第04讲 线段垂直平分线的性质（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版）

第04讲 线段垂直平分线的性质（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 作已知线段的垂直平分线 典型例题二 根据垂直平分线的性质求长度 典型例题三 根据垂直平分线的性质求周长 典型例题四 根据垂直平分线的性质求角度 典型例题五 利用垂直平分线的性质求最值 典型例题六 垂直平分线的判定与性质综合问题 典型例题七 垂直平分线常见辅助线添加 知识点01 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形是“等形”，，，点是对角线的一个三等分点，连接，图中面积相等的三角形有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【典型例题一 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 【例2】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ． 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，点为边的中点，连接．请用尺规作图法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，则 ． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）是中边上的中线． (1)尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法） (2)当点靠近点时，连接，若，则的面积为________． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 【典型例题二 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，，若，则的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在△中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度取值范围为 ．    【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E．连接，已知，求的长度． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)若周长，，求的长度． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是边的垂直平分线，E为的延长线上一点．过点 E 作于点F，交于点M．若，，，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为 ，阴影部分的面积为 ． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）（1）解方程： ； （2）如图，在中，． ①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线，使得直线垂直平分线段，交于点E，交直线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，求的长度． 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，P为等边外一点，垂直平分于点H，的平分线交于点D． (1)①直接写出与的位置关系为______． ②与的数量关系为______，并写出证明过程． (2)求证：； (3)若等边边长为，连接，当为等边三角形时，请直接写出的长度． 【典型例题三 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，平行四边形的对角线的垂直平分线交于点E，连接．若平行四边形的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（    ） A．8 B．20 C．24 D．30 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    【例4】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中： (1)实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点，连接； (2)应用与证明：在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，，，，按下列步骤尺规作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和；②作直线MN，交AB于点，交BC于点，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，过点O作交于点E，连接，则的周长是 . 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证是等腰三角形； (2)若，求的度数； (3)若，的周长为，求的周长． 【典型例题四 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，，则的度数为（） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，，，的垂直平分线交于点，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）中，直线垂直平分，直线垂直平分． (1)如图1，直线分别与交于点，． ①若，则_____； ②若，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，若直线与交于同一点，求的度数；． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为 ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，连接.      (1)当时，求的度数； (2)当时，求证：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）教材呈现：如图是2024苏科版八年级上册数学教材第59页的部分内容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． 如图①，直线是线段的垂直平分线，是直线上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，即． 尺规作图：在图②中，作边，的垂直平分线，，交点为（不写过程，保留作图痕迹）； (1)若，则直线，夹角的度数为_____； (2)若，求直线，所夹锐角的度数（用含的代数式表示）． 【典型例题五 利用垂直平分线的性质求最值】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．若，的周长是． (1)求的长； (2)若点P是直线MN上的一点，直接写出的最小值为______． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，为延长线上一点，E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，求的度数． (2)当时， ①如图2，连接，按边分，是_______三角形． ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上的一个动点．说明当点P在什么位置时，的值最大？并求出这个最大值． 【典型例题六 垂直平分线的判定与性质综合问题】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则扇形的面积 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是 ．     3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【典型例题七 垂直平分线常见辅助线添加】 【例1】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是 ． ①作的平分线交于点 ②过点作于点且 ③取中点，连接 ④过点作，垂足为 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰直角三角形ABC，E是射线AT上一点，点B作BM⊥AT于M，在射线MB上取点F，使∠ECF=45°． (1)在图1中按要求补全图形． (2)猜想图1中AE，BF，EF之间的数量关系，并证明． (3)点E在射线AT上运动时AE，BF，EF之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后AE，BF，EF之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，若直线l满足 且 ，则直线l叫作线段的垂直平分线． 7．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 10．（2025八年级·浙江·专题练习）已知：在四边形中，，、分别是和上的点．求作：点、，使的周长最小． 作法：如图2， （1）延长，在的延长线上截取； （2）延长，在的延长线上截取； （3）连接，分别交、于点、． 则点、即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：如图，，点E在上，求证：． 13．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有 2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 15．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 线段垂直平分线的性质（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 作已知线段的垂直平分线 典型例题二 根据垂直平分线的性质求长度 典型例题三 根据垂直平分线的性质求周长 典型例题四 根据垂直平分线的性质求角度 典型例题五 利用垂直平分线的性质求最值 典型例题六 垂直平分线的判定与性质综合问题 典型例题七 垂直平分线常见辅助线添加 知识点01 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，进行以下操作：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，E；②作直线交边于点O，交于点H；③连接．已知，周长为16，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，先根据作图得出垂直平分，然后根据线段平分线的性质得出，，结合周长为16可求出，然后结合即可求解． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ∴，， ∵周长为16， ∴，即， ∴， 又， ∴的周长为， 故选D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形是“等形”，，，点是对角线的一个三等分点，连接，图中面积相等的三角形有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、垂直平分线的判定等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键． 如图：连接交于点F，由可知是的垂直平分线，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接交于点F， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，图中面积相等的三角形有3对． 故选：D． 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行列式解答即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 故选：B 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 【典型例题一 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，．则的周长为（   ） A．14 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 故选：C 【例2】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ． 【答案】C点 【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示： 故点C为旋转中心， 故答案为：C点 【例4】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，点为边的中点，连接．请用尺规作图法在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，如图所示，作线段的垂直平分线交于E，连接，则点E即为所求；由于点E和点D分别是的中点，则． 【详解】解：如图所示，点即为所求作的点． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．设，证明，，再利用正切函数的定义求解． 【详解】解：设， ，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 故答案为：． 3．（2025·浙江丽水·模拟预测）是中边上的中线． (1)尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法） (2)当点靠近点时，连接，若，则的面积为________． 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． （1）先作线段的垂直平分线，确定线段的中点，作边上的中线交于点，以点为圆心，为半径作圆交于点，点、点即为所求； （2）连接、，由题意得，由、为线段的三等分点，得，由已知条件得，通过即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点、点即为线段的三等分点； （2）连接、，如图所示： 是中边上的中线， ， ， 点、点为线段的三等分点， ， ， ， ； 故答案为：． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，已知． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） (2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， 的周长为． 【典型例题二 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，，若，则的长度为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线得，，再证明是等边三角形得，由此可得出的长． 【详解】解：∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 又∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在△中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 在中，，即， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E．连接，已知，求的长度． 【答案】4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，继而，再根据角的和差求出，再由角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∵∠，∠， ∴∠，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)若周长，，求的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】（2）利用证明，根据全等三角形的性质得出， ，再利用线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，最后由等腰三角形的性质及三角形外角性质可得出答案； （2）根据（1）和已知能推出的周长，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：由1知：，， ∴， ∴的周长． ∵，，， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是边的垂直平分线，E为的延长线上一点．过点 E 作于点F，交于点M．若，，，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，由线段垂直平分线的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，如果知道的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知，，则圆的半径为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接，利用线段垂直平分线的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得，得到垂直平分线，即得，得到，再证明可得，据此即可求解． 【详解】解：设点为圆心，由垂径定理的推论可知点在直线上，连接， ∵垂直平分， ∴，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为，， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出为等边三角形是解题的关键． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）（1）解方程： ； （2）如图，在中，． ①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线，使得直线垂直平分线段，交于点E，交直线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，求的长度． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【分析】本题考查解一元二次方程，作垂直平分线，解直角三角形： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）①根据线段垂直平分线的做法解答即可；②利用垂直平分线的性质求出，再利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解： 或 解得：， （2）①如图所示为所求： ②垂直平分，， ，， ， ， ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，P为等边外一点，垂直平分于点H，的平分线交于点D． (1)①直接写出与的位置关系为______． ②与的数量关系为______，并写出证明过程． (2)求证：； (3)若等边边长为，连接，当为等边三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定和勾股定理等等，熟知等边三星级的性质与判定方法是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质可证明，再由三线合一定理即可得到结论；②根据（1）①所证结合线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）在上取一点Q使得，连接，可证明，得到，再导角证明，进而证明是等边三角形，得到，据此可证明； （3）设，则，，，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形， ∴， ∵垂直平分于点H， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴垂直平分， ∴； ②，证明如下： ∵垂直平分， ∴； （2）证明：如图所示，在上取一点Q使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵为等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【典型例题三 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，平行四边形的对角线的垂直平分线交于点E，连接．若平行四边形的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质得出是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于． 【详解】解：如下图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（    ） A．8 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示： ，， 在矩形中，，则， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，，， 则由勾股定理可得，且, 在矩形中，，， 矩形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为 ．    【答案】20 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 【例4】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中： (1)实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点，连接； (2)应用与证明：在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由（1）可知：直线为的垂直平分线，得出，在中，得出，．根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线，线段即为所作图形． （2）解：由（1）可知：直线为的垂直平分线， ， 在中，，， ，． ． 1．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，，，，按下列步骤尺规作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和；②作直线MN，交AB于点，交BC于点，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理；连接，由作法得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得，由勾股定理得，，即可求解；掌握线段垂直平分线的作法及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， ，，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 的周长为： ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，，，过点O作交于点E，连接，则的周长是 . 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．由勾股定理可得，根据平行四边形的性质可知，是线段的垂直平分线，即，再结合的周长为即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵在中，，对角线相互平分， ∴是中点， ∵， ∴是线段的垂直平分线，即， ∴的周长为， 即的周长为18， 故答案为：18． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证是等腰三角形； (2)若，求的度数； (3)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，利用等边对等角求得的度数，则可求得的度数； （3）将的周长转化为的长即可求得． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在中， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 【典型例题四 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．由垂直平分线的性质可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再由角平分线的定义得，利用三角形的外角性质，即可求的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及垂直平分线的性质，熟练掌握，即可解题． 首先利用三角形内角和定理，求出，然后根据垂直平分线的性质得出，进而得出，即可得解． 【详解】在中，， ， 又∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ， ， ， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，，，的垂直平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质及三角形的内角和定理．熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键，根据线段垂直平分线性质可得，证，可得结论． 【详解】解：∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）中，直线垂直平分，直线垂直平分． (1)如图1，直线分别与交于点，． ①若，则_____； ②若，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，若直线与交于同一点，求的度数；． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）连接，由（1）知，，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①， ， 直线垂直平分，直线垂直平分， ， ， ， ； ②， ， 直线垂直平分，直线垂直平分， ， ， ， ； （2）解：如图连接， 由（1）知：，， ， 即 ， ． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点．连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图及性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到． 【详解】解：∵在等腰中，， ， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据旋转的性质，线段垂直平分线的性质得到，，，根据，分类讨论，数学结合分析即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 故答案为： 或． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，连接.      (1)当时，求的度数； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由正方形的性质得，再证明是等腰三角形，故得是的垂直平分线，所以证明，结合，得，即可作答． （2）延长交于点M，先证明，再证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于点M，如图所示： ， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）教材呈现：如图是2024苏科版八年级上册数学教材第59页的部分内容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． 如图①，直线是线段的垂直平分线，是直线上任一点，连接、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，即． 尺规作图：在图②中，作边，的垂直平分线，，交点为（不写过程，保留作图痕迹）； (1)若，则直线，夹角的度数为_____； (2)若，求直线，所夹锐角的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查垂直平分线作图，多边形内角和，垂直平分线定义等． （1）先按题意画出，的垂直平分线，，再根据四边形内角和求出本题答案； （2）由图分两种情况讨论，当是锐角和是钝角，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为边的垂直平分线；再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即为边的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，如下图所示： ， ∵， ∴直线，夹角的度数为：， 故答案为：； （2）解：各线段交点如下图中命名： ， ∵分别是，的垂直平分线， ∴， ∵四边形内角和为， ∵， ①若是锐角， ∴直线，所夹锐角的度数：， ②若是钝角， ∴直线，所夹锐角的度数：， 综上所述：锐角度数为或． 【典型例题五 利用垂直平分线的性质求最值】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作点分别关于的对称点，连接分别交于点， 得到，，，，，继而得到，此时的周长最小，过点作于点，得到，得出，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ， ， 此时的周长最小， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 周长的最小值是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，等腰的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短距离的计算，根据题意，连接，由三角形的面积可得，连接，当的值最小时，的周长最小，当点三点共线时，的值最小，最小值为，即，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴，， ∵底边长为，面积是， ∴， 解得，， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当的值最小时，的周长最小， 在中，， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为，即， ∴的周长为， 故答案为：11 ． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．若，的周长是． (1)求的长； (2)若点P是直线MN上的一点，直接写出的最小值为______． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长公式可推出，由此即可求出答案； （2）如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则当三点共线时，最小，即此时，则此时点P与点M重合，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点N，交于点M， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵垂直平分，点P在直线上， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时，则此时点P与点M重合， ∴的最小值即为的长，即， 故答案为：7． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：8，8． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）在中，，为延长线上一点，E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，求的度数． (2)当时， ①如图2，连接，按边分，是_______三角形． ②如图3，直线与交于点F，满足为直线上的一个动点．说明当点P在什么位置时，的值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)①等边；②当点P在（点为点D关于直线的对称点）的延长线上时，的值最大，最大值为2 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①是等边三角形，证明，即可； ②结论：．如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 点是线段，的垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ． （2）解：①如图2中， 点是线段，的垂直平分线的交点， ， ，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形； ②如图3中，作点关于直线的对称点，连接，，． 当点在的延长线上时，的值最大，此时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 时等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ． ∴点在的延长线上时，的值最大，最大值为2， 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【典型例题六 垂直平分线的判定与性质综合问题】 【例1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用四边形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是等腰三角形，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，若，则扇形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图得，证明是线段的垂直平分线，结合等腰三角形的三线合一，得，再运用扇形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是 ．     【答案】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 依据由题，先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：由题意，连接， ∵等边中，是边上的高， ∴是边上的中线，即垂直平分． ∴． ∴当B、F、E三点共线时，为最小值． ∵等边中，E是边的中点， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）中垂线的性质，得到，易得垂直平分，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长公式推出，根据，等量代换推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【典型例题七 垂直平分线常见辅助线添加】 【例1】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    【答案】 【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·浙江·期末）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是 ． ①作的平分线交于点 ②过点作于点且 ③取中点，连接 ④过点作，垂足为 【答案】①③④ 【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可． 【详解】解：①、利用SAS判断出△PCA≌△PCB， ∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； ②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误； ③、利用SSS判断出△PCA≌△PCB， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； ④、利用HL判断出△PCA≌△PCB， ∴CA=CB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）过点作，可得，从而得到、，即可求解； （2）根据题意作图即可； （3）过点G作，根据题意可求出，根据平角的定义可得，然后即可求出答案；过点作，交于点，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意作图如下.    （3）解：∵， ∴， 如图乙，过点G作，交于点E，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图丙，过点作，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰直角三角形ABC，E是射线AT上一点，点B作BM⊥AT于M，在射线MB上取点F，使∠ECF=45°． (1)在图1中按要求补全图形． (2)猜想图1中AE，BF，EF之间的数量关系，并证明． (3)点E在射线AT上运动时AE，BF，EF之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后AE，BF，EF之间的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)当时，不会发生变化；当时，会发生变化， 【分析】（1）如图过点B作交点为M；连接CE，以C、E为圆心，大于长度为半径画弧，连接两交点，与CE交于点P；以P为圆心，PC为半径画弧与CE的垂直平分线交点为Q，连接CQ与BM交点即为F； （2）将逆时针旋转90°到的位置，由题意知，，在四边形中，，，，在一条直线上，进而可证，得到即可； （3）当时，如图所示，将逆时针旋转90°到的位置，由题意知，，在四边形中，，，，在一条直线上，进而可证，得到即可． 【详解】（1）解：如图过点B作交点为M；连接CE，以C、E为圆心，大于长度为半径画弧，连接两交点，与CE交于点P；以P为圆心，PC为半径画弧与CE的垂直平分线交点为Q，连接CQ与BM交点即为F． （2）解： 证明过程如下：将逆时针旋转90°到的位置， 由题意知 ∴ ∵在四边形中 ∴ ∵ ∴ ∴在一条直线上 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴． （3）解：①当时，会发生变化，， 证明：当时，如图所示 将逆时针旋转90°到的位置 由题意知 ∴ ∵在四边形中 ∴ ∵ ∴ ∴在一条直线上 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴． ②当时，不会发生变化，如图，将逆时针旋转90°到的位置， 同①可证，在一条直线上，， ∴ 即不变． 综上可知，当时，不会发生变化；当时，会发生变化， 【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，旋转的性质，三角形全等．解题的关键在于将三角形进行旋转． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定． （1）连接，，由角平分线性质可得，再证明（），可得，即点D在的垂直平分线上． （2）证明（），可得，由线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 是的平分线，，， ， 在和中， （）， ， 点D在的垂直平分线上． （2）解：在和中， （）， ，， ． ， ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，一定不可能经过点的是（    ） A．边的中线 B．边的垂线 C．边的平行线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 边的垂直平分线一定不经过点， 故选：D． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴周长为． 故选：B． 3．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的判定可判断，进而可得出答案． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ，是的平分线， ，故A结论正确，不符合题意； ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ，，故C、D结论正确，不符合题意； 假设， ， ， 是等腰直角三角形， 但题目条件没有是等腰直角三角形，且推导不出其结论， 结论不一定正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定于性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关判定和性质并灵活运用． 6．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，若直线l满足 且 ，则直线l叫作线段的垂直平分线． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线，熟练掌握经过线段的中点且与线段垂直的直线叫线段的垂直平分线是解题的关键． 根据线段垂直平分线的定义作答即可． 【详解】解：直线l满足且，则直线l叫作线段的垂直平分线． 故答案为：；． 7．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， 的周长， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 10．（2025八年级·浙江·专题练习）已知：在四边形中，，、分别是和上的点．求作：点、，使的周长最小． 作法：如图2， （1）延长，在的延长线上截取； （2）延长，在的延长线上截取； （3）连接，分别交、于点、． 则点、即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是 ． 【答案】①线段垂直平分线的判定（或线段垂直平分线的定义，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）；②线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；③两点之间线段最短． 【分析】根据线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短作图即可． 【详解】证明： 是线段的垂直平分线（线段垂直平分线的判定） （线段垂直平分线的性质） 同理可得： 的周长为 由两点之间线段最短得：的最小值为，此时在一条直线上 即连接，分别交、于点、，则点、即为所求作的点 故答案为：①线段垂直平分线的判定（或线段垂直平分线的定义，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）；②线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；③两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、两点之间线段最短，掌握理解线段垂直平分线的判定与性质是解题关键． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 12．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 13．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，和表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点、处，已测出，，则该斜拉索桥是否符合修建规定？说明你的理由． 【答案】该斜拉索桥符合修建规定，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用；证明是线段的垂直平分线，即可得到． 【详解】解：该斜拉索桥符合修建规定，理由如下， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 即两根斜拉索的长度相等． 14．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有 2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 15．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）【发现】如图1，，为的中点，平分，过点作，垂足为，连接． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：垂直平分线段； 【拓展】如图2，，和的平分线和相交于点，过点的直线与，分别相交于点，（点，在的同侧）． （3）判断是否为线段的中点，并说明理由； （4）若四边形的面积为16，的面积为2，则的面积是___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）E为线段的中点，理由见解析；（4）6 【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质； （1）由题意得和，根据角平分线的判定定理即可判定； （2）根据题意证得，得，根据线段垂直平分线的性质即可判定； （3）过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，有．作于点P，由角平分线的性质可得，证得，即可求证；（4）因为和，有，根据，得到即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴． 又∵，平分， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是的平分线； （2）∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A，E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段； （3）E为线段的中点； 理由：过点E作的垂线，交的延长线于点F，交于点G，如图， ∵， ∴． 作于点P，由角平分线的性质可得． 在与中， ， ∴， ∴， ∴E为线段的中点； （4）在和中， ， ∴， 则 同理可证，则 ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$