精品解析：2025年云南省中考数学真题

2025年云南省初中学业水平考试 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 2. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 7. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 9. 函数的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 11. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 13. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 14. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 17. 分解因式： ＝ ______． 18. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 19. 某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，与相交于点，．求证：． 22. 某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 23. 九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 27. 如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． （1）若，且，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省初中学业水平考试 数 学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 2. 地球绕太阳公转的速度约是，110000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：110000用科学记数法可以表示为， 故选：C． 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 5. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 6. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题关键是掌握常见几何体三视图特征； 由三视图条件分析判断即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 7. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 8. 如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 9. 函数的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 10. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意， 故选：C． 11. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数的概念（数据中出现次数最多的数是众数），熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据众数的概念即可求解． 【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次； 100分出现1次， ∵其中90分出现的次数最多（5次）， ∴这组数据的众数是90， 故选：C． 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 13. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 14. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 15. 如图，在中，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 17. 分解因式： ＝ ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解． 18. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 19. 某中学为了解全校名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制的扇形统计图．根据图中的信息，该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解，熟练掌握扇形统计图的特征是解题的关键． 【详解】解：该校名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有（名）， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明；在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】略 22. 某化工厂采用机器人，机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运20千克，机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料，根据机器人搬运800千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可． 【详解】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 23. 九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）画树状图，得到共有种等可能的结果； （2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意画树状图如下， 共有共种等可能的结果； 【小问2详解】 解：由树状图得，的结果有种， 组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． 24. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，，求的值； （2）若，，比较与的大小． 【答案】（1）的值为； （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入函数得， ， ∴的值为； 【小问2详解】 解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 27. 如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． （1）若，且，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）存在常数，，使等式成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $