 15. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 方程组的解是 B. 方程的解是 C. 不等式和不等式的解集相同 D. 不等式组的解集是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可． 【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意； B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意； C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意； D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意． 故选：A． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交， 则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′， 过点C′作C′D⊥OA于D， ∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°， ∴∠OCC′=90°-30°=60°， OC=1，CC′=2×1×=1， ∴CD=，C′D=， ∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°， ∴AC=3-1=2， ∴AD=2+=， 在Rt△AC′D中，由勾股定理得， AC′===． 故选C． 【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，坐标与图形性质，含30°角的直角三角形，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键． 卷Ⅱ（非选择题，共78分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（共3小题，每小题3分，共9分） 17. 如图，中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能的位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②得， 关于的不等式组有且仅有3个整数解， 有且仅有3个整数解， 在数轴上表示出的可能位置，如图所示： 的取值范围为， 故答案为：． 19. 如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，证明即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出，再由角平分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故②正确； 当A、C、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 如图：作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C在的角平分线上，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共7个小题，共69分）． 20. 解下列不等式（组） （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）． （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集确定的原则即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 21. （1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：． ②因式分解：． 【答案】（1）①；②；（2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，理解整体思想是解答的关键． （1）①提公因式即可求解； ②先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①仿照例题解法步骤，令，然后利用完全平方公式求解即可； ②令，再利用整式乘法整理代数式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①令， ∴原式 ； ②令， ∴原式 ． 22. 在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． （1）将绕点旋转得到，作出； （2）将向上平移4个单位得到，作出； （3）已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问3详解】 解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）求四边形的面积； （3）我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 【答案】（1），直线的解析式为： （2）四边形的面积为 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形的结合，图形平移的性质，掌握一次函数图象的性质，几何图形面积的计算，图形与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键． （1）把点代入直线可求出的值，再把点代入直线即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，图形结合可得的长，根据即可求解； （3）根据题意作图，结合图形平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：已知直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， 把点代入直线中， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，则， ∵直线交轴于点， ∴令，则， ∴，则， ∴ ， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：根据题意作图如下， ∵将沿轴向下平移（是整数）个单位长度， ∴平移后直线的解析式为：， ∴如图所述，， 解得，， ∴， ∴的值为． 24. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF． （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数． 【答案】（1）见解析 （2）68° 【解析】 【分析】（1）利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠ACB=45°，从而得到∠BAE=23°，再根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BAE=23°，即可求解． 【小问1详解】 证明：证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE=CF，AB=BC， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）； 【小问2详解】 解：∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠ACB=45°， ∵∠CAE＝22°， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-22°=23°， 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=23°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+23°=68°． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度不大，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 25. 火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元． （1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？ （2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元 （2）购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式解应用题，读懂题意，得到相应方程组、函数及不等式是解决问题的关键． （1）设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）根据（1）中求得的结论，由题意得到销售这两种火龙果的利润表达式，由一次函数性质及一元一次不等式解集即可得到答案 【小问1详解】 解：设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元， 由题意可得，解得， 答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 随的增大而减小， 要求所花资金不高于2600元， ，解得， 当时，取得最大值，此时，， 答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元． 26. 综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，然后根据即可证明； （2）同理可证得，求出，即可得； （3）同理可证得，由勾股定理得，然后根据即可证明结论成立； （4）作于点M，作于点N，同理可证得，根据全等三角形对应边上的高相等得，进而可证平分． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴即； （2）同理可证， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）同理可证， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴； （4）作于点M，作于点N， 同理可证， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $