第05讲 角平分线的性质（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版）

第05讲 角平分线的性质（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据角平分线的性质求角度 典型例题二 根据角平分线的性质求长度 典型例题三 根据角平分线的性质求面积 典型例题四 角平分线的判定定理 典型例题五 角平分线的性质定理 典型例题六 角平分线的判定与性质综合应用 典型例题七 角平分线的判定与性质多结论问题 典型例题八 角平分线的常见辅助线添加 典型例题九 角平分线性质的实际应用 知识点01角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知的面积为26，平分，于点P，并延长交于点D． 则的面积是 ． 知识点02 三角形中的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形有三条角平分线。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，要注意区分。 重要性质： 三条交于一点： 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 (Incenter)。 内心的性质： 内心到三角形三边的距离都相等（根据角平分线性质定理）。因此，内心是三角形内切圆的圆心。 基本应用： 利用角平分线性质定理和逆定理，可以在三角形中证明线段相等、角相等，或者确定某个点是否在角平分线上。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，，，和的平分线，相交于点O，且交于点，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的是 （填序号）． 知识点03 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，中，平分，于F，，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【典型例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（2025·杭州嘉兴·模拟预测）如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且， (1)求的度数； (2)求的长． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； (2)点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； (3)点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． （1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”． （2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论： ①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”； ②若是“奇妙互余三角形”，，，则； ③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 其中，结论正确的有______．（填写序号） （3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【典型例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 【例4】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长． 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 4．（2025·浙江·模拟预测）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的角平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一起来研究：特例感知 （1）情景一：如图1，在等腰中，，是的角平分线，可知，发现． 情景二：如图2，在中，，是的角平分线，如果，，则______，______，_______，发现_______（填“>”“<”或“=”）． 猜想验证 （2）两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两条线段与该角的两边对应成比例．于是给出命题： 如图3，在中，若是的角平分线，则有． 合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明，于是便过点A作的平行线，交的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程． 知识应用 （3）如图4，在中，，，，平分且． ①求中边上的高； ②求的长． 【典型例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，已知的周长是24，，分别平分和，于，且，则的面积是    【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是 ． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如下图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点．若，求的面积． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，于，于，平分，． (1)求证：； (2)已知，．求的面积． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G． (1)求证：； (2)连接并延长交于H，连接，若，，请将图形补充完整，并求的面积． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【典型例题四 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    3．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练． 任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程． 任务二：根据小华的思路完成下列问题： （1）根据小华的作法，证明是的平分线； （2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长． 【典型例题五 角平分线的性质定理】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【例2】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为 ．    1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的平分线，于，于．求证：． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E． (1)求的度数； (2)若，求 4．（2025·浙江·模拟预测）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【典型例题六 角平分线的判定与性质综合应用】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为6，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，平分，点是在边上，以点为圆心，大于点到的距离为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点若，，则的长度为 ． 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【典型例题七 角平分线的判定与性质多结论问题】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，连接．有下列结论：①；②垂直平分；③；④．请写出一定正确的结论 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，，垂足为点F，现给出以下结论： ①点O在的角平分线上； ②； ③ ④若，则. 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）（1）【动手操作】如图①，已知． ①用量角器画的平分线． ②在上任取一点M，画，垂足分别为． ③度量点M到的距离，你发现了什么？在上再取几点试一试． （2）【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离_______． （3）【结论应用】如图②，点P是的平分线上一点，，垂足为D，且是射线上一动点，则的最小值是_______．    3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【典型例题八 角平分线的常见辅助线添加】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知：如图，中，，求证：，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作的平分线交于点，②过点作于点，③取中点，连接，④作的垂直平分线，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题．     3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？ [探究] 探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______． 探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． [结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______． [拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．          4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线． （I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用） （2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线） ②猜想，，之间的关系为________． （拓展延伸） （3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【典型例题九 角平分线性质的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． （1）求证：点到三边、、所在直线的距离相等； （2）连接，若，求的度数． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　） A．线段、的交点 B．、角平分线的交点 C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线，且与第一把直尺交于点，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 （选填“真命题”或“假命题”）． 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有1个．正确的有 ．（只填序号） 9．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 12．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    13．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图1，平分，平分，若，求的度数； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点． ①若，则______度（直接写出结果，不需说理）； ②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 角平分线的性质（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据角平分线的性质求角度 典型例题二 根据角平分线的性质求长度 典型例题三 根据角平分线的性质求面积 典型例题四 角平分线的判定定理 典型例题五 角平分线的性质定理 典型例题六 角平分线的判定与性质综合应用 典型例题七 角平分线的判定与性质多结论问题 典型例题八 角平分线的常见辅助线添加 典型例题九 角平分线性质的实际应用 知识点01角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知的面积为26，平分，于点P，并延长交于点D． 则的面积是 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积=的面积， 故答案为：13． 知识点02 三角形中的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形有三条角平分线。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，要注意区分。 重要性质： 三条交于一点： 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 (Incenter)。 内心的性质： 内心到三角形三边的距离都相等（根据角平分线性质定理）。因此，内心是三角形内切圆的圆心。 基本应用： 利用角平分线性质定理和逆定理，可以在三角形中证明线段相等、角相等，或者确定某个点是否在角平分线上。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，，，和的平分线，相交于点O，且交于点，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，根据角平分线的定义结合题意可得，再由全等三角形的判定与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵，和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确； 由已知条件不能证明出，，故②⑤不符合题意； 故答案为：①③④． 知识点03 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，中，平分，于F，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，过作于，根据角平分线的性质，得到，根据等高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：过作于， 平分，， ， 的面积，的面积， ． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 【典型例题一 根据角平分线的性质求角度】 【例1】（2025·杭州嘉兴·模拟预测）如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外角和角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据外角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵的外角平分线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，点O在内，且到三边的距离相等，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 先由三角形的内角和定理求出，又点O在内，且到三边的距离相等可知平分，平分，然后可得，最后由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点D在的平分线上，P为上的一点，，点Q是射线上的一点，并且满足，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论；过点D作于H，于N，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点Q在点H的右侧时，证明，则有；点在点H左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可． 【详解】解；如图，过点D作于H，于N，    ∵平分， ∴， 当点Q在点H的右侧时， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在点H左侧时，同理可求， ∴， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且， (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； （1）由角平分线可得，再利用平行线可得，从而可得答案； （2）过作于，利用含的直角三角形的性质可得，再利用角平分线的性质可得答案． 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ． （2）解：过作于， ，，， ， ，，平分， ． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当______时，与的面积相等； (2)点P在折线运动过程中，当是等边三角形时，求的度数； (3)点P在折线运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3)或或或 【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据等边三角形的性质，得到，利用角的和差关系求出的度数即可； （3）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）∵， ∴， 当是等边三角形时，如图，则：， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． （1）如图，在中，，是的角平分线，求证：是“奇妙互余三角形”． （2）关于“奇妙互余三角形”，有下列结论： ①在中，若，，，则是“奇妙互余三角形”； ②若是“奇妙互余三角形”，，，则； ③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 其中，结论正确的有______．（填写序号） （3）在中，，，点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①③；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线性质，“奇妙互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据直角三角形两锐角互余得到，利用角平分线性质得到，最后进行等量代换，即可得到是“奇妙互余三角形”； （2）根据“奇妙互余三角形”的概念，对结论①②③进行辨析，即可解题； （3）根据点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，分以下两种情况讨论：①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时，②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时，对上述两种情况根据 “奇妙互余三角形”概念建立与相关的等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， 是“奇妙互余三角形”． （2）解：①，， ， 是“奇妙互余三角形”， 故①正确； ②是“奇妙互余三角形”，，， ， 即， 解得； 故②错误； ③三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． ， 三角形中剩下的内角大于， “奇妙互余三角形”一定是钝角三角形． 故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． （3）解：点是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”， 分以下两种情况讨论： ①当点在线段上，且是“奇妙互余三角形”时， ，， 有，即，解得， ； 有，即，解得， ； ②当点在延长线上，且是“奇妙互余三角形”时， ， ， 有， 则，解得（不合题意舍去）； 有， 则，解得（不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 【典型例题二 根据角平分线的性质求长度】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例4】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理．先根据角平分线的性质定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得． 2．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】解：（1）是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． （2） ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 4．（2025·浙江·模拟预测）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的角平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一起来研究：特例感知 （1）情景一：如图1，在等腰中，，是的角平分线，可知，发现． 情景二：如图2，在中，，是的角平分线，如果，，则______，______，_______，发现_______（填“>”“<”或“=”）． 猜想验证 （2）两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两条线段与该角的两边对应成比例．于是给出命题： 如图3，在中，若是的角平分线，则有． 合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明，于是便过点A作的平行线，交的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程． 知识应用 （3）如图4，在中，，，，平分且． ①求中边上的高； ②求的长． 【答案】（1），，，=；（2）见解析；（3）①12；②7 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会利用相似比计算几何计算；本题证明了角平分线性质定理和此定理的运用． （1）由勾股定理求出，过点D作于点，由角平分线性质定理得，根据可求出，进而可解决问题； （2）根据题意画出图形，证明，得，证明，从而可得出结论； （3）作的高，设，以为公共边，运用勾股定理求解即可； ②设与的交点为G．由可求出，再证明．运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， 过点D作于点，如图， ∵是的角平分线，， ∴ 又， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， 又发现， ∴, 故答案为：；；；=； （2）证明：如图所示． ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）①作的高，如图． 设，则． 解得． ∴． ②由①可知，则． 设与的交点为G． 由（2）可知，设． ∴，解得． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【典型例题三 根据角平分线的性质求面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作图-基本作图，作于点E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作于点E， 由题意可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，已知的周长是24，，分别平分和，于，且，则的面积是    【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，，    ∴， ∴ ． 故答案为：24． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 如图，过点D作于点H．由角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点H． 由作图可知平分， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的面积． 故答案为：7． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如下图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点O分别作于点M，作于点N，连接，根据角平分线性质，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，过点O分别作于点M，作于点N，连接，如图所示： 因为和的平分线分别是， 所以， 因为， 所以． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，于，于，平分，． (1)求证：； (2)已知，．求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)32 【分析】（1）根据垂直的定义得出，以及角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）求出，根据三角形的面积公式求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能根据全等三角形的判定定理推出是解此题的关键． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，， ， ， 的面积是． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G． (1)求证：； (2)连接并延长交于H，连接，若，，请将图形补充完整，并求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得，进而可证，从而可得到结论； （2）连接并延长交于H，连接，由角平分线的性质可得，易证得，进而得到，根据面积公式，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）解：连接并延长交于H，连接， ∵，， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【答案】(1)矩形 (2)8 (3) (4)或或 【分析】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）根据，可得四边形是矩形； （2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可； （4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，②当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，③当点在上且到与距离一样时． 【详解】（1）解：， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点在上，且点到与距离一样时， 点到边的距离为， 点到边的距离也为， 即， ，解得； ②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点， 则，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得：， ， ． 综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 【典型例题四 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺， ， ， ， ， ， ， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是， ， 故选：A．    【例3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如下图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”这样说的依据是 ． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【分析】根据角的内部到角两边的距离相等的点在这个角平分线上，可得平分． 【详解】 解：如图，过点P作，，垂足分别为和， 两把完全相同的长方形直尺宽度相同， ， 平分． 故答案为：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，熟知角平分线的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）在中，，点在上，，，垂足分别为，，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是角平分线的判定、直角三角形的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 在中，，， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得，，进而可知，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期末）阅读下面材料，完成相应任务： 尺规作图 尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形． 数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法． 已知：求作：的平分线． 小明的作法：如图①，在射线上取点，，分别以为圆心；，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线． 赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展训练． 任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出证明过程． 任务二：根据小华的思路完成下列问题： （1）根据小华的作法，证明是的平分线； （2）拓展训练：如图③，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．当，，求的周长． 【答案】任务一：见解析；任务二：（1）见解析；（2）13 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：由作图得，，再结合即可证明； 任务二：（1）由题意可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角可得，从而得出，即可得证； （2）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出．同理可证，再由三角形周长公式计算即可得解． 【详解】任务一：由作图得：，， ∵， ∴； 任务二： （1）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即是的平分线． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理可证：． ∴的周长． 【典型例题五 角平分线的性质定理】 【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于H，先由三角形面积计算公式求出的长，再由角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，延长至点，使，连接，证明，得到，得到，得出，进一步得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使，连接，如图：    ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的平分线，于，于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，可证明，即可得到． 【详解】证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，是的角平分线，于点E． (1)求的度数； (2)若，求 【答案】(1) (2)27 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形的性质即可求解； （2）作于点F，如图，根据角平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点F，如图， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴． 4．（2025·浙江·模拟预测）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【答案】(1)见解析 (2)，，，，成立，证明见解析 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在外时，分两种情况讨论，然后分别根据角平分线的性质和全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）证明：∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴③． 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤成立． 证明如下：如图所示，当点D在下方时，    ∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 如图所示，当点D在延长线上时，    ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【典型例题六 角平分线的判定与性质综合应用】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为6，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定D正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定B错误,C正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确， ， ， ， ， ， ， ，故D正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， ，故B错误， ，， ， ， ， ，，， ，故C正确． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，平分，点是在边上，以点为圆心，大于点到的距离为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点若，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】根据基本作图，得到，得到，结合，平分，得到，利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数解答即可． 【详解】解：根据基本作图，得到，得到， 由，平分， 故， 由， 故， 故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂线的基本作图，角的平分线，直角三角形的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握作图与三角函数的应用是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知锐角，在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理和角平分线的尺规作图，到角两边的距离相等的点在该角的角平分线上，故点P在的角平分线，据此作的角平分线交于D，则点D即为所求． 【详解】解：如图所示，作的角平分线交于D，则点D即为所求． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，角平分线的性质和定义，等腰直角三角形的性质与判定等待，先证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，再由角平分线的性质得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵在中，，平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，熟知菱形的性质和切线的性质与判定定理是解题的关键； （1）过点O作于H，连接，由切线的性质得到，由菱形的性质得到平分，则由角平分线的性质得到，据此可证明是的半径，则是的切线； （2）连接，则，点F即为的交点，由切线的性质得到，解得到，，则可得到，解得到，进而得到；则点E为的中点，即可得到 【详解】（1）证明：如图所示，过点O作于H，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴点H在上，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点F为的中点， ∴，点F为的交点， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴，即点E为的中点， ∴ 【典型例题七 角平分线的判定与性质多结论问题】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断． 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵， ∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边， ∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证）， ∴，即，也就是，该选项成立． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ①； ②点D到三边的距离相等； ③当时，； ④若，点D到的距离为n，则； 上述结论正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；因为和的平分线交于点D，所以平分，则点D到三边的距离相等；当时，运用三角形内角和得，结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①是正确的； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ∴平分， 则点D到三边的距离相等； 故②是正确的； 当时， 则， ∴， ∴， ∴； 故③是正确的； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故④是正确的； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，连接．有下列结论：①；②垂直平分；③；④．请写出一定正确的结论 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，可得到，利用证明，得到，即可得到，垂直平分；因为不一定等于，所以不一定平行. 【详解】解：平分，，， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ，垂直平分； 故①②正确； 不一定等于， 不一定平行， 故③不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②④， 故答案为：①②④ ． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，，垂足为点F，现给出以下结论： ①点O在的角平分线上； ②； ③ ④若，则. 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的性质，根据平分线的定义得证①是正确的；运用三角形内角和的性质列式换算，得证②是正确的；根据等面积法以及角平分线的性质得出④是正确的，据此即可作答． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的角平分线上（三角形的三条角平分线会交于一点O） 故①是正确的； 在中， 则 ∵ ∴ 则 故②是正确的； ∵和的平分线，相交于点O， ∴ ∵ ∴ ∵的大小关系未知 ∴的大小关系未知 则不一定成立 故③是错误的； 如图：过点分别作 ∵是的角平分线，且 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故④是正确的； 故答案为：①②④ 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．请说明与的关系并证明你的结论． 【答案】与互相垂直，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质，由题意得，可证，得，得出结论是线段的垂直平分线，即可求解； 【详解】解：与互相垂，理由如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴与互相垂直， 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）（1）【动手操作】如图①，已知． ①用量角器画的平分线． ②在上任取一点M，画，垂足分别为． ③度量点M到的距离，你发现了什么？在上再取几点试一试． （2）【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离_______． （3）【结论应用】如图②，点P是的平分线上一点，，垂足为D，且是射线上一动点，则的最小值是_______．    【答案】（1）见详解（2）相等（3）3 【分析】（1）根据要求画出图形；利用测量法解决问题． （2）由（1）的结论，即可作答． （3）根据垂线段最短，作图，再结合角平分线的性质，即可作答． 本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）如图所示；    发现了；又在上再取点和点,同样发现； （2）由（1）得：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 故答案为：相等． （3）如图所示：过点作，    则的最小值为线段的长度， ∵点P是的平分线上一点，，垂足为D，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据等腰三角形“三线合一”得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴是底边上的中线，底边上的高线， ∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误． 故答案为：③． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 【典型例题八 角平分线的常见辅助线添加】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知：如图，中，，求证：，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作的平分线交于点，②过点作于点，③取中点，连接，④作的垂直平分线，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解． 【详解】∵作的平分线交于点， 则， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB=AC， ∴①作法正确； ∵过点作于点， 则， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB=AC， ∴②作法正确； ∵取中点，连接， 无法证明△ABD≌△ACD， ∴③作法不正确； ∵作的垂直平分线无法证明点A在其上， ∴④作法不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出． 【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示， ， ∵， ∴， ∵BP是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∴， ∵和同底等高， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定． 【例3】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）    【答案】3 【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成． 【详解】在△ABC与△DBA中， ∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C， ∴△ABC∽△DBA， 在△ABF与△CBE中， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∠BAF＝∠BCE， ∴△ABF∽△CBE． 同理可证得：△ABE∽△DBF， 所以图形中共有3对相似三角形． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点． 【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接， 是的内角平分线， 可设AB＝2k，AC＝3k， 在△ABC中，BC＝5， ∴5k＞5，k＜5， ∴1＜k＜5， 由三角形三边关系可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图①，在中，，，平分，交于点．如果作辅助线于点，则可以得到三条线段之间的数量关系为______； （2）如图②，中，平分，交于点，若有．试说明，写出证明过程．（提示：可以在线段上截取的等长线段） 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题综合考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质．全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理知；然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知，即； （2）在上截取，连接．证明．可得，证明，可得，再进一步可得结论． 【详解】解：（1）．理由是： ∵，， ∴，是的角平分线， ； 在与中， ， ， ； 又， ， ， ，即； （2）证明：如图，在上截取，连接． ， 又， ， ∵平分， ∴， 在和中 ， ． ， ， ， 又， ， 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，，和的平分线交于点P，过点P作直线分别交于两点，．求证：． （1）兴趣小组过通过添加辅助线于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，解答此问题． 【深入探究】老师提出，当与不垂直，其它条件不变时，还成立吗？ （2）如图2，请你回答老师的提问，并证明． 【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当与不垂直，其它条件不变时，如图3，过点P作，交于Q，若，求的长． （3）请你解答兴趣小组提出的问题． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，并熟练应用角平分线的性质解决问题． （1）作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据角平分线的性质和平行线的性质得，再得即可得证； （3）根据平行线的性质得，则，同理得，再由，得，则有，由此求出． 【详解】作于点E． ∵， ∴，    ∴ ∵和的平分线交于点P， ∴，   ∴．     （2）成立．     延长交于点F． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴．     ∴． ∵平分， ∴．     在和中 ∴． ∴．     （3）∵， ∴．     ∴． ∵． ∴． ∴．     同理． ∴．     由（2）可知，， ∴． ∴． ∴． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？ [探究] 探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______． 探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由． [结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______． [拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．          【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析． 【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答； 探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； [理论] 根据探究结果得到答案； [拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论． 【详解】解：探究一：平分，，， ， 理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 探究二：作于，作交的延长线于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ； [理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是， 故答案为：； [拓展] 在上取一点，使，作交的延长线于，于， ． 平分，，， ， ，， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线． （I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用） （2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线） ②猜想，，之间的关系为________． （拓展延伸） （3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析 【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答； （3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1） 如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°， ∴∠MPN=90°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴PM=PN， ∵∠EPF=90°， ∴∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴PE=PF， 故答案为：=； （2）①∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC， ∴∠OGH=∠OHG=45°， ∴OP=PG=PH， ∵∠GPO=90°，∠EPF=90°， ∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中， ， ∴△GPE≌△OPF（ASA）， 同理可证明△EPO≌△FPH， ∵， ∴△GPO≌△OPH（SAS）， ∴全等三角形有3对， 故答案为：3； ②GE2+FH2=EF2， 理由如下：∵△GPE≌△OPF， ∴GE=OF， ∵△EPO≌△FPH， ∴FH=OE， 在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2， ∴GE2+FH2=EF2， 故答案为：GE2+FH2=EF2； （4） 如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H， 在△OPG和△OPH中， ， ∴△OPG≌△OPH， ∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°， ∴∠GPH=120°， ∵∠EPF=120°， ∴∠GPH=∠EPF， ∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中， ， ∴△PGE≌△PHF， ∴PE=PF． 【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【典型例题九 角平分线性质的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 【答案】1m 【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离． 【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F ∵I为的三条角平分线的交点 ∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线 ∴ID=IE=IF ∵，㎡ ∴ 即 ∴ ∵m ∴ ∴m ∴ID=IE=IF=1m 即点I到每条边的距离为1m． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． （1）求证：点到三边、、所在直线的距离相等； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DAC=50°． 【分析】证明：过点作分别垂直于边、、所在的直线；  根据角平分线的性质得到， 从而得到，点到三边、、所在直线的距离相等； 根据外角的性质得到，从而得到，求出，由（1）可得根据角平分线的性质，得到． 【详解】证明：过点作分别垂直于边、、所在的直线， 平分， 平分 ， 即点到三边、、所在直线的距离相等， 解：是的外角， 是的外角 ， ， 由（1）可得 平分， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质，以及外角的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【分析】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【详解】（1）在中，平分平分 . （2）平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和角平分线的性质等进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题； ②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题； ④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题； 真命题有3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等，那么这个点P的位置是（　　） A．线段、的交点 B．、角平分线的交点 C．线段、垂直平分线的交点 D．线段、垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， 使点到三面墙的距离都相等，点是、角平分线的交点． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线，且与第一把直尺交于点，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上． 根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解． 【详解】解：由题意，得平分， ∴， 由长方形直尺可知：， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的判定定理等知识点，掌握平行线上的两点距离相等成为解题的关键． 根据平行的性质可得点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，然后根据角平分线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴点、到直线的距离相等，即点到的距离相等， ∴点O为三条角平分线的交点． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 （选填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】本题考查了判断命题真假、角平分线的判定定理，根据角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题， 故答案为：真命题． 7．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作于点M，则以下结论：①若，则；②；③若，，则；④平面内到三条直线距离相等的点有1个．正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及性质，三角形面积的计算方法，掌握角平分线的定义及性质，数形结合思想是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在中有三角形内角和定理可判定①；根据三角形面积的计算方法可得，，根据面积的比值即可判定②；如图所示，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可判定③；根据角平分线在三角形内部的交点，三角形外角角平分线的交点及性质可判定④；由此即可求解． 【详解】解：在中，若，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，故①正确； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作于点，连接， ∵平分，， ∴， ∵ ，故③正确； ∵， ∴三角形内部有一个点到直线、、距离相等， 如图所示，作外角的角平分线，交于点， ∴由角平分线的性质定理可得， 同理可得，三角形外部共有3个点直线、、距离相等， ∴共有4个点直线、、距离相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③ ． 9．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则 ． 【答案】2cm 【分析】连接、、，如图，利用角平分线的性质得，设，则，根据三角形面积公式，利用得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接、、，如图， 点为的三条角平分线的交点，垂直，，， ， 设，则， ， ，解得， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为． （1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ； （2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ． 【答案】 3 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接，证明，得出，根据即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∵点P到，的距离与相等， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为。 则， 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴运动时间为， 则， 解得：； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴此时运动时间为， 则， 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 12．（24-25八年级上·浙江丽水·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．过点分别向，作垂线，再根据，即可得出，由此可得出结论． 【详解】解：点在的平分线上． 理由：过点分别向，作垂线，   ，，，， ， 点是在的平分线上． 13．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)如图①，当时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． （1）如图1，平分，平分，若，求的度数； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点． ①若，则______度（直接写出结果，不需说理）； ②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36° 【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和； （1）求出，，根据，即可解决问题； （2）①求出，，根据，即可求出的值； ②根据即可得出结论； （3）首先证明，，再分四种情况讨论①当时，②时， ③时，④时， 分别计算，符合题意得保留即可． 【详解】解：（1）如图1中，， ， ， ， 又平分，平分， ，， ， （2）如图2中： ①（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和）， 平分，平分， ，， ， ； ②结论：点A、B在运动过程中，， 理由： 点A、B在运动过程中，的角度不变，； （3）如图3中，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、， ，， 又为平角， ， ， ， 又在中：， ﹤， 在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则： ①当时，， 此时， ②时，，， 此时（不符合题意舍去）， ③时，， 此时， ④时，， 此时（不符合题意舍去）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的4倍． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点． 15．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： (1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ (2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． (3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (2)相等 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； （2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； （3）∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 学科网（北京）股份有限公司 $$