精品解析：河南省周口市郸城县金科大联考2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024~2025学年度高二年级5月质量检测数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 从4名男生和3名女生中选出1男1女共2人参加一项创新大赛，那么不同的选法种数为（ ） A 7 B. 9 C. 12 D. 16 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 4. 5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 直线被圆截得的最短的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 10. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，过且与轴平行的直线与抛物线和准线分别交于，两点.则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为或 B. 是线段的中点 C. D. 过点与抛物线相切的直线与直线平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和为.若，则公比的取值范围为________. 13. 参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的值域. 17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 18. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 19. 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点在椭圆上.椭圆的左、右顶点分别为A，，点是椭圆外一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点； （3）若四边形的面积是的面积的倍，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二年级5月质量检测数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 从4名男生和3名女生中选出1男1女共2人参加一项创新大赛，那么不同选法种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从4名男生选出1男有4种方法，从3名女生中选出1女有3种方法， 所以共有种， 故选：C 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】由，可知其对称轴为：， 又， 所以， 由对称性可知：， 故选：C 3. 以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（ ） A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为. 故选：D. 4. 5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过捆绑法确定甲、乙、丙3人相邻的排法总数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】5名学生排成一排，共有种排法， 其中甲、乙、丙3人相邻有种， 所以甲、乙、丙3人相邻的概率为， 故选：A 5. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，将问题转化为在上存在变号零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为. 故选：D 6. 直线被圆截得最短的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 7. 已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点在第一象限，先根据条件求出，再根据即可化简得出离心率. 【详解】由题意可知，，渐近线方程为， 因，不妨设点在第一象限， 则由，得，即， 因，则， 结合，得. 故选：A 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 【答案】BC 【解析】 【分析】展开式共项可判断A；写出通项可判断BC；利用二项式系数的性质可得最大，再利用通项即可判断D. 【详解】因，则展开式共有项，故A错误； 通项为， 令，得，则，故B正确； 令，得，不符合题意，故没有含的项，则C正确； 由二项式系数的性质可知最大，故二项式系数最大的项是，故D错误. 故选：BC 10. 袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（ ） A. 随机变量服从超几何分布 B. C. D. 记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率存在的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，过且与轴平行的直线与抛物线和准线分别交于，两点.则（ ） A. 当时，直线的倾斜角为或 B. 是线段的中点 C. D. 过点与抛物线相切的直线与直线平行 【答案】BCD 【解析】 【分析】设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，可求得，，进而可求得弦长，求解可判断A；求得的坐标，进而计算可判断B；求得，可判断C，求得切线方程可判断D. 【详解】由抛物线，可得，准线为， 设过点的直线方程为，代入抛物线 ，得， 所以，则：，， 由，得， 所以中点的坐标为， 过且与轴平行的直线线的方程为， 代入抛物线可得，的坐标为， 与准线  的交点 ， 因为， 又， 所以，又， 所以，解得，所以，所以，， 由题设直线的倾斜角为，，所以，故A错误； 因为，所以 的中点坐标为， 这与  相同，故B正确； 又，所以，所以，故C正确； 设过点与抛物线相切的直线方程为， 与抛物线方程联立可得，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以， 解得，所以过点与抛物线相切的直线方程为，即 所以过点与抛物线相切的直线与直线  平行，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和为.若，则公比的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列化简已知得关于公比为的不等式，解不等式即可得的取值范围. 【详解】由可得，即， 所以，解得，故公比的取值范围为. 故答案为：. 13. 参加数学竞赛的，，，，，这六名同学站成一排合影留念，则，，互不相邻的安排方法有________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将进行排列，再利用插空法即可. 【详解】先将进行排列，再将插进形成的个空隙中， 共有种. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对恒成立，进而分析可得，进而令，求导求得最大值即可. 【详解】由， 可得， 即 因为函数在上单调递增， 所以，即对恒成立， 当时，恒成立，故对恒成立，显然不可能， 故，由，可得或， 为使对恒成立，则， 所以，令，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，从而可求出的通项公式； （2）由（1）可求得的通项公式，利用裂项相消法可求得数列的前项和.. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，可得， 整理得，解得，数列的通项公式； 【小问2详解】 ， 所以 . 故数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【小问1详解】 当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 17. 抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有，，三台抓娃娃机，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，娃娃机每次中奖的概率为，中奖结果与否互不影响. （1）若小张分别操作，，抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率； （2）已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择： 方案一：操作，，抓娃娃机各一次； 方案二：操作抓娃娃机三次. 假设，，三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为20元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择哪种方案较合适. 【答案】（1） （2）选择哪种方案都一样.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式代入计算； （2）列出随机变量的分布列，计算方案一的期望，由二项分布期望公式代入计算方案二的期望，再比较大小可得. 小问1详解】 记小张分别操作，，抓娃娃机能中奖为事件A，B，C， 则，，，，，．     因为每次的结果互不影响，所以小张分别操作，，抓娃娃机能中奖的概率为：． 【小问2详解】 选择方案一：X可能的取值为0，20，40，60，              ， ，       ， 所以， 所以 若选择方案二，设他所获奖品的总件数为Z，则，          ，，，           因为，所以选择方案一和方案二一样． 18. 如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. （1）求的长； （2）若平面，请确定点的位置； （3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1）2； （2）点的位置为靠近的4等分点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出平面的法向量，根据得到方程，求出答案； （3）求出平面的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到，结合自变量取值范围，求出最大值. 【小问1详解】 底面是边长为2的正方形，， 故底面是边长为1的正方形， 所以底面的面积为，底面的面积为， 底面，故为棱台的高， 故棱台的体积为，解得； 【小问2详解】 因为底面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知， 则， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以， 因为平面，所以， 解得，此时，点的位置为靠近的4等分点； 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 由（2）知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 最大值为. 19. 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点在椭圆上.椭圆的左、右顶点分别为A，，点是椭圆外一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：直线过定点； （3）若四边形的面积是的面积的倍，求的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后代入可得椭圆方程； （2）由题可得直线PA，PB方程分别为：，将直线方程与椭圆方程联立，可得，，然后由对称性可得若直线MN过定点，则定点应在x轴上，设为.最后由，可求得定点，即可完成证明； （3）设四边形的面积为，的面积为，的面积为，由题可得，然后分别得到的表达式，解相应方程可得答案. 【小问1详解】 由题可得，又，则. 则，代入，则， 则，得椭圆方程为：； 【小问2详解】 证明：由（1）可得， 又在椭圆外，则 则，则直线PA，PB方程分别为：. 将两直线方程分别与椭圆方程联立，化简后可得： ， 则可得，从而， 则，. 由对称性，当取满足题意的互为相反数的两数时，可得对应MN关于x轴对称， 则若直线MN过定点，则定点应在x轴上，设为. 则 ，又，则. 故直线过定点； 【小问3详解】 设四边形的面积为，的面积为，的面积为. 则，. 又注意到,. 由对称性，考虑，则，. 则 ，又由（2）可得，则， 由对称性可知，当也满足条件，则. 【点睛】关键点睛：对于直线过定点问题，常见思路为用恰当参数表示直线方程，随后利用题目条件，将直线中的参数数量消减为1个，据此求得定点.也可以，用恰当参数表示，直线上两点，随后由题目条件确定定点大致位置，最后利用斜率或向量条件得到相应等式，据此求得直线所过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $