第01讲 认识三角形（7大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版）

第01讲 认识三角形（7大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形的识别与有关概念 典型例题二 三角形的分类 典型例题三 构成三角形的条件 典型例题四 确定第三边的取值范围 典型例题五 三角形三边关系的应用 典型例题六 三角形折叠中的角度问题 典型例题七 三角形的高有关的计算问题 典型例题八 三角形高、角平分线做图问题 典型例题九 三角形的外角的定义及性质 典型例题十 三角形内角和定理的问题 典型例题十一 利用网格求三角形面积 典型例题十二 根据三角形中线求长度、面积 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接找两个三角形的公共边即可． 【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边． ，两个三角形没有公共边； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为． 故选． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，丽丽用边长为的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．    【答案】2 【分析】根据七巧板的特征，可知点F是CD的中点，点E是BC的中点，，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：点F是CD的中点，即：DF=CF=DC=×4=2， 同理：CE=BE=BC=2， ∴这个“人”的两只脚所占的面积=． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，掌握七巧板的几何特征，是解题的关键． 知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 知识点03 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、梯形、等腰三角形、锐角三角形的特点，结合所给图形逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，角和角所对的边明显不平行，因此一定不是平行四边形，故A选项错误； 当这个图形为四边形且上下对边平行时，这个图形是梯形，故B选项错误； 当这个图形为三角形时，被遮住的角的度数为：，可知这个三角形不是等腰三角形，是一般的锐角三角形，故C选项错误，D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查平面图形形状的识别，解题的关键是掌握常见平面几何图形的特点． 【即时训练】 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，延长交于点，交于点，则，由可得，又，根据三角形内角和定理得，从而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 延长交于点，交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∵，, 又， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点04 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】由△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，可求∠A＝30°，由CD∥AB，可得∠1＝∠A即可． 【详解】解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝30°， 故选择：A． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行线性质，掌握直角三角形的性质，平行线性质是解题关键． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么 ． 【答案】60°． 【分析】根据直角三角尺的特点，可以得到∠B的度数，再根据∠FDB=90°，从而可以得到∠α的度数． 【详解】由图可知， ∠B=30°，∠FDB=90°， 故∠α=90°-∠B=90°-30°=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 知识点05 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（2025·浙江温州·模拟预测）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的相关知识，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键.先求出∠O的度数，再根据垂直的定义即可得到旋转的度数. 【详解】解：根据三角形外角的性质可得， 已知将直线绕点按照逆时针方向旋转 ()后，， 故. 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 知识点06 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 知识点07 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质．先求得，得到，利用三角形中线的性质求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵是的两条中线， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的中线，点E是的中点，连接，．记的面积为，阴影部分的面积为，则和满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：是的中线，的面积为， ， 点E是的中点， ，， 阴影部分的面积，即， 故选：A． 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】根据有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，首先确定三角形的边，然后确定三角形即可． 【详解】解：以AB为公共边的三角形有：△ABD和△ABC； 以AC为公共边的三角形有：△ACE和△ACB； 以AD为公共边的三角形有：△ADE和△ABD； 以AE为公共边的三角形有：△AED和△AEC； 以BC为公共边的三角形有：△BCO和△BCA和△BCD和△BCE，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以BD为公共边的三角形有：△BDC，△BDE，BDA任何两个都是3对共边三角形； 以BE为公共边的三角形有：△BEO，△BED，△BEC任何两个都是3对共边三角形． 以OB为公共边的三角形有：△OBE和△OBC； 以CD为公共边的三角形有：△CDO和△CDB和△CDE任何两个都是3对共边三角形． 以CE为公共边的三角形有：△CED，△CEA，△CEB任何两个都是3对共边三角形； 以CO为公共边的三角形有：△COD和△COB； 以DE为公共边的三角形有：△AED和△OED和△BED和三角CED，4个三角形中任何两个都是共边三角形，有6对； 以OD为公共边的三角形有：△ODC和△ODE； 以OE为公共边的三角形有：△OBE和△ODE． 共32对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义，正确理解定义是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵的三个内角度数比为， ∴三个内角分别为：， ， ， ∵三个内角均小于， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 【答案】（1）图中有：，，，，，共5个； （2）的边：，，，角：，，； （3）是，，的边；是，，的角． 【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可； （2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出； （3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可 【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC， 以AD为边的三角形有△ADE，△ADC， 再以DE为边三角形有△DEC， 一共有5个三角形分别为，，，，； （2）的边：，，， 角：，，； （3）是，，的边； 是，，的角． 【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，D、E分别在△ABC的边AC，AB上，BD与CE相交于F，若，，△ABC的面积S△ABC＝21，那么四边形AEFD的面积等于 ． 【答案】6 【分析】连接AF，设S△AEF＝x，S△ADF＝y，根据和，确定三角形面积之间的比例关系，求出x和y之间的关系式，然后根据△ABC的面积解得x，最后求出四边形AEFD的面积． 【详解】解：如图所示，连接AF， 设S△AEF＝x，S△ADF＝y， ∵， ∴， ∴S△BEF＝x， ∵， ∴， ∴S△DFC＝2y， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即y＝2x， ∵△ABC的面积S△ABC＝， ∴， 解得x＝2， 故四边形AEFD的面积＝S△AEF+S△ADF=x+y＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查三角形的面积问题，熟练掌握同高的三角形面积比等于底边之比是解决本题的关键. 3．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图所示，是某楼房的高度，小明站在距楼房底部点30米的点处，测得．用1厘米代表10米，画出这个三角形，量出的高度，并换算出的实际高度．（结果为整数）    【答案】详见解析，的图上距离为5.2厘米，实际高度为52米． 【分析】先画出图形，再进行测量，最后进行转换即可． 【详解】解：如图，    经测量，的图上距离为5.2厘米， 因为1厘米代表10米， 所以，实际高度为5.2×10=52米． 【点睛】此题考查了学生动手操作能力，要求学生能熟练进行单位换算． 【典型例题二 三角形的分类】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知点 P 是射线上一动点 (不与点 O 重合)，， 若是钝角三角形， 则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为和钝角三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：当为锐角时，则为钝角， ∴，， ∵， ∴此时； 当为钝角时，则； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是 ，钝角三角形有 个． 【答案】 △ACE； 4. 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可． 【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，； △CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个. 故答案为△ACE，4． 【点睛】本题是考查三角形的分类． 3．（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】（1） （2）； （3）①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． （2）先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． （3）①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． ②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：（1），， ， ， （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ 即 （3）如图，    ① ， ②当时， ∵， ∴， ∴为钝角三角形； 当时，， ∴为直角三角形； 当时， ∵， ∴， ∴为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 【典型例题三 构成三角形的条件】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）小昆有四根木棒，长度分别为2，3，5，7（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列能围成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，5，7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形一一判断即可． 【详解】解：．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ．，不能围成三角形，故该选项不符合题意； ． ，能围成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）如图，在中，有 （填“”“”或“”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的． 【答案】 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间线段最短 【分析】本题考查了三角形三边关系及两点之间线段最短，是基础题型，比较简单．根据三角形的三边关系及两点之间，线段最短作答． 【详解】解：如图，在中，有（填“>”“<”或“=”），理由是三角形的任意两边之和大于第三边，这个结论是由基本事实两点之间线段最短得到的．． 故答案为：；三角形的任意两边之和大于第三边；两点之间线段最短． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系： （1）可以构成三角形； （2）不能构成三角形； （3），可以构成三角形； （4），可以构成三角形； 故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下列三角形一定为直角三角形的是（　　） ①三角形的三边之比为；②的三个内角的关系为；③三角形的三个内角之比为；④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形三边关系，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识． ①根据三角形三边关系即可判断三条长度之比为的线段不能组成三角形；②由，结合三角形内角和定理，可求出，进而可判断是直角三角形；③根据三个内角度数之比，结合三角形内角和定理，可求出最大的内角为，从而得出该三角形是直角三角形；④利用外角的性质求出外角的度数，结合邻角互补，求出与该外角相邻的内角的度数为，从而得出该三角形是直角三角形． 【详解】解：①，3＝3， 三条长度之比为的线段不能组成三角形，①不符合题意； ②， ，， 又， ， 该三角形是直角三角形，②符合题意； ③三角形的三个内角之比为， 最大内角的度数为， 该三角形是直角三角形，③符合题意； ④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为， 该外角的度数为， 与该外角相邻的内角的度数为， 该三角形是直角三角形，④符合题意． 符合题意的有②③④． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两个螺丝间的距离的最大值为 ． 【答案】7 【详解】试题分析：若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 已知4条木棍的四边长为2、3、4、6； 选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；6-5＜4＜6+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6； 选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7； 选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7． 考点：三角形的三边关系 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 【答案】不能 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 设，得到，由的长度之和为，得到，分别解出的长度后判断即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∵的长度之和为， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴这三条线段不能围成一个三角形． 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【答案】(1)不能； (2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 【分析】本题主要考查三角形的三边关系． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形． （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形． 【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2； 12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 示意图如下： 【典型例题四 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答． 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 【例3】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知实数，满足，则以，，为边长的三角形中c的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，三角形三边数量关系，根据题意可得，求出的值，再根据三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：已知实数，满足， ∵， ∴， 解得，， ∵，，是三角形的边长， ∴，即， 故答案为： ． 【例4（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握三边关系，绝对值的非负性； （1）根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可； （2）根据绝对值的非负性可得，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：， ， ， ． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．折叠后形成的三角形三边分别为，利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：由题意得：折叠后形成的三角形三边分别为， 则， 解得， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 【答案】 不符合 符合 不符合 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据三角形的三边关系即可求解； 本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：（）当时，不符合三角形的三边关系；当时，符合三角形的三边关系；当时，不符合三角形的三边关系， 故答案为：不符合；符合；不符合； （）由三角形的三边关系得，， 即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知 、 是正整数，满足 ，且 、 、7是一个三角形的三边长，若 ， 也是一个三角形的三边长，求满足条件的 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，考察推理能力与计算能力，属于中档题． 根据三角形三边关系可得 ， ， ， ，即可求出的值． 【详解】解： 、 、7是一个三角形的三边长，， 也是一个三角形的三边长， ， ， ， ， a、b是正整数且，从开始分析． 当时，，即，同时， 所以，a可能取值9、10、11、12、13、14． 对于、、是三角形三边，需满足． 当，时， ，，． ，； ，，满足三边关系． 当，时， ，，． ，，不满足三边关系． 随着a增大，会更大，更不满足． 是正整数， ． 4．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如下图，在中，． (1)若的长是偶数，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的长为4或6 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）平行，得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可． 【详解】（1）在中，， 所以，即：． 因为的长是偶数， 所以的长为4或6． （2）因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 【典型例题五 三角形三边关系的应用】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的较短两边之和大于第三边是解题的关键．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意； D、由，此选项符合题意； 故选：D． 【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【答案】D 【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长； 根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长； 综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q； 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，为估计湖岸、两点之间的距离，小洛在湖的一侧选取一点，测得米，米，则、间的距离可能是 米．（请填写一个可能数值）． 【答案】200（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和，可得到的范围，据此得到合理的答案即可，注意答案不唯一． 【详解】解：根据题意，， 即， ， 即、间的距离范围为． 故答案为：200（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【答案】不合理，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，根据三角形三边关系定理得，，即，而，从而判断即可． 【详解】解：不合理，理由：由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，设所画的圆的一条半径为，根据三角形三边关系定理得，即，，，即圆规先生不能画出半径为的圆． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是掌握三角形三边关系． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，能组成三角形，故C选项符合题意； D、，不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：， ， ， 折叠凳的宽可能是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【答案】(1)4 (2)108元 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得到答案； （2）做成的三角形支架的周长为4的倍数，根据（1）中可选的结果，即可求解． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，解得， ∵是整数， ∴或5或6或7，共4种， ∴有4种规格木棒可供选择． （2）解：设第三根木棒的长度为， ∴这个三角形支架的周长为， ∵做成的三角形支架的周长为4的倍数， ∴是4的倍数， ∴由（1）所求可知，， ∴买木棒一共花了元． 【典型例题六 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故选 ：．    【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则 °． 【答案】94 【分析】先根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此根据平角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由外角的性质得到，作差即可得到答案； （2）由图形折叠的性质可知，两式相加变形后即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，    ∵，， ∴； （2）解：由图形折叠的性质可知，    两式相加得，， 即， ∴， 即：． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点求得是解题的关键．延长，交于点，连接，利用三角形外角的定义可知，，从而得到，再根据三角形内角和求得，即可求得答案． 【详解】解：延长，交于点，连接，如图， 则， ，， ， 中，，， ， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【典型例题七 三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4.8 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算. （1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解题关键． 根据等高的三角形推出，，推出，可得，依此类推可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ，， ，， ， ， 同理可得：， ， 同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，长方形中，，，E为的中点．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当 时，的面积等于． 【答案】3或5.5 【分析】本题考查了三角形的面积计算，一元一次方程的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴． 分三种情况讨论： ①当P在上时， ∵， ∴， 解得：； ②当P在上时． ， ∴，， ∵的面积等于， ∴， ∴， 解得：； ③当P在上时， 则， ∴， ， ∵ ∴， 解得：． ∵当时，点P在上， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当或时，的面积等于． 故答案为：3或． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为钝角，以为边作长方形． (1)猜想：（    ） A．    B．    C．    D． (2)用两种方法证明你的猜想． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查三角形的面积，利用割补法表示三角形的面积是解题的关键． （1）根据（2）中证明得到结论即可； （2）方法一：过点作交延长线于点，延长、交于点，得到和四边形为长方形，然后得到 ，计算即可解题；方法二：过点作交于点，得到，然后计算解题即可． 【详解】（1）根据（2）中证明得到， 故选：C； （2）方法一：将三角形面积进行表示计算 过点作交延长线于点，延长、交于点， ∵四边形为长方形， ， ∴四边形和四边形为长方形， ， ∵ ， ； 方法二：利用图形的拼接与转化 如图，过点作交于点， ∵四边形是长方形， ， ， ∴ ， ． 【典型例题八 三角形高、角平分线做图问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意； ②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意； ③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意； ④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意； 说法正确的有③④，共2个， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，平分，是边上的高． (1)在图中将图形补充完整； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键． （1）根据高的定义补充图形； （2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵在中，，平分， ． 是边上的高， ， ， ． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤． 【详解】∵∠1=∠2， ∴线段AG是△ABE的角平分线， 故①正确； ∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直， ∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高， 故②错误； ∵G点为AD的中点， ∴BG是△ABD的中线， 故③正确； ∵BG是△ABD的中线， ∴△ABG与△DBG的面积相等， 故④正确； ∵CF丄AD于H， ∴∠AHC=90º， ∴∠2+∠ACF=90º． ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACF=90º， 故⑤正确． 因此正确的有①③④⑤． 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，是的角平分线．    (1)画边上的高； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点E，可得是边上的高； （2）根据三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，由三角形外角的性质得出，从而可得结论． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∵是的外角， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，高线的性质及三角形的内角和定理．由题意得到角间关系是解决本题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)①的三条高所在直线交于点A；②见解析 (2)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点， 则为的第三条高； （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②；理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【典型例题九 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，，． ∴． 故选：D． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等；由平行线的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵椅面与地面平行， ， ， ， ， ； 即椅子靠背与椅面夹角的度数为． 故选：B． 【例3】（2025·浙江衢州·模拟预测）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 先求出，再根据三角形的外角性质求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，，，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时， 度．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，分两种情况，即点在上方和点在下方两种，熟练掌握以上内容并进行推理是解题关键． 【详解】解：当点在上方时，设交于点， ，，平分， ，． ， ． ， ， ， ， ． 当点在下方时，如图所示， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若比大25°，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得； （2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ； （2）设，则， 由三角形的外角性质得：，即， 解得， 即， 由（1）已证：， ． 4．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 【典型例题十 三角形内角和定理的问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，结合，即可求出的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， ∵为边上的高， ， ， ， 故选：C． 【例3】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠可知：， 当时，则 ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为180度结合已知条件求出的度数，再结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理计算解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．连接，并延长至点，由内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图①，在凹四边形中，请直接写出与，，之间的数量关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数． （3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示． 【答案】（1）；（2）；（3）＝ 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1） 延长交于点D，利用外角的性质可得，，从而得到； （2）连接，利用（1）中得出的结论可知：，，两式相加即可得解； （3）利用角平分线得到，再根据，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点D，如图①：    ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 即与之间的关系为； （2）连接，如图②：    根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知： ， ， ∴， 即； （3）在中，， ∵和的平分线、交于点O， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即用含的代数式表示的度数为． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，．    【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2，点是延长线上一点，连接． ①若，请判断与是否互相垂直，并说明理由； ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质求出，，，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （2）①根据三角形的内角和定理求出，即可得出结论； ②设，则，根据三角形内角和定理构建关于x的方程求解看． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （2）① 理由：由（1）知， ∵， ∴， ∴； ②设，则， 根据题意，得， ∴， 即． 【典型例题十一 利用网格求三角形面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（   ） A．5 B．6 C． D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了割补法求三角形面积，求一个数的算术平方根，利用割补法求出阴影部分面积为17，再根据正方形面积等于其边长的平方即可得到答案． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为， ∵阴影部分是正方形， ∴它的边长是， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的面积，根据网格的特点，结合三角形面积计算公式找到底为1，高为2或底为2，高为1的即可得到答案． 【详解】解：C点所有的情况如图所示， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是__________平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解． 【详解】解：如图所示， 阴影部分面积为： 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图是一个的方格纸，完成下列任务： (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)连接和，若图中每个小正方形的边长为，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合平行线的判定与性质画图即可； （2）结合垂线的定义画图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：的面积是． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）过点画的垂线段即可，的高如图所示． （2）取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分． （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：的高如图所示． （2）解：如图线段将分成面积相等的两部分． （3）解：． 故答案为10． 【典型例题十二 根据三角形中线求长度、面积】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的中线，连接，的面积是10，则的面积是（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据是边上的中线，得到，根据是边上的中线，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据是边上的中线，的面积等于10，得到， 根据是边上的中线，． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）分别表示出与的周长，再相减即可． 【详解】（1），， ， 解得， 高的长为4． （2）的中线是， ， 与的周长之差为： ． 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，根据三角形的中线平分面积，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵中，为中线， ∴， ∵于于， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式可得，从而可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为14，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为． ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即 ∴ ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒减成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意． 综上所述，剪开的小棒是乙． 故选：B． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键． 先根据已知条件和互为余角的定义求出，再根据对顶角的性质求出，最后根据外角的性质即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相同的两部分成为解题的关键． 根据是的中线得，同理可得，然后根据，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是上的一点， ∴， ∴． 故选C． 5．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到，再由平角的定义即可求出．掌握平角的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．连接并延长至点，利用，，得，即，代入，，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 9．（24-25八年级上·浙江·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形的高、底边与面积的关系．大三角形面积减去3个小三角形面积等于阴影面积，再求解即可． 【详解】解：，， 面积：面积， 设的面积为， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 同理，面积：面积， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 阴影面积， 阴影部分面积是三角形面积的． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第 2024个的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的中线平分三角形的面积得：的面积，同理中线得：的面积，重复这样的过程，可得结论． 【详解】解：∵的面积为，边中线， 的面积， 取的中点， 的面积， 同理得的面积， 则个三角形的面积为； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 【答案】(1)的最大值是25，最小值是5 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系及不等式的应用，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． (1)最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； (2)当x大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据(1)中的最大值和最小值即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为A、、、． ， 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线； 将绕点逆时针方向旋转，使其与共线， 即四点从左到右依次为、A、、． ． 综上，的最大值是25，最小值是5． （2）解：由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为． 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知中，，．    (1)画边上的中线，并求长； (2)画边上的高，若，求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键 （1）把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出； （2）是边的高，根据三角形面积=底高即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示， 是边上的中线，， 点D是线段的中点， ； （2）边上的高如图所示： 是边的高， ， ． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是 ； 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由； 若不成立，直接写出他们的关系． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想、和的数量关系是 ． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等． （1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； 故答案为：． （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 认识三角形（7大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 三角形的识别与有关概念 典型例题二 三角形的分类 典型例题三 构成三角形的条件 典型例题四 确定第三边的取值范围 典型例题五 三角形三边关系的应用 典型例题六 三角形折叠中的角度问题 典型例题七 三角形的高有关的计算问题 典型例题八 三角形高、角平分线做图问题 典型例题九 三角形的外角的定义及性质 典型例题十 三角形内角和定理的问题 典型例题十一 利用网格求三角形面积 典型例题十二 根据三角形中线求长度、面积 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，丽丽用边长为的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．    知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 知识点03 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 【即时训练】 2．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则 °． 知识点04 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么 ． 知识点05 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（2025·浙江温州·模拟预测）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，，，，则 ． 知识点06 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 知识点07 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，若，，是的两条中线，则的周长是（　　） A．22 B．26 C．35 D．45 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的中线，点E是的中点，连接，．记的面积为，阴影部分的面积为，则和满足（    ） A． B． C． D． 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，D、E分别在△ABC的边AC，AB上，BD与CE相交于F，若，，△ABC的面积S△ABC＝21，那么四边形AEFD的面积等于 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·模拟预测）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图所示，是某楼房的高度，小明站在距楼房底部点30米的点处，测得．用1厘米代表10米，画出这个三角形，量出的高度，并换算出的实际高度．（结果为整数）    【典型例题二 三角形的分类】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，已知点 P 是射线上一动点 (不与点 O 重合)，， 若是钝角三角形， 则的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是 ，钝角三角形有 个． 3．（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【典型例题三 构成三角形的条件】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）小昆有四根木棒，长度分别为2，3，5，7（单位：cm），从中任意选取三根首尾顺次连接围成不同的三角形，下列能围成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，5，7 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）如图，在中，有 （填“”“”或“”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？ （1），，； （2），，； （3）三条线段的长度之比为； （4），，． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下列三角形一定为直角三角形的是（　　） ①三角形的三边之比为；②的三个内角的关系为；③三角形的三个内角之比为；④三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两个螺丝间的距离的最大值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如果的长度之和为，且，那么这三条线段能围成一个三角形吗？ 4．（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【典型例题四 确定第三边的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【例3】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）已知实数，满足，则以，，为边长的三角形中c的取值范围是 ． 【例4（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·浙江温州·随堂练习）已知一个三角形的三条边长分别为． （）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”） （）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知 、 是正整数，满足 ，且 、 、7是一个三角形的三边长，若 ， 也是一个三角形的三边长，求满足条件的 ． 4．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如下图，在中，． (1)若的长是偶数，求的长； (2)若，求的度数． 【典型例题五 三角形三边关系的应用】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江湖州·模拟预测）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，为估计湖岸、两点之间的距离，小洛在湖的一侧选取一点，测得米，米，则、间的距离可能是 米．（请填写一个可能数值）． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【典型例题六 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，把沿线段折叠，使点A落在点F处，，若，则 °． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：．请你继续探索：    (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由． (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，将纸片的角折叠，使点落在内，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 4．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【典型例题七 三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，，于，平分 (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，长方形中，，，E为的中点．动点P从A点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当 时，的面积等于． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为钝角，以为边作长方形． (1)猜想：（    ） A．    B．    C．    D． (2)用两种方法证明你的猜想． 【典型例题八 三角形高、角平分线做图问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上的一点，于H，下面判断正确的有（　　） ①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的角平分线和高． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，平分，是边上的高． (1)在图中将图形补充完整； (2)当，时，求的度数． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有 （填序号）． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在中，是的角平分线．    (1)画边上的高； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【典型例题九 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江衢州·模拟预测）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 1．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，平分，是射线上一定点，是射线上的动点，交于点．，．在点的运动过程中，当时， 度．（用含的代数式表示） 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若比大25°，求的度数． 4．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【典型例题十 三角形内角和定理的问题】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，，， ．求证：． 1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图①，在凹四边形中，请直接写出与，，之间的数量关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数． （3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，．    【问题提出】 （1）如图1，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2，点是延长线上一点，连接． ①若，请判断与是否互相垂直，并说明理由； ②若，求的度数． 【典型例题十一 利用网格求三角形面积】 【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（   ） A．5 B．6 C． D．18 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每一个小方格都是边长为1的正方形，、两点在小方格的顶点上，如图所示，点也在小方格的顶点上，若以、、为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是__________平方厘米。 【例4】（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图是一个的方格纸，完成下列任务： (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)连接和，若图中每个小正方形的边长为，则的面积是______． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答： (1)请画出的边上的高； (2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）； (3)直接写出的面积为__________． 【典型例题十二 根据三角形中线求长度、面积】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的中线，连接，的面积是10，则的面积是（    ） A． B．5 C．3 D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长； (2)若，，求与的周长之差． 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，为中线，于于，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪开，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪开的小棒是(   ) A．甲 B．乙 C．甲或乙 D．甲或乙均不可以 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，是的中线，是上的一点，连接，．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为（    ） A．2 B．4 C．3 D． 5．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 8．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）． 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第 2024个的面积为 ． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 13．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知中，，．    (1)画边上的中线，并求长； (2)画边上的高，若，求的面积． 14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是 ； 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由； 若不成立，直接写出他们的关系． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想、和的数量关系是 ． 15． （24-25八年级上·浙江绍兴·期末） 【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$