第18讲 导数及导数的几何意义讲义（含“在”，“过”切线方程）-2026届高三数学一轮复习

导数及导数的几何意义 一．函数的平均变化率 一般地，若函数的定义域D，，， 记为自变量的该变量， 为相应的因变量的该变量， 则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率． 注意：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为． 二．导数的概念和几何意义 1．瞬时变化率与导数： 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为， 当无限趋近于0时，若平均变化率无限接近于于一个常数， 那么常数称为函数在点的瞬时变化率． “当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“” 记作：“当时，”，或记作“”， 符号“”读作“趋向于”． 函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作． 这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当时，”或“”． 2．可导与导函数（连续不一定可导，可导一定连续）： 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 3．导数的几何意义： 设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率． 由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于． 三．基本初等函数的导数公式 （1）(C为常数)； （2）()； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 四．导数的运算法则 法则1 　． 法则2 , ． 法则3 ． 五．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 考点一 函数平均变化率 【例1】1．（多选）某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且=10，=1，则这些数据说明后10天与前10天比较下列说法错误的是(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小 2．已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A． B． C． D． 【训练1】1．如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,则下列说法正确的是　　　　． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 2．若函数y=log3x在[a,a+1](a>0)上的平均变化率大于1，则a的取值范围为　　　　　． 3．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　) A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3 4．已知某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列说法正确的是（ ） A．称为函数值的改变量 B．称为函数值的改变量 C．称为函数值的改变量 D．称为函数值的改变量 5．（易错）若函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1=k2 D．不确定 6．（易错）函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1=k2 D．不确定 考点二 导数的定义 【例2】1．若质点A按照规律运动，则在是的瞬时速度为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．若在处可导，则可以等于（    ） A． B． C． D． 【训练2】1．已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 3．若函数在处可导，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知函数，则的值为 ． 考点三 导数的四则运算 【例3】1．函数的导数（ ） A．x＋1 B．2x－3 C．+1 D．x－2 2．已知函数的导函数为，且，则______． 【训练3】1．求导： （1） （2） （3） （4） （5） （6）（2 －5x ＋1） （7） （8） 2．设函数．若，则a=_________． 3．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x　　　B．f(x)＝ln x－2x　　　C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex 4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________． 5．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．－2 6．已知f′(x)是函数f(x)的导数，且．求的解析式． 考点四 简单复合函数求导 【例4】1．函数的导函数是 ． 【训练4】1．函数的导函数是 ． 2．函数的导函数是（ ） 3．函数的导函数是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ ． 考点五 导数的几何意义 【例5】1．已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________． 【训练5】1．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为(　　) A．(1,1) B．(2,3) C．(3,1) D．(1,4) 2．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为　　 A． B． C． D． 考点六 导数的切线方程（“在”的问题）（切点已知） 【例6】1．曲线在点处的切线方程为______． 2．曲线在点处的切线方程为__________． 【训练6】1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 2．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 3．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________． 4．曲线在点处的切线方程为___________． 5．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 6．函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7．曲线在点处的切线方程为__________． 8．（24全国甲文理）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 小结：切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 考点七 导数的切线方程（“过”的问题）（切点未知） 【例7】1．曲线过点（0，－6）处的切线方程为____________． 2．已知曲线y＝x3＋． (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 3． （25全国一）若直线是曲线的切线，则_________． 【训练7】1．已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（ ） A．6 B．9 C．﹣6 D．﹣9 2．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( ) A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0) 3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．函数经过点处的切线方程为____________． 5．写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________． 6．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________． 7．（24新高考一）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________． 8．过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________． 小结：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数及导数的几何意义 一．函数的平均变化率 一般地，若函数的定义域D，，， 记为自变量的该变量， 为相应的因变量的该变量， 则当时，商称作函数在区间（或）的平均变化率． 注意：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为． 二．导数的概念和几何意义 1．瞬时变化率与导数： 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为， 当无限趋近于0时，若平均变化率无限接近于于一个常数， 那么常数称为函数在点的瞬时变化率． “当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“” 记作：“当时，”，或记作“”， 符号“”读作“趋向于”． 函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作． 这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当时，”或“”． 2．可导与导函数（连续不一定可导，可导一定连续）： 如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间 内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 3．导数的几何意义： 设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率． 由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于． 三．基本初等函数的导数公式 （1）(C为常数)； （2）()； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 四．导数的运算法则 法则1 　． 法则2 , ． 法则3 ． 五．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 考点一 函数平均变化率 【例1】1．（多选）某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且=10，=1，则这些数据说明后10天与前10天比较下列说法错误的是(　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小 【答案】ABC 【解析】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的， 故D正确，ABC错误． 2．已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数y=x2+2x在区间[1，1+△x]上的平均变化率为： .故选：C． 【训练1】1．如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况,则下列说法正确的是　　　　． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 【答案】③ 【解析】在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故①②错误,在t0到t1范围内,甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0，所以＞,故③正确，④错误. 2．若函数y=log3x在[a,a+1](a>0)上的平均变化率大于1，则a的取值范围为　　　　　． 【答案】 【解析】因为=log3>1=log33，a>0，所以1+>3，所以0<a<. 3．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　) A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3 【答案】A 【解析】S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率＝＝＝6.3.故选A. 4．已知某物体的位移公式为，从到这段时间内，下列说法正确的是（ ） A．称为函数值的改变量 B．称为函数值的改变量 C．称为函数值的改变量 D．称为函数值的改变量 【答案】C 【解析】由题意，函数值的改变量是指位移值的改变量，即从到这段时间内位移的改变量， 即．选C. 5．（易错）若函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1=k2 D．不确定 【答案】A 【解析】k1＝＝＝2x0＋Δx；k2＝＝＝2x0－Δx， 则k1-k2=4Δx.因为Δx大于零,所以k1>k2. 6．（易错）函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1=k2 D．不确定 【答案】D 【解析】k1＝＝＝2x0＋Δx；k2＝＝＝2x0－Δx. 因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定． 考点二 导数的定义 【例2】1．若质点A按照规律运动，则在是的瞬时速度为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】 2．若在处可导，则可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由导数定义， 对于A， ，A满足； 对于B，， ，B不满足； 对于C，， ，C不满足； 对于D，， ，D不满足.故选：A. 【训练2】1．已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可知，即.故选：D 2．已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，故选：B 3．若函数在处可导，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由导数定义可得，所以．故选：A． 4．已知函数，则的值为 ． 【答案】－20 【解析】由导数定义可得，又，可得， 10，∴． 考点三 导数的四则运算 【例3】1．函数的导数（ ） A．x＋1 B．2x－3 C．+1 D．x－2 【答案】A 【解析】．故选A． 2．已知函数的导函数为，且，则______． 【答案】 【解析】因为，则，故，故． 【训练3】1．求导： （1） （2） 【答案】 【答案】 （3） （4） 【答案】 【答案】 （5） （6）（2 －5x ＋1） 【答案】 【答案】 （7） 【答案】. （8） 【答案】，故 ． 2．设函数．若，则a=_________． 【答案】1 【解析】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：，整理可得：，解得：. 3．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x　　　B．f(x)＝ln x－2x　　　C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex 【答案】AB 【解析】对于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈， ∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0， 故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0， 故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0， 故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB． 4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________． 【答案】－4 【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4. 5．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．－2 【答案】C　 【解析】因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝， 所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝． 6．已知f′(x)是函数f(x)的导数，且．求的解析式． 【答案】 【解析】因为，所以， 则，解得，所以． 考点四 简单复合函数求导 【例4】1．函数的导函数是 ． 【答案】. 【解析】因为，所以. 【训练4】1．函数的导函数是 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 2．函数的导函数是（ ） 【答案】 【解析】因为，所以． 3．函数的导函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 4．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ ． 【答案】e2　 【解析】f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x， ∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2． 考点五 导数的几何意义 【例5】1．已知曲线f(x)＝ax3＋lnx在(1，f(1))处的切线的斜率为2，则实数a的值是________． 【答案】　 【解析】f′(x)＝3ax2＋，则f′(1)＝3a＋1＝2，解得a＝． 【训练5】1．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为(　　) A．(1,1) B．(2,3) C．(3,1) D．(1,4) 【答案】选A　 【解析】y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2， 当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1)． 2．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】y′＝3x2－，∴y′≥－，∴tan α≥－，又α∈[0，π)，故α∈，故选C． 3．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，得，设函数图象上任一点，， 且过该点的切线的倾斜角为，则，， 或．过函数图象上一个动点作函数的切线， 切线倾斜角的范围为，，．故选：． 考点六 导数的切线方程（“在”的问题）（切点已知） 【例6】1．曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】因为，所以 ，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 2．曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】函数的导函数为，所以函数在处的导数值， 所以曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：. 【训练6】1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 【答案】A　 【解析】依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0，故选A. 2．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，将代入得，故选D． 3．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________． 【答案】 【解析】设，则，则．又因为为偶函数，∴， ∴，则在点处的斜率，所以其切线方程为， 即． 4．曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】. 【解析】所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 5．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 6．函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B. 7．曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：， 所以．故切线方程为． 8．（24全国甲文理）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则，即该切线方程为，即， 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 小结：切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 考点七 导数的切线方程（“过”的问题）（切点未知） 【例7】1．曲线过点（0，－6）处的切线方程为____________． 【答案】或 【解析】设该切线的切点坐标为，因为所以该切线方程为，将代入方程整理得，解得，当时，切线方程为；当时，切线方程为，所以经过点且与曲线相切的直线方程为或. 2．已知曲线y＝x3＋． (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程． 【答案】(1)4x－y－4＝0；（2）x－y＋2＝0或4x－y－4＝0 【解析】(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4． ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0． (2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x． ∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋．∵点P(2，4)在切线上， ∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0． 3．（25全国一）若直线是曲线的切线，则_________． 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为，因为切点在曲线上， 所以，即，解得.故答案为：. 法二：对于，其导数为，假设与的切点为， 则，解得.故答案为：. 【训练7】1．已知函数，若过点且与曲线相切的切线方程为，则实数的值是（ ） A．6 B．9 C．﹣6 D．﹣9 【答案】B 【解析】设切点为，因为，所以， 所以在点处的切线方程为,把点A(0,16)代入， 得,解得.所以过点A(0，16)的切线方程为，∴a=9． 2．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( ) A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0) 【答案】C　 【解析】由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)． 3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 【答案】C　 【解析】∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，且y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，∴，解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1. 4．函数经过点处的切线方程为____________． 【答案】或．　 【解析】设切点坐标为．因为， 所以切线方程为．又切线过点， 所以， 即，解得或， 所以经过点且与曲线相切的切线方程为或． 5．写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】因为，当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即；当时，设切点为， 由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点， 所，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 6．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】∵，∴，设切点为,则， 切线斜率,切线方程为：， ∵切线过原点，∴,整理得：， ∵切线有两条，∴，解得或,∴的取值范围是， 故答案为： 7．（24新高考一）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_______． 【答案】 【解析】由得，，故曲线在处的切线方程为； 由得，设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为，根据两切线重合，所以， 解得.故答案为： 8．过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为____． 【答案】，，，只需写出一个答案即可 【解析】设切点为，因为，所以切线方程为． 因为切线经过点，所以，由题意关于的方程没有实数解，则，解得．因为为整数，所以的取值可能是，，. 故答案为：，，，只需写出一个答案即可 小结：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 4 学科网（北京）股份有限公司 $$