第02讲 定义与命题、证明（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版）

第02讲 定义与命题、证明（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是命题 典型例题二 判断命题真假 典型例题三 举例说明假（真）命题 典型例题四 写出命题的题设与结论 典型例题五 证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）． 知识点02 命题 1．命题的概念:在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题 2．命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题. 3．分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 知识点诠释: 1．不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”,“2 不一定大于 3”. 2．只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如:“起立”、“"是有理数吗?”、“今天天气真好!”等. 3．语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键，一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可，命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性 命题的结构: (1)命题的一般形式为“若p，则g"其中p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式, 知识点诠释: 1．一般地，命题"若p则q"中的p为命题的条件q为命题的结论. 2．有些问题中需要明确指出条件p和g各是什么，因此需要将命题改写为“若p则g”的形式, 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）将命题“两直线相交，只有一个交点”改写成“如果……那么……”的形式是 ，它是 命题（填真或假）. 【典型例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列语句不是命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点，使得 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列句子中是命题的有（    ） ①正数大于一切负数吗？②两点之间线段最短；③不是无理数；④作一条直线和已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ． 像这样判断一件事情的语句，叫作 ． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题． 【例5】（24-25八年级上·浙江衢州·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边形——筝形． (1)请你给“筝形”下定义； (2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系； (3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列语句中，不是命题的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行 C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）命题“两个锐角的和是直角”是 命题（填“真”或“假”）. 4．（2025·浙江·模拟预测）下列命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形； ②点G是ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3； ③若直线经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0； ④定义新运算：a*b=，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9； ⑤抛物线的顶点坐标是(1，1)． 其中是真命题的有 （只填序号） 5．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 6．（24-25八年级·浙江温州·模拟预测）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． （1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程． 小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°． 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整． 证明：∵EFCD（已知） ∴∠BEF＝　　（　　） ∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC　　（　　） ∴∠CDG＝　　（　　） ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换） （2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． ①条件：　　，结论：　　（填序号）． ②证明：　　． 【典型例题二 判断命题真假】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列命题中，是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．任何数的平方都大于0 C．若，则 D．如果，那么 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．互补的两个角必有一条公共边 D．一个角的补角大于这个角 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【例4】（2025八年级上·浙江·专题练习）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【例5】（24-25八年级上·浙江衢州·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 4．（2025八年级上·浙江·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 5．（24-25八年级上·浙江湖州·单元测试）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若，则． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）如图，，，，试说明； （2） 若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【典型例题三 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ） A． B． C． D．a ＝3 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（   ） A． B． C．， D．， 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）为了说明命题“对于实数，若，则”是错误的，的值可以是 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）举一个反例就可以说明一个命题是假命题．要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： ． 【例5】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）判断命题“对于所有的正整数n，代数式的值是质数”的真假，并证明． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）“锐角与钝角是互为补角”是 命题．（填写“真”或“假”） 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）指出下命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例． （1）邻补角是互补的角； （2）同位角相等． 6．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）阅读下列语句，完成后面的题目． ①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？ （1）其中属于命题的是________，不属于命题的是________（填序号）； （2）其中属于真命题的是________（填序号）； （3）对于每个假命题，你是怎样判断的？ 【典型例题四 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）写出下列命题的条件： （1）两条直线相交有2对对顶角： ； （2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直： ； （3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行： ； （4）互补的两个角一定是邻补角： ． 【例5】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 5．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【典型例题五 证明】 【例1】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 【例5】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）与同伴玩扑克牌游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大、小王和J，Q，K）中选择4张黑色牌和4张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得8张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜． （1）作为游戏玩家，你希望抽到_______色牌，希望______色牌被同伴抽走． （2）游戏结束后，你手中牌的总分a与同伴手中牌的总分b的关系是_________． （3）你可能得到的最高分是多少？请写出你的计算过程． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，下列推理不正确的是(      )    A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD 2．（2025·浙江温州·模拟预测）某班选举班干部，全班有40名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，40．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令 其中i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，40．则a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是（　　） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次． 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）阅读下列材料∶ 的解是的解是 的解是的解是 （1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程的解分别为：___ ，___ ． （2）利用这个结论可得关于的方程；的解为：___ ，___ ． （3）利用这个结论求解关于的方程： 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意正实数，， ，， ，只有时，等号成立．结论：在 (，均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题： （1）初步探究：若，只有当 时，有最小值 ； （2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证，并指出等号成立时的条件； （3）拓展延伸：如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过点P向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点P的坐标． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 5．（2025·浙江·模拟预测）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期末）“末位数字是0的正整数能被2整除”，这个命题的条件是 ，结论是 ，它是一个 命题．(选填“真”或“假”) 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是 .（写出一个即可） 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是 ．（填所有真命题的序号） 10．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是： ． 11．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．    13．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 14．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由；；；；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明：∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 定义与命题、证明（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是命题 典型例题二 判断命题真假 典型例题三 举例说明假（真）命题 典型例题四 写出命题的题设与结论 典型例题五 证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； C．逆命题为：如果，那么，是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果,那么，是假命题，不符合题意． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是负数是两个负数之和，错误，为假命题， 故答案为：假． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 知识点02 命题 1．命题的概念:在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题 2．命题定义中的两个要点:“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题. 3．分类 真命题:判断为真的语句 假命题:判断为假的语句 知识点诠释: 1．不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”,“2 不一定大于 3”. 2．只有能够判断真假的陈述句才是命题，祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如:“起立”、“"是有理数吗?”、“今天天气真好!”等. 3．语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键，一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可，命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性 命题的结构: (1)命题的一般形式为“若p，则g"其中p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式, 知识点诠释: 1．一般地，命题"若p则q"中的p为命题的条件q为命题的结论. 2．有些问题中需要明确指出条件p和g各是什么，因此需要将命题改写为“若p则g”的形式, 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）将命题“两直线相交，只有一个交点”改写成“如果……那么……”的形式是 ，它是 命题（填真或假）. 【答案】 如果两直线相交，那么它们只有一个交点； 真 【分析】本题考查了真假命题的判断，命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：“两直线相交，只有一个交点”改成：如果两直线相交，那么它们只有一个交点，该命题是真命题， 故答案为：如果两直线相交，那么它们只有一个交点；真 【典型例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列语句不是命题的是（    ）． A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点，使得 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键． 根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； B、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； C、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； D、在线段上取点，使得，为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列句子中是命题的有（    ） ①正数大于一切负数吗？②两点之间线段最短；③不是无理数；④作一条直线和已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 【详解】解：①正数大于一切负数吗？不是命题； ②两点之间线段最短，是命题； ③不是无理数，是命题； ④作一条直线和已知直线垂直，不是命题； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）有下列语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；⑤因为，所以．其中，是命题的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查命题的判断，根据命题的定义，对某一事件作出判断的语句叫做命题，逐一进行判断即可． 【详解】解：植物生长都需要水，是命题，故①符合题意； 负数大于正数，是命题，故②符合题意； 零既不是正数，也不是负数，是命题，故③符合题意； 画直角三角形，不是命题，故④不符合题意； 因为，所以，是命题，故⑤符合题意； 故答案为：①②③⑤． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ． 像这样判断一件事情的语句，叫作 ． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题． 【答案】 判断 命题 命题 不是 【解析】略 【例5】（24-25八年级上·浙江衢州·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边形——筝形． (1)请你给“筝形”下定义； (2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系； (3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了定义，根据题意对“筝形”下定义是解题的关键． （1）根据“筝形”的特征表述即可，答案不唯一； （2）画出符合题意的图形，根据图象用数学符号描述即可； （3）根据四边形、筝形、平行四边形、长方形的相同特征和不同特征解答即可． 【详解】（1）解：“筝形”定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （2）解：如图，；． （3）解：如图， 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列语句中，不是命题的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行 C．延长AB到C使BC=AB D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A. 相等的角是对顶角是命题； B. 两条直线不平行是命题； C. 延长AB到C使BC=AB不是命题；     D. 两点之间线段最短是命题； 故选C. 【点睛】本题考查的是命题的概念，一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据命题的定义分别对各语句进行判断． 【详解】解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）命题“两个锐角的和是直角”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【详解】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题. 4．（2025·浙江·模拟预测）下列命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形； ②点G是ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3； ③若直线经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0； ④定义新运算：a*b=，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9； ⑤抛物线的顶点坐标是(1，1)． 其中是真命题的有 （只填序号） 【答案】③④． 【详解】试题分析：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； ②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=4，错误； ③若直线经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，正确； ④定义新运算：a*b=，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9，正确； ⑤抛物线的顶点坐标是（1，5），错误； 故答案为③④． 考点：命题与定理． 5．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 【答案】（1）3个；（2）见解析 【分析】（1）直接利用命题的定义进而得出答案； （2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案． 【详解】（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②． （2）以上3个命题都是真命题． (i)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴m∥n； (ii)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠BAC=∠BDC； (iii)∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∴b∥c， ∴∠AFE=∠FED． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25八年级·浙江温州·模拟预测）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． （1）如图，EFCD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程． 小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°． 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整． 证明：∵EFCD（已知） ∴∠BEF＝　　（　　） ∵∠B+∠BDG＝180°（已知） ∴BC　　（　　） ∴∠CDG＝　　（　　） ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换） （2）拓展：如图，请你从三个选项①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． ①条件：　　，结论：　　（填序号）． ②证明：　　． 【答案】（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②证明见解析 【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答； （2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答． 【详解】（1）证明：∵EF∥CD（已知）， ∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B+∠BDG＝180°（已知）， ∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）； （2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD， 结论：DG平分∠ADC， ②证明：∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD， ∵∠B＝∠BCD， ∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC． 故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等； 【点睛】本题考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【典型例题二 判断命题真假】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列命题中，是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．任何数的平方都大于0 C．若，则 D．如果，那么 【答案】C 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A．如果，那么或，故原说法错误，是假命题； B．的平方等于，故原说法错误，是假命题； C．若，则，是真命题； D．如果，当时，那么，故原说法错误，是假命题； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）下列命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．互补的两个角必有一条公共边 D．一个角的补角大于这个角 【答案】B 【分析】本题考查的是真命题的定义，熟记一些常见的定理是解题的关键． 根据同旁内角的定义，平行线的判定方法，补角的定义依次判断即可． 【详解】解：A．两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题； B．同位角相等，两直线平行，是真命题； C．互补的两个角不一定有公共边，故原说法错误，是假命题； D．一个角的补角不一定大于这个角，故原说法错误，是假命题； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题主要考查命题，正确理解真假命题是解题的关键．根据真假命题的概念直接进行解答即可． 【详解】如果，那么，不成立，例如，但， 故命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：假． 【例4】（2025八年级上·浙江·专题练习）命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，平行线的性质．利用平行线的传递性进行判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”是真命题． 故答案为：真． 【例5】（24-25八年级上·浙江衢州·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 (5)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断； （2）根据有理数的乘法法则判断； （3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可； （4）根据对顶角的概念判断； （5）根据倒数的概念判断． 【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是； （2）若，则或，是真命题； （3）若，则则是假命题，例如：，而； （4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角； （5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真 【分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立． 观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可， 【详解】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和． 设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：． 展开左边并简化：左边： ； 右边： ， ∵左边右边， ∴该命题是真命题； 故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真． 4．（2025八年级上·浙江·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·单元测试）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若，则． 【答案】(1)假命题，如：两条直线平行，内错角相等 (2)假命题，如：和 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】（1）解：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等，是假命题， 如：两条直线平行，内错角相等． （2）解：若，则，是假命题， 如：和，，． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． （1）根据平行线的性质证明，，等量代换可证； （2）根据平行线的性质证明，等量代换可证，从而可证，然后根据平行线的性质可证所得的命题是真命题． 【详解】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 【典型例题三 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ） A． B． C． D．a ＝3 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、实数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：A、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意； B、当时，，则，能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，符合题意； C、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意； D、当时，，，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）能说明命题“互为补角的两个角不相等”为假命题的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理．例举出互为补角的两个角相等的情况即可． 【详解】解：A、，和互为补角，但，与假命题结论相反，可证明原命题为假命题，故A符合题意； B、，和不互为补角，不符合原命题的条件，故B不符合题意； C、，，和互为补角，但与假命题结论相同，故C不符合题意； D、，，和不互为补角，不符合原命题的条件，故D不符合题意． 故选：A． 【例3】（2025·浙江温州·模拟预测）为了说明命题“对于实数，若，则”是错误的，的值可以是 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是假命题的证明，根据乘方运算以及有理数的大小比较法则，进行解答即可． 【详解】解：依题意，当的值为1时，则，但， 故当的值为1时，能说明命题“对于实数，若，则”是错误的， 故答案为：1（答案不唯一） 【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）举一个反例就可以说明一个命题是假命题．要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： ． 【答案】当时，，积为有理数 【分析】本题考查举反例．根据题意，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，为有理数， ∴原命题为假命题． 故答案为：当时，，积为有理数 【例5】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）判断命题“对于所有的正整数n，代数式的值是质数”的真假，并证明． 【答案】假命题，证明见解析 【分析】本题考查的是举反例判断命题是假命题，求解代数式的值，计算当时，即可得到答案． 【详解】解：“对于所有的正整数n，代数式的值是质数”是假命题， 举反例如下：当时，， ∴此时代数式的值不是质数． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 3．（2025·浙江衢州·模拟预测）“锐角与钝角是互为补角”是 命题．（填写“真”或“假”） 【答案】假 【分析】利用互补的定义进行判断即可． 【详解】解：30°的锐角和100°的钝角的和为130°，不是互为补角， 所以“锐角与钝角是互为补角”是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够举出反例． 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 【答案】 ①② ③ 【详解】条件：①② 结论：③ 证明：平分， ． ， ，． ．（答案不唯一） 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）指出下命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例． （1）邻补角是互补的角； （2）同位角相等． 【答案】（1）见解析；（2）∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2． 【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论． 【详解】（1）邻补角是互补的角的题设是两个角是邻补角，结论是这两个角互补，是真命题； （2）同位角相等的题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，为假命题， 反例：如图，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2． ． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）阅读下列语句，完成后面的题目． ①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？ （1）其中属于命题的是________，不属于命题的是________（填序号）； （2）其中属于真命题的是________（填序号）； （3）对于每个假命题，你是怎样判断的？ 【答案】（1）①②④⑤　③⑥；（2）④；（3）见解析． 【分析】根据命题与定理解题；一般在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；其中判断为真的叫做真命题；判断为假的叫做假命题． 【详解】（1）①②④⑤是能进行判断真假的陈述句；故是命题；③⑥不是能进行判断真假的陈述句； 故答案为：①②④⑤；③⑥； （2）①同类项的数字系数不一定相同，原命题错误，是假命题； ②若|a|＝|b|，则不一定a＝b，原命题错误，是假命题；； ④两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题； ⑤两点之间的线段的距离是这两点之间的距离，原命题错误，是假命题； 故答案为：④； （3）为说明命题是假命题，可采用举反例（举一个即可）的方法，如：①中a和－a是同类项，但它们的系数不同；②中|7|＝|－7|，但7≠－7；⑤中两点之间的距离是指两点之间的线段的长度． 【点睛】本题考查了命题的定义及真命题、假命题；一般在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；命题分为真命题和假命题． 【典型例题四 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）根据下面的条件，写出一个结论，使之成为一个真命题． （1）内错角相等， ． （2）如果，那么 ． 【答案】 两直线平行 【分析】本题考查了真命题，按照条件补充完整结论即可，熟知正确的命题是真命题是解题的关键． 【详解】解：（1）内错角相等，两直线平行，是真命题 ； （2）如果，那么，是真命题， 故答案为：两直线平行；． 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）写出下列命题的条件： （1）两条直线相交有2对对顶角： ； （2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直： ； （3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行： ； （4）互补的两个角一定是邻补角： ． 【答案】 两条直线相交 两个角互为邻补角 同一平面内，两条直线垂直于同一条直线 两个角互为补角 【分析】本题考查命题的组成，根据命题由条件与结论两部分组成，如果后面是条件，那么后面是结论，进行作答即可． 【详解】解：（1）命题可以改写为：如果两条直线相交，那么有2对对顶角；故条件为：两条直线相交； 故答案为：两条直线相交； （2）命题可以改写为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直；故条件为：两个角互为邻补角； 故答案为：两个角互为邻补角； （3）命题可以改写为：同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；故条件为：同一平面内，两条直线垂直于同一条直线； 故答案为：同一平面内，两条直线垂直于同一条直线； （4）命题可以改写为：如果两个角互为补角，那么这两个角一定是邻补角；故条件为：两个角互为补角； 故答案为：两个角互为补角． 【例5】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【分析】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【详解】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【详解】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，利用反证法证明该命题时，我们要假设和至少有一个等于， 故答案为：，与都不为零，和至少有一个等于． 5．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【答案】已知：中，，是边上的中线．求证：平分 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键． 结合几何图形写出已知条件和结论即可． 【详解】解：由题意知，已知：中，，是边上的中线． 求证：平分． 6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【典型例题五 证明】 【例1】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，举出一个符合命题条件，但是结论相反的例子即为反例． 当a为负数，b为正数或0时，命题不成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 当时，，，“若，则”是真命题； B. 当时，，，“若，则”是真命题； C. 当时    ，，，“若，则”是假命题； D. 当时，，，条件不符合 故选：C． 【例2】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【答案】C 【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可． 【详解】解：A、∵不能同时点M和N， ∴选项A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴选项B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴选项C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． ∴选项D不符合点菜规则； 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可 【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【例4】（2025·浙江衢州·模拟预测）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 【答案】 【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时）， 故答案为：． 【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序． 【例5】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）与同伴玩扑克牌游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大、小王和J，Q，K）中选择4张黑色牌和4张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得8张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜． （1）作为游戏玩家，你希望抽到_______色牌，希望______色牌被同伴抽走． （2）游戏结束后，你手中牌的总分a与同伴手中牌的总分b的关系是_________． （3）你可能得到的最高分是多少？请写出你的计算过程． 【答案】（1）黑  红；（2）；（3）我可能得到的最高分是68分，计算过程见解析． 【分析】（1）根据黑色牌代表正分，红色牌代表负分解答； （2）利用每人抽到的8张牌的总分为0，得到手中牌的总分与同伴手中的总分关系； （3）根据题意，要得到最高分，既要黑色牌又要分数大的牌，据此解题． 【详解】（1）由题意知，黑色代表正分，黑色牌越多，分数越高，故作为玩家，我希望抽到黑色牌，同时希望红色牌被同伴抽走，因为红色牌越多，分数越低， 故答案为：黑色，红色； （2）因为8张牌的总分为0，所以游戏结束后， 故答案为：； （3）要分数最高，既要黑色牌又要分数大的牌：（分） 所以我可能得到的最高分是68分． 【点睛】本题考查推理与论证，涉及有理数的加法等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，下列推理不正确的是(      )    A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD 【答案】C 【分析】本题主要利用平行线的性质以及平行线的判定，采用逐一检验法进行做题． 【详解】解：A、∵AB∥CD∴∠ABC+∠C=180°，正确，两直线平行，同旁内角互补； B、∵∠1=∠2∴AD∥BC，正确，内错角相等，两直线平行； C、∵AD∥BC，∴∠1=∠2，错误； D、∵∠A+∠ADC=180°∴AB∥CD，正确，同旁内角互补，两直线平行； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）某班选举班干部，全班有40名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，40．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令 其中i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，40．则a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是（　　） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【答案】B 【分析】先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】第1，2，3，……，40名同学是否同意第1号同学当选依次由a1，1，a2，1，a3，1，…，a40，1来确定， 是否同意第2号同学当选依次由a1，2，a2，2，a3，2，…，a40，2来确定， ∴a1，1a1，2+a2，1a2，2+a3，1a3，2+…+a40，1a40，2表示的实际意义是同时同意第1号和第2号同学当选的人数， 故选B． 【点睛】本题考查了推理应用题，题目比较新颖，是基础题． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次． 【答案】2 【分析】本题考查了逻辑推理能力，根据握手次数进行推导是解题的关键．共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定． 【详解】解：共有5个人，A同学握手4次， A与B、 C、 D、 E每人握手一次， D同学握手1次， B、C握手一定不是与D握手， B握手3次，D握手1次， B握手3次一定是与A、 C、 E的握手， C握手2次， C是与A和B握手， E一共握手2次，是与A和B握手． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【详解】解：假设所求证的结论不成立， 即． 过点A作直线，使与所成的与相等，则， 所以直线与直线不重合． 但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立． 所求证的结论成立， 故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是记住反证法的步骤：否定结论，得出矛盾，肯定结论． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）阅读下列材料∶ 的解是的解是 的解是的解是 （1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程的解分别为：___ ，___ ． （2）利用这个结论可得关于的方程；的解为：___ ，___ ． （3）利用这个结论求解关于的方程： 【答案】（1） ，；（2），；（3） 【分析】（1）根据可以猜想得到方程的解； （2）把变为，即可利用阅读材料中提供的方法得到解答； （3）把题中方程变形为，再由（1）的结论可以得到问题解答． 【详解】（1）∵x=c时，方程左边==方程右边； x=时，方程左边= 方程右边， 所以方程的解为：； （2）由阅读材料类推可以得到： 的解是 ，且 ， ∴c=5，∴所求方程的解为：； ，∴在 中，c=5，m=3， ∴由（1）的结论可得：． 【点睛】本题考查观察、类比、猜想与证明在分式方程求解中的应用，通过阅读材料归纳出如题所示的特殊分式方程的解法并加以应用是解题关键． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意正实数，， ，， ，只有时，等号成立．结论：在 (，均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题： （1）初步探究：若，只有当 时，有最小值 ； （2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为，，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证，并指出等号成立时的条件； （3）拓展延伸：如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过点P向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于，两点，矩形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点P的坐标． 【答案】（1）1，2；（2）见解析；（3）四边形面积的最小值为96，点坐标为（6,8）． 【分析】（1）根据，，求得n值，代入计算得最值； （2）根据大正方形的面积=4矩形的面积+小正方形的面积，代数式表示后，使用给出的阅读知识解答； （3）设，，用含有x，y的代数式表示四边形的面积，后使用证明的不等式性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 当时，取得最小值， ∴， 解得n=1或n= -1（不符合题意，舍去） ∴当n=1时，的最小值为2， 故答案为：1；2； （2）根据题意，得  ，， ∴-4ab=， ∵≥0， ∴-4ab≥0， ∴， ∴成立． 等号当且仅当小正方形面积为0，此时，即时成立． 设，， ，，， ， 四边形面积的最小值为96， 此时， 解得或 ，， 舍去， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了阅读学习能力，准确理解新知识的意义，学会图形面积法验证，并灵活运用是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）列语句中，是命题的是（    ） A．连接A、B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题的判断．对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、连接A、B两点，不是命题，故A不符合题意； B、画一条线段等于已知线段，不是命题，故B不符合题意； C、过点M作直线的垂线，不是命题，故C不符合题意； D、同旁内角不互补，两直线不平行，是命题，故D符合题意； 故选：D. 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查的是真假命题的判定，平面内直线的位置关系，根据平面内直线的位置关系结合举反例逐一分析判断即可． 【详解】解：如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交，故①是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；故②是真命题； 如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c平行；故③是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交；④是真命题； ∴真命题有②④； 故选：C 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． 5．（2025·浙江·模拟预测）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D． 【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意； D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意． 故选择： 【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期末）“末位数字是0的正整数能被2整除”，这个命题的条件是 ，结论是 ，它是一个 命题．(选填“真”或“假”) 【答案】 一个正整数，它的末位数字是0 这个正整数能被2整除 真 【分析】先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，则如果后面的为题设，那么后面的为结论；根据题设成立，结论一定成立的命题为真命题即可得出答案． 【详解】解：将“末位数字是0的正整数能被2整除”改成“如果……，那么……”的形式：如果一个正整数，它的末位数字是0，那么这个正整数能被2整除．所以这个命题的题设是一个正整数，它的末位数字是0，结论是这个正整数能被2整除．它是一个真命题． 故答案为一个正整数，它的末位数字是0；这个正整数能被2整除；真． 【点睛】本题主要考查的是命题的组成及真假命题的概念，将原命题改写成“如果……，那么……”的形式是解决此题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）用一个整数的值说明命题“代数式的值一定大于代数式的值.”是错误的，这个整数的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据题意找到一个使得命题不成立的m的值即可． 【详解】解：当m=0时，2m2-5=-5，m2-1=-1， 此时2m2-5＜m2-1， 故答案为m=0（答案不唯一） 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够根据题意举出反例，难度不大． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°．其中，真命题的是 ．（填所有真命题的序号） 【答案】②③④ 【分析】根据不等式的性质、三角形内角和定理、完全平方公式、以及平角的定义解答即可． 【详解】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题； ②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题； ③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题； ④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°， 则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾， ∴至少有一个角小于61°； 当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾， ∴至少有一个角小于61°； 综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了命题与定理知识点，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 10．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子，现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是： ． 【答案】①②③． 【分析】根据规律将问题分三类分别分析，先剩下1颗丙，其它产生乙种粒子与原来4颗乙粒子共有9颗中8颗乙粒子两两碰撞最后剩一颗乙与丙碰撞产生丙即可解决． 【详解】解：∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，甲粒子与乙粒子碰撞产生丙粒子，甲粒子与丙粒子碰撞产生乙粒子，乙粒子与丙粒子碰撞产生甲粒子， 6颗甲粒子两两碰撞产生3颗乙粒子， 5颗丙粒子中4颗丙粒子两两碰撞产生2颗乙粒子， 一共有9颗乙粒子，8个两两碰撞产生4个乙粒子加剩下一个共5个乙粒子，5个乙粒子中4个再两两碰撞产生2个，与剩下1个一共有3个乙粒子，其中两个相碰撞产生1个乙粒子与剩下的一个共有2个乙粒子，其中分两种情况， 当剩下两个乙粒子碰撞中一个与丙相碰撞产生一个甲，与乙先碰撞，最后产生丙粒子， 当剩下两颗乙粒子相碰撞产生一颗乙粒子与丙粒子相碰撞最后产生甲粒子， ①最后一颗粒子可能是甲粒子正确； ②最后一颗粒子一定不是乙粒子正确； ③最后一颗粒子可能是丙粒子正确． 正确的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，读懂题意是解题的关键． 11．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．    【答案】（1）①假命题，见解析；②真命题；（2）见解析 【分析】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具画已知直线的垂线是解本题的关键． （1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据0的特点可判断； （2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可． 【详解】解：（1）①假命题， 反例：，但，是钝角， ②真命题． （2）如图，，即为所求． ． 13．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． (1)根据甲同学的作图及题设，求证：； (2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不是真命题，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题， 如图②，， ，． ， ． 即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题． 14．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)从（1）中选择一个真命题，并证明． 【答案】(1)可以组成三个命题，①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么． (2)见解析 【分析】（1）依据题意，一共能组成3个命题； （2）选择命题①如果，，那么；可根据“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”来写出证明过程即可． 【详解】（1）解：可以组成三个命题， ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； （2）选择命题①如果，，那么； 证明如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 15．（2025·浙江绍兴·模拟预测）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由；；；；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明：∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为 【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可； 变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可． 【详解】猜想运用： ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 此时， 只取， 即时，函数的最小值为2． 变式探究： ∵， ∴，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴，（舍去）， 即时，函数的最小值为5. 拓展应用： 设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得： ， 即， ∵，， ∴， 即， 整理得：， 即， ∴当时， 此时，， 即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题． 学科网（北京）股份有限公司 $$