精品解析：浙江省杭州市萧山城区8校联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024学年第二学期七年级期中学情调研 数学试卷 请同学们注意： 1、考试卷分试题卷和答题卷两部分． 2、请将学校，班级，姓名，考号依次写在答题卷的左上角！ 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4、考试结束后，只需上交答题卷． 一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，属于平移的是（　　） A. 足球在草地上滚动 B. 拉开抽屉 C. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 D. 钟摆的摆动 2. 石墨烯理论厚度是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图所示，下列条件中能判定是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么的值分别是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 17 D. 35 10. 如图，正方形被分割成个长方形和个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 正方形 D. 长方形 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11. 若，，则______． 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 13. 一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则宽为___________． 14. 已知，则的值为_________． 15. 已知M，N分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为_________． 16. 定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么_________； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为_________． 三．全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答一部分也可以． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 19. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出； （2）连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； （3）在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 20. 如图，直线交于点O，平分，且． （1）求的度数； （2）若平分，且，试说明 的理由． 21. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 22. 为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土石方量（单位：/台·时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？ 23. 两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． （1）若，，求的值． （2）当时，求图③中阴影部分的面积的值． 24. 如图1，直线与直线、分别交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，． （1） 证明：； （2）如图2，点是上一点，射线交直线于点，． ①若，则直接写出的度数是______． ②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期七年级期中学情调研 数学试卷 请同学们注意： 1、考试卷分试题卷和答题卷两部分． 2、请将学校，班级，姓名，考号依次写在答题卷的左上角！ 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4、考试结束后，只需上交答题卷． 一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列生活现象中，属于平移的是（　　） A. 足球在草地上滚动 B. 拉开抽屉 C. 投影片的文字经投影转换到屏幕上 D. 钟摆的摆动 【答案】B 【解析】 【分析】根据基平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移 B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移； C．投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移； D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移； 故选B． 2. 石墨烯理论厚度是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方逐项验算即可. 【详解】A、，此项错误 B、中的和指数不同，不能合并，此项错误 C、，此项错误 D、，正确 故选：D. 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键. 4. 如图所示，下列条件中能判定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、由无法得到，故此选项不符合题意； C、∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 5. 已知是方程的一个解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是将解代入方程列新方程求解． 6. 如果，那么的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选B． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求出，根据对顶角相等求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ） A. B. 0 C. 17 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，理解不含的二次项的含义，掌握整式混合运算法则是解题的关键．根据题意，运用整式的混合运算展开，由不含的二次项可得，该项的系数为零，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵不含的二次项， ∴， ∵， ∴原式， 故选：A ． 10. 如图，正方形被分割成个长方形和个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ） A. 长方形 B. 长方形 C. 正方形 D. 长方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知易得DF=EG，GF=EB， 故可得，从而阴影部分的面积等于△EBF的面积，从而只要知道长方形BCFE的面积即可． 【详解】 由题意，得：DF=EG，GF=GH=EB ∴ ∴ 由上式知，只要知道长方形BCFE的面积即可求得阴影部分的面积 故选：D． 【点睛】本题考查了图形面积的计算，涉及图形的割补，通过割补，把不易计算面积的不规则图形转化为易于计算面积的规则图形． 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11. 若，，则______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． 【详解】解：， 故答案为：30. 12. 已知方程，用含x的代数式表示y，即_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个长方形的面积为，已知这个长方形的长为，则宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式结合多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解；∵个长方形的面积为，这个长方形的长为， ∴这个长方形的宽为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 14. 已知，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进一步可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 已知M，N分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为_________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系． 由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 定义一种新的运算：，例如：，那么 （1）若，那么_________； （2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为_________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程的解，解二元一次方程，关键是熟练掌握新定义运算． （1）根据新定义代入数据计算即可求解； （2）根据新定义可得，代入方程得到，则，根据当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，且 ∴， 解得； 故答案为：12； （2）∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴ 则 ∴ ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故这个公共解为． 故答案为：． 三．全面答一答（本题有8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答一部分也可以． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）进行乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算即可； （2）先进行单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解； 把①代入②得，解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 19. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹： （1）画出； （2）连接、，那么与的关系是_________，的面积为_________； （3）在的右下侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有_________个． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）平行且相等，7.5 （3）8 【解析】 【分析】本题考查作图−−平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）分别作出A，C的对应的点，，然后顺次连接，，即可； （2）根据平移的性质和利用分割法的思想进行求解即可； （3）直线l上的格点满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由平移的性质知：，， ， 故答案为：平行且相等，7.5； 【小问3详解】 解：直线l上的格点满足条件，如图可知： 满足条件的点Q有8个， 故答案为：8． 20. 如图，直线交于点O，平分，且． （1）求的度数； （2）若平分，且，试说明 的理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判断，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由题意可得，再由平角的定义可得，据此可得答案． （2）由角平分线的定义可得，，则由平角的定义可得，即，据此可证明，则． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 【答案】（1），；发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； （2）；，． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算，灵活利用题目在所给的信息是解题的关键． （1）分别根据小聪和小明的思路进行运算求解即可； （2）选用小明的思路，分别把和代入运算求解即可． 【小问1详解】 解：小聪的思路：， ∴， ∴，； 小明的思路： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴ 把代入可得：， ∴； 发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； 【小问2详解】 解：选用小明的思路 ∵， ∴把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴． 22. 为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土石方量（单位：/台·时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？ 【答案】（1）甲乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）应选择1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，支付最少为820元 【解析】 【分析】（1）设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方，列方程组求解即可； （2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案． 【小问1详解】 解：设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； 【小问2详解】 设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．依题意得： ，化简得：， ∴， ∴方程的整数解为或． 当时，支付租金：元 当时，支付租金：元． 答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式进行求解． 23. 两个边长分别为和的正方形按如图所示的方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），则两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为． （1）若，，求的值． （2）当时，求图③中阴影部分的面积的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）分别表示出，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）分割法求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图可知，， 所以， 因为 所以； 【小问2详解】 由图可知 因为， 所以． 24. 如图1，直线与直线、分别交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，． （1） 证明：； （2）如图2，点是上一点，射线交直线于点，． ①若，则直接写出的度数是______． ②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又，． ， ； （2）①； ②， 证明：， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可； ②证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， 平分， ， 又， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $