精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟数学试卷2

镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷2 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B 2. 复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||等于(　　) A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：解：∵点A，B，C对应的复数分别为i，1，4+2i,∴A（0，1），B（1，0），C（4，2）,设D（x，y）,∴, =（3，2）∴D（3，3）∴对角线BD 的长度是 ,故选B. 考点：复数的代数表示法及其几何意义 点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，解题的关键是把复数的代数形式同对应的点的坐标结合起来． 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由得， 又因为， 故选：B. 4. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出. 详解】已知，可得：，， 可得：，得：， 因为，所以，，等式两边同时除以和可得： ，上式可化为：， 又因为，代入上式可得： ， 令，则，，代入可得： ， 因为，所以，则. 根据均值不等式对于有：， 当且仅当，即，时等号成立. 所以，即当时，取得最大值.  因为，且，所以.  当取得最大值时，角. 故选：D. 5. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设, 因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 6. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造平行截面展现空间想象能力，先由重心分割比例，来证明所分成的两个几何体中，有一部分是棱柱．然后利用台体体积和柱体体积公式来求解即可. 【详解】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 8. 已知点M为外接圆O上任意一点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理得， 故． 所以， 当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大， 由于到的距离为,所以的最大值为 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B. 若复数z满足，则复数 C. 复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D. 非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】设，则，求出复数的模，根据已知化简，即可得出圆心、半径，判断A项；设，求出模代入已知，根据复数相等的条件得出方程组，求解方程组，即可判断B项；根据复数的模的概念，即可得出C项；根据复数的加减运算以及模的几何意义，即可得出D项. 【详解】对于A项，设，则， 由可得，， 所以满足的复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项错误； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，由的几何意义知，以为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D正确. 故选：CD. 10. 设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“仿射坐标”定义，．将陌生的仿射坐标转化为熟悉的向量表达式来解题即可． 【详解】根据“仿射坐标”定义，． 对于A，，即，因此．故A正确． 对于B，,则，根据“仿射坐标”定义，的“仿射坐标”为．故B正确． 对于C，若，则， 化简， 即，解得，故C错误． 对于D，若，， 则，联立得出，故D正确． 故选：ABD. 11. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，即可判断A，由线面角的定义即可判断B，由等体积法即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】 对于A，由题意，，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，平面，平面，所以平面平面， 且面面，因为为等边三角形，在平面内过作， 则平面，所以和平面所成角为，故B错误； 对于C，，所以面积为， 因为平面，所以四面体， 故C正确； 对于D，过作交于，因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在等腰三角形中，由等面积法可得 即，在中，，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由此可计算出，，和，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得. 【详解】设，则， ，，，. 与不可能同时成立，丙丁不能同时正确； 时，，不成立，乙丁不能同时正确； 当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意； 当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意； 当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意； 甲丁陈述正确，此时，. 故答案为：. 13. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 14. 某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为_________米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为_________千米/小时. （参考数据：，，，） 【答案】 ①. 1000 ②. 72 【解析】 【分析】由方位角知识得到，，，，，在和中由正弦定理得到米，米，在中由余弦定理得到米千米，由速度公式求得速度. 【详解】 在中，，，米，， 由正弦定理得，即得米； 在中，米，，，， 由正弦定理得，即得米， 中，，米，米， 由余弦定理得， 即，所以米千米， 秒小时，所以速度为千米/小时， 故答案为：1000；72. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，； 因，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 16. 已知正三棱柱，若过面对角线与另一面对角线平行的平面交上底面的一边于点 （1）确定的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面平面； 【答案】（1）为的中点；证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于，根据线面平行的性质定理可得，再由可得答案； （2）由面面垂直的判定定理可得答案. 【小问1详解】 如下图，连接交于，连接， 平面，平面， 平面平面，， 由正三棱柱得， 即为的中点； 【小问2详解】 由正三棱柱得为正三角形， 平面，平面， ， 平面， 平面，平面， 平面平面. 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 18. 四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点． （1）求证：平面； （2）求PC与平面PAD所成的角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）先证明平面，由线面角的定义证明是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值； （3）过点作，根据二面角平面角定义证明 是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形，， 在中，是中点， ， 平面，平面， ， ，平面，平面， 平面， 斜线在平面内的射影为， 即是与平面所成角的平面角， 平面，平面， ， 在中，， 在中，， 平面，平面，， 在中，， 与平面所成角的正切值为． 【小问3详解】 在平面中，过点作，垂足为，连结， 平面，平面， ， ，平面， 平面，又平面 ， 是二面角的平面角， 在中，，，， 在中，，，， 在中，， 由余弦定理得， 二面角的正弦值为． 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； （2）中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， （3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， 【小问3详解】 在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷2 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||等于(　　) A. 5 B. C. D. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A B. C. D. 8. 已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B 若复数z满足，则复数 C. 复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D. 非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 10. 设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的“仿射坐标”为 C. 若，则 D. 若，则 11. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________. 13. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 14. 某校高一学生对学校附近一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为_________米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为_________千米/小时. （参考数据：，，，） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求大小. 16. 已知正三棱柱，若过面对角线与另一面对角线平行的平面交上底面的一边于点 （1）确定的位置，并证明你的结论； （2）证明：平面平面； 17. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 18. 四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点． （1）求证：平面； （2）求PC与平面PAD所成的角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. （1）若，求的面积； （2）证明：； （3）若，求的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$