江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟数学试卷2

镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为 （      ） A． B． C． D． 2．复平面内对应的复数分别为按逆时针顺序作平行四边形,则等于 （ ） A． B． C． D． 3． 已知，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知角 （ ） A． B． C． D． 5．在上，且满足：,若, ，则的面积等于 （ ） A． B． C． D． 6．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 7．已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为 （ ） A. B. C. D. 8．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 （ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是 （ ） A．若复数满足，复数在复平面上对应的点在以为半径的圆上 B．复数满足，则复数 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D． 复数对应的向量为， 复数对应的向量为，若，则 10．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知，对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为下列的“仿射坐标”，若向量的“仿射坐标”分别为，则下列说法正确的是 （ ） A． B．若的“仿射坐标”为 C．若 D．若 11．在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则 （ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.. 13．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图）结合地形，他们选择了两地作为测量点，通过测量得知：两地相距米，分别位于地正东和东偏南方向上，和分别位于地的北偏东和南偏东方向上，则两地间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知角满足 （1）求的值；（2）求的大小. 16．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D； 17．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 18．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点． （1）求证：平面； （2）求PC与平面PAD所成的角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 19．如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记（1）若的面积； （2）证明：； （3）若的面积的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2024-2025高一数学第二学期期末模拟试卷2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为 （   B  ） A． B． C． D． 2．复平面内对应的复数分别为按逆时针顺序作平行四边形,则等于 （ B ） A． B． C． D． 3． 已知，则 （ B ） A． B． C． D． 4．已知角 （ D ） A． B． C． D． 5．在上，且满足：,若, ，则的面积等于 （ D ） A． B． C． D． 6．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】因为 ， 所以，因为与关于y轴对称，则，，，得，，所以的最小值为.故选：C. 7．已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积，过O作分别交AB，BC于点E，F，O为的重心，，且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱，设此正棱台高为，则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为，故选：B． 8．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 （ B ） A. 1 B. C. D. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，故． 所以， 当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大， 由于到的距离为,所以的最大值为故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是 （ CD ） A．若复数满足，复数在复平面上对应的点在以为半径的圆上 B．复数满足，则复数 C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D． 复数对应的向量为， 复数对应的向量为，若，则 10．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知，对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为下列的“仿射坐标”，若向量的“仿射坐标”分别为，则下列说法正确的是 （ ABD ） A． B．若的“仿射坐标”为 C．若 D．若 11．在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则 （ ACD ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 【详解】对于A，由题意，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，平面，平面，所以平面平面， 且面面，因为为等边三角形，在平面内过作， 则平面，所以和平面所成角为，故B错误； 对于C，，所以面积为， 因为平面，所以四面体，故C正确； 对于D，过作交于，因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在等腰三角形中，由等面积法可得 即，在中，，故D正确；故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.. 详解】设，则，，，，. 与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；时，，不成立，乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意；当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意；当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意； 甲丁陈述正确，此时，.故答案为：. 13．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【详解】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 14．某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图）结合地形，他们选择了两地作为测量点，通过测量得知：两地相距米，分别位于地正东和东偏南方向上，和分别位于地的北偏东和南偏东方向上，则两地间的距离为 米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则汽车的车速约为 千米/小时. （参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知角满足 （1）求的值；（2）求的大小. 15．解：（1）因为， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 16．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D⊥平面AA1D； 16．解：（1）为棱的中点，理由如下： 如图，连接， 因为在正三棱柱， 的中点， ， , 的中点； （2）为棱的中点，且为正三角形， ， ， ， ， ， 17．在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 17．解：（1）当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. （2）因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 18．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点． （1）求证：平面； （2）求PC与平面PAD所成的角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 18. 解：（1）取， 的中点， , 为平行四边形， ， ； （2）,， 是所成的角， , 在。 在， ， 在, 所成角的正切值为； （3）在平面中，过点, 在， , 在， 19．如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记（1）若的面积； （2）证明：； （3）若的面积的取值范围. 19．解：（1）在中，由余弦定理可得 ， , 又因为是等腰三角形，, 且， ； （2）证明：在中，由正弦定理可得 。 即， 由于， ， ， 因此； （3）由（2）可知，， ， ， 又因为， 所以， 即的面积的取值范围为 7 学科网（北京）股份有限公司 $$