第18讲 导数中的零点问题　讲义——2026届高三数学一轮复习

第18讲 导数中的零点问题 【基础回顾】 知识点1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 知识点2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注：函数单调+存在零点=唯一零点 知识点3、函数零点问题的常见题型： 判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 题型一 判断函数零点的个数 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝2x+x﹣6的零点为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【答案】B 【解答】解：由函数y＝2x，y＝x﹣6在R上均单调递增，得f（x）＝2x+x﹣6在R上单调递增， 则f（x）最多只有一个零点，又因为f（2）＝0， 所以函数f（x）的零点为x＝2． 故选：B． 2．函数所有零点之和为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1 【答案】C 【解答】解：f（x）， 当x≤0时，由x2+4x+3＝0，解得x＝﹣3或x＝﹣1； 当0＜x＜4时，由，解得x＝1或x＝3． ∴函数f（x）的所有零点之和为0． 故选：C． 3．函数的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由0，得， 函数y＝log2x与y都是（0，+∞）上的增函数， 且，， 且当x＞16时，函数y比y＝log2x增长的快， 则函数y与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数的零点个数是2． 故选：C． 4．函数f（x）＝2lgx﹣xlg2，则函数f（x）的零点个数是（　　） A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：f（x）＝2lgx﹣xlg2，若函数有意义，需满足x＞0， 令f（x）＝2lgx﹣xlg2＝0，所以， 令，y＝log2x，则，y＝log2x在（0，+∞）上都为增函数， 且易得当x＝2或x＝4时，， 当x∈（0，2）时，易得y＝log2x在的下方， 当x∈（2，4）时，易得y＝log2x在的上方， 当x∈（4，+∞）时，对数函数的增长速度小于一次函数，故此时y＝log2x在的下方． 综上：函数f（x）有两个零点分别为2，4． 故选：A． 5．已知函数则函数f（x）的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：当x≥﹣4时， 令x2﹣2|x|﹣3＝0， 则（|x|﹣3）（|x|+1）＝0， 又因为|x|+1＞0， 所以|x|＝3，解得x＝±3； 当x＜﹣4时， 令2x+13＝0，， 所以f（x）的零点有，﹣3，3，共3个． 故选：C． 题型二 讨论函数零点的个数 含参零点的讨论，采用分类讨论的方法，在参数不同的取值范围内运用零点存在性定理得到零点的个数。 【例题精讲】 1．已知函数（k是常数k∈R），且f（x）是偶函数． （1）求k的值； （2）若函数，求函数y＝g（x）零点． 【答案】（1）； （2）log23． 【解答】解：（1），函数定义域为R， ， f（x）是偶函数，f（﹣x）＝f（x），故k＝﹣（k+1），解得． （2）由（1）可知，， ， 令，解得x＝log23． 故函数y＝g（x）零点为log23． 2．已知函数． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）讨论f（x）零点的个数． 【答案】（1）单调递增区间为（e，+∞），递减区间为（0，e）；（2）答案见解析． 【解答】解：（1）当a＝1时，，定义域为（0，+∞）， ， 令f′（x）＞0，则x＞e；令f′（x）＜0，则0＜x＜e， 故的单调递增区间为（e，+∞），递减区间为（0，e）； （2）由， 得， 令， 则， 当0＜x＜ee﹣1时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，ee﹣1）上单调递增， 当x＞ee﹣1时，φ′（x）＜0，φ（x）在（ee﹣1，+∞）上单调递减， 故， 又，当0＜x＜ee时，φ（x）＞0，当x＞ee时，φ（x）＜0， 当x无限趋近于0时，φ（x）无限接近于0， 作出函数的图象如图： 故当a≤0或a＝ee﹣2时，y＝a与φ（x）的图象有1个交点，即有1个零点； 当0＜a＜ee﹣2时，y＝a与φ（x）的图象有2个交点，即有2个零点； 当a＞ee﹣2，y＝a与φ（x）的图象无交点，即无零点． 3．已知函数f（x）＝ax﹣ex+1，（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）讨论f（x）的零点个数． 【答案】（1）当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f′（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递增，在（lna﹣1，+∞）上单调递减； （2）当a∈（e2，+∞）时，函数f（x）＝ax﹣ex+1有两个零点；当a∈（﹣∞，0）∪{e2}时，函数f（x）＝ax﹣ex+1有一个零点； 当a∈[0，e2）时，函数f（x）＝ax﹣ex+1没有零点． 【解答】解：（1）因为f（x）＝ax﹣ex+1（a∈R，x∈R）， 所以f′（x）＝a﹣ex+1 当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＜lna﹣1；令f′（x）＜0，得x＞lna﹣1， 所以f′（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递增，在（lna﹣1，+∞）上单调递减； 综上所述：当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f′（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递增，在（lna﹣1，+∞）上单调递减． （2）令ax﹣ex+1＝0， 当x＝0时，方程不成立， 所以0不是f（x）的零点， 当x≠0时，则有， 令（x≠0）， 则， 当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且g（x）＜0． 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减， 所以g（x）＞g（1）， 因为g（1）＝e2，所以g（x）＞e2， 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以g（x）＞g（1），即g（x）＞e2， 所以当a＞e2时，直线y＝a与函数有两个交点，函数f（x）＝ax﹣ex+1有两个零点； 当a＝e2时，直线y＝a与函数有一个交点，函数f（x）＝ax﹣ex+1有一个零点； 当0≤a＜e2时，直线y＝a与函数没有交点，函数f（x）＝ax﹣ex+1没有零点； 所以当a＜0时，直线y＝a与函数有一个交点，函数f（x）＝ax﹣ex+1有一个零点； 综上所述，当a∈（e2，+∞）时，函数f（x）＝ax﹣ex+1有两个零点； 当a∈（﹣∞，0）∪{e2}时，函数f（x）＝ax﹣ex+1有一个零点； 当a∈[0，e2）时，函数f（x）＝ax﹣ex+1没有零点． 4．已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a（a＞0）． （1）若a＜1且仅存在两个整数x，使得f（x）＜0，求a的取值范围； （2）讨论f（x）零点的个数． 【答案】（1）[，）；（2）当时，函数f（x）无零点；当a⩽0或a＝1或时，函数f（x）有1个零点；当0＜a＜1或a时，函数f（x）有2个零点． 【解答】解：（1）令g（x）＝（2x﹣1）ex，其中x∈R， 则g′（x）＝（2x+1）ex， 当时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减， 当时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增， 且当时，g（x）＜0；当时，g（x）＞0． 由f（x）＜0可得g（x）＜a（x﹣1）， 作出函数y＝g（x），y＝a（x﹣1）的图象如下图所示： 因为有且只有两个整数x，使得f（x）＜0，f（0）＝﹣1+a＜0， 则满足不等式g（x）＜ax﹣a的整数x只有两个， 所以， 解得， ∴a的取值范围为[，）； （2）考查当直线y＝ax﹣a与函数g（x）相切时，实数a的值， 设切点坐标为（t，（2t﹣1）et），则切线斜率为（2t+1）et， 所求切线方程为y﹣（2t﹣1）et＝（2t+1）et（x﹣t）， 即y＝（2t+1）etx﹣（2t2﹣t+1）et，所以a＝（2t+1）et＝（2t2﹣t+1）et， 解得t＝0或， 当t＝0时，a＝1；当时，． 当a⩽0时，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象只有一个公共点； 当0＜a＜1或时，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象有2个公共点； 当a＝1或时，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象只有1个公共点； 当时，直线y＝ax﹣a与函数g（x）的图象无公共点； 综上所述，当时，函数f（x）无零点； 当a⩽0或a＝1或时，函数f（x）有1个零点； 当0＜a＜1或a时，函数f（x）有2个零点． 5．已知函数f（x）＝xex+ax2+2ax﹣1． （1）当时，求f（x）在x＝﹣2处的切线方程； （2）当时，讨论f（x）零点的个数． 【答案】（1）． （2）当时，f（x）有1个零点； 当a＞0时，f（x）有两个零点． 【解答】解：由f（x）＝xex+ax2+2ax﹣1， 得f'（x）＝（x+1）ex+2ax+2a＝（x+1）（ex+2a）． （1）时，可得，， 则切线方程为，即． （2）（ⅰ）当a＝0时，f（x）＝xex﹣1， 可知x＜0，f（x）＜0， 又f（x）＝xex﹣1为（0，+∞）的增函数，且f（1）＝e﹣1＞0， 所以f（x）仅有一个零点． （ⅱ）当a＞0时，ex+2a＞0， 由x＜﹣1得f'（x）＜0，a＝0为减函数；x＞﹣1得f'（x）＞0，a＝0为增函数． 所以， 又f（1）＝e+3a﹣1＞0，所以存在x1∈（﹣1，1）使f（x1）＝0， 故f（x）在（﹣1，+∞）有唯一零点． 又当x＜﹣2时，，即， 所以， 而图象开口向上， 故存在x0＜﹣2，使得h（x0）＞0，也即有f（x0）＞0， 则存在x2∈（x0，﹣1）使得f（x2）＝0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）有唯一零点， 此时，f（x）有两个零点， （ⅲ）当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣1或x＝ln（﹣2a）， ①若ln（﹣2a）＜﹣1，即，则 当x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；ln（﹣2a）＜x＜﹣1时，f（x）单调递减；x＞﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． 而f（ln（﹣2a））＝a（ln（﹣2a））2﹣1＜0，， 此时，f（x）仅有一个零点． ②若ln（﹣2a）＝﹣1，即，则f'（x）≥0，f（x）为R上的增函数， 因为f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝e+3a﹣1＞0， 此时f（x）仅有一个零点． ③若ln（﹣2a）＞﹣1，即，则 当x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；﹣1＜x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x＞ln（﹣2a）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增． 因，则，f（2）＝2e2+8a﹣1＞0， 结合f（0）＝﹣1＜0知f（x）仅有1个零点． 综上，当时，f（x）有1个零点； 当a＞0时，f（x）有两个零点． 题型三 零点个数求参数范围 利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣acos2πx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：令f（x）＝0，∴x2﹣x+2＝acos2πx． 令g（x）＝x2﹣x+2，h（x）＝acos2πx． 当a＞0时，g（x）与h（x）的大致图象如图（1）所示， 两个函数的图象都关于直线对称，两个函数的图象如果有交点， 交点的个数为偶数，不可能只有一个； 当a＝0时，方程x2﹣x+2＝acos2πx无解； 当a＜0时，g（x）与h（x）的大致图象如图（2）所示，要使两个函数图象只有一个交点， 则有，即，则． 故选：C． 2．若函数f（x）＝lnx﹣mx3+1有2个零点，则m的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知f（x）＝lnx﹣mx3+1，其定义域为（0，+∞），对f（x）求导得， 当m≤0时，在（0，+∞）上，1﹣3mx3＞0，所以f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．此时f（x）不可能有2个零点． 当m＞0时， 令f′（x）＝0，即，因为x＞0，所以1﹣3mx3＝0， 解得x ，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以是f（x）的极大值点，也是最大值点， f（x）max， 因为f（x）有2个零点，所以f（x）max＞0，即， 将不等式变形为﹣ln3m＞﹣2，进一步ln3m＜2，解这个不等式得0＜m， 同时，当x→0+时，lnx→﹣∞，﹣mx3→0，所以f（x）→﹣∞； 当x→+∞时，lnx增长速度远小于x3增长速度，所以﹣mx3→﹣∞，f（x）→﹣∞； 综上有函数f（x）＝lnx﹣mx3+1有两个零点，m的取值范围． 故答案为：． 3．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）有两个零点，则实数a的取值范围是 　（e，+∞）　 ． 【答案】（e，+∞）． 【解答】解：因为f（x）＝xex﹣a（x+lnx）＝ex+lnx﹣a（x+lnx）， 令t＝x+lnx，t∈R，则t（x）在x∈（0，+∞）上单调递增， 所以题意等价于et﹣at＝0有两个根，即et＝at有两个根， 如图， 作出函数y＝et的图像及其过原点的切线y＝et，可知当a＞e时有两个交点即et＝at有两个根． 故答案为：（e，+∞）． 4．已知函数f（x）＝lnx﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围； （3）设g（x）＝ex﹣1+xf（x），若g（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在单调递增，在单调递减； （2）（﹣∞，0]∪{}； （3）a∈（﹣∞，1]． 【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx﹣ax，x＞0， 所以， 当a≤0时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得， 当时，f′（x）＞0，即f（x）在单调递增， 当时，f′（x）＜0，即f（x）在单调递减， 综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增； 当a＞0时，f（x）在单调递增，在单调递减； （2）令f（x）＝lnx﹣ax＝0，则， 设，由题意得g（x）＝a只有一个根， 即直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个交点， 对g（x）求导，得， 令g'（x）＝0，解得x＝e， 当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0； 所以（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减， 所以， 当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＝1时，g（x）＝0；当x＞1时，g（x）＞0， 作出y＝g（x）的图象，如图所示： 又因为直线y＝a与函数y＝g（x）的图象只有一个交点， 所以a≤0或． 所以实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{}； （3）由g（x）＝ex﹣1+xf（x）＝ex﹣1+2lnx﹣ax2， 令x＝1，则g（1）＝1﹣a≥0，故a≤1， 当a≤1时，g（x）＝ex﹣1+xlnx﹣ax2≥ex﹣1+xlnx﹣x2， 以下证明ex﹣1+xlnx﹣x2≥0， 设， 则， 令H（x）＝ex﹣1﹣x，x＞0，则H′（x）＝ex﹣1﹣1， 令H′（x）＝ex﹣1﹣1＝0，解得x＝1， 当x∈（0，1），H′（x）＜0，则H（x）在（0，1）单调递减， 当x∈（1，+∞），H′（x）＞0，则H（x）在（1，+∞）单调递增， 所以H（x）≥H（1）＝0，即ex﹣1﹣x＞0， 所以x∈（0，1）时，G′（x）＜0，则G（x）在（0，1）单调递减， 所以x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0，则G（x）在（1，+∞）单调递增， 所以G（x）≥G（1）＝0， 综上所述，实数a∈（﹣∞，1]． 5．已知函数． （1）求f（x）在[﹣2，3]上的最大值； （2）若函数f（x）恰有三个零点，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为，x∈[﹣2，3]， 所以f′（x）＝﹣3x2+9x﹣6＝﹣3（x﹣2）（x﹣1）， 当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 又f（﹣2）＝8+18+12+a＝38+a，f（2）＝﹣8+18﹣12+a＝a﹣2， 所以当x＝﹣2时，函数f（x）取最大值，最大值为38+a． 所以f（x）在[﹣2，3]上的最大值为38+a． （2）因为， 所以f′（x）＝﹣3x2+9x﹣6＝﹣3（x﹣2）（x﹣1）， 当x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 所以当x＝1时，函数f（x）取极小值，极小值为， 当x＝2时，函数f（x）取极大值，极大值为﹣2+a， 且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞， 因为函数f（x）恰有三个零点， 所以﹣2+a＞0，且， 解得． 所以a的取值范围为． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞） 【答案】C 【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），， ∵函数有且只有一个极值点， ∴方程x2﹣2x+a＝0有一个根大于0，一个根小于等于0， ∴，即a的取值范围是（﹣∞，0]． 故选：C． 2．曲线y＝ex﹣1与y＝x2的公切线的条数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：设y＝ex﹣1的切点为，y＝x2的切点为， y′＝（ex﹣1）′＝ex﹣1，y′＝（x2）′＝2x， 所以y＝ex﹣1在处的切线方程为，即， y＝x2在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令x1﹣1＝t，构造f（t）＝4t﹣et， 则f′（t）＝4﹣et， 当t＜ln4，f′（t）＞0，t＞ln4，f′（t）＜0， 所以f（t）在（﹣∞，ln4）单调递增，（ln4，+∞）单调递减， 故f（t）max＝f（ln4）＝4（ln4﹣1）＞0，且当t→﹣∞，f（t）→﹣∞，t→+∞，f（t）→﹣∞， 故f（t）＝4t﹣et＝0有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2． 故选：C． 3．已知函数，则“”是“f（x）有极值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），且， 函数y＝x2﹣x+a的图象关于直线对称， 则f（x）有极值的充要条件是Δ＝1﹣4a＞0，解得． 于是“”是“f（x）有极值”的充分不必要条件． 故选：A． 4．已知f（x）＝﹣2x3+11x2﹣18x+a，若f（x）＜0当且仅当1＜x＜b或x＞c，其中a，b，c为实数，则方程的所有实根的和为（　　） A．﹣11 B． C． D．11 【答案】D 【解答】解：由题意知：f（x）＜0的解为：1＜x＜b或x＞c， 所以1为方程﹣2x3+11x2﹣18x+a＝0的一个根， 则﹣2+11﹣18+a＝0，即a＝9， 所以f（x）＝﹣2x3+11x2﹣18x+9， 令f（x）＝0，得﹣2x3+11x2﹣18x+9＝﹣（2x﹣3）（x﹣3）（x﹣1）＝0， 即为解得x1＝1，，x3＝3， 则f（x）＜0的解为或x＞3，满足题意， 所以方程的实根为2，3，6，即所有实根的和为11． 故选：D． 5．设函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R），则“a2＞3b”是“f（x）有三个不同的零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：因为f（x）＝x3+ax2+bx．所以f′（x）＝3x2+2ax+b，x∈（﹣∞，+∞） 因为f（x）有三个不同的零点，f（x）必有两个极值点，则f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不同的根， 所以Δ＝4a2﹣12b＞0，所以a2＞3b，必要性成立； 又因为f（x）有两个极值点，但f（x）的两个极值不一定异号， 例如a＝b＝4时，a2＞3b，f（x）＝x3+4x2+4x＝x（x+2）2只有两个不同零点，充分性不成立． 故选：B． 6．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣acos2πx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：令f（x）＝0，∴x2﹣x+2＝acos2πx． 令g（x）＝x2﹣x+2，h（x）＝acos2πx． 当a＞0时，g（x）与h（x）的大致图象如图（1）所示， 两个函数的图象都关于直线对称，两个函数的图象如果有交点， 交点的个数为偶数，不可能只有一个； 当a＝0时，方程x2﹣x+2＝acos2πx无解； 当a＜0时，g（x）与h（x）的大致图象如图（2）所示，要使两个函数图象只有一个交点， 则有，即，则． 故选：C． 7．关于函数，下列说法正确的是（　　） ①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0； ②f（x）的图象关于原点对称； ③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是； ④f（x）在（﹣1，1）上单调递减． A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：函数，求导得f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）， 对于①，f′（3）＝4，而，则切线方程为，即8x﹣2y﹣25＝0，①正确； 对于②，，则f（x）的图象关于原点不对称，②错误； 对于③，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜2时，f′（x）＜0， 即函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减， 因此函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝2处取得极小值， 函数y＝f（x）﹣m的零点，即直线y＝m与函数y＝f（x）图象交点的横坐标， 因此当直线y＝m与函数y＝f（x）图象有3个交点时，，③正确； 对于④，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，④正确． 故选：D． 8．设函数f（x）＝eax﹣2+（a﹣1）x﹣lnx﹣2有2个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e） B． C． D．（0，e） 【答案】D 【解答】解：f（x）＝eax﹣2+（a﹣1）x﹣lnx﹣2（x＞0）有2个零点， 所以eax﹣2+（a﹣1）x﹣lnx﹣2＝0有2个实数根， 所以eax﹣2+ax﹣2＝x+lnx＝elnx+lnx， 令g（x）＝ex+x，则g'（x）＝ex+1＞0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以ax﹣2＝lnx，所以， 由函数f（x）＝eax﹣2+（a﹣1）x﹣lnx﹣2（x＞0）有2个零点， 所以有2个实数根， 令，则， 令φ′（x）＝0，可得， 当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减， 又x→0时，φ（x）→﹣∞，当x→+∞时，φ（x）→0， 又φ（x）max， 所以实数a的取值范围是（0，e）． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知x1是函数f（x）＝x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）＝x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C． D． 【答案】AC 【解答】解：已知x1是函数f（x）＝x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）＝x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1， 由f（x）＝x+1﹣ln（x+2），x＞﹣2， ∴， 当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（﹣1）＝0， 则函数f（x）存在唯一零点，即x1＝﹣1， ∵|﹣1﹣x2|≤1，∴﹣2≤x2≤0，即g（x）在[﹣2，0]有零点， ①若Δ＝4a2﹣4（4a+4）＝0，即， 此时g（x）的零点为a，显然符合题意； ②（i）若Δ＝4a2﹣4（4a+4）＞0，即或， 若g（x）在[﹣2，0]只有一个零点，则g（﹣2）g（0）≤0，∴a＝﹣1； （ii）若g（x）在[﹣2，0]有两个零点， 则，解得， 综上所述，实数a的取值范围为． 故选：AC． （多选）10．已知函数y＝x+ex的零点为x1，y＝x+lnx的零点为x2，则（　　） A．x1+x2＞0 B．x1x2＜0 C．lnx2＝0 D．x1x2﹣x1+x2＜1 【答案】BCD 【解答】解：∵函数y＝x+ex的零点为x1，y＝x+lnx的零点为x2， ∴函数y＝﹣x与函数y＝ex图象的交点的横坐标为x1， 函数y＝﹣x与函数y＝lnx图象的交点的横坐标为x2， 作函数y＝﹣x、函数y＝ex、函数y＝lnx的图象如下， 故点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2， ∵函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称， 函数y＝﹣x的图象关于直线y＝x对称， ∴点A、B关于直线y＝x对称， 又∵点A、B在直线y＝﹣x上， ∴点A、B关于原点对称， ∴x1+x2＝0， 故选项A错误； 易知x1x2＜0， 故选项B正确； ∵x1，lnx2＝﹣x2，x1+x2＝0， ∴lnx2＝0， 即选项C正确； 易知﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1， ∴（x1+1）（x2﹣1）＜0， 即x1x2﹣x1+x2＜1， 故选项D正确； 故选：BCD． （多选）11．函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（　　） A． B． C．k＝1 D．k＞1 【答案】ABC 【解答】解∵函数在（0，+∞）上有唯一零点x0， ∴ex•x﹣（lnx+k）﹣x＝0， ∴xex﹣k﹣ln（xex）＝0， 令t＝xex，（t＞0），则g（t）＝t﹣k﹣lnt，（t＞0）此函数只有一个零点， ∴，可知g（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ∴g（1）＝0， ∴k＝1，此时1 ⇒． 故选：ABC． 三．填空题（共3小题） 12．已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， f′（x）＝lnx+1﹣ax﹣1＝lnx﹣ax， 要使函数f（x）有两个极值点，只需f'（x）＝0有两个不同正根x1，x2，并且x1，x2两侧的函数f（x）单调性相反， 由f'（x）＝0得，lnx﹣ax＝0，所以， 由题意可知与y＝a有两个不同的交点， 令，则， 所以当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，e）上单调递增， 当x＞e时，h′（x）＜0，函数h（x）在（e，+∞）上单调递减， 所以，当x→+∞时，h（x）→0， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为． 故答案为：． 13．已知函数f（x）＝e﹣2x+ax2在（﹣∞，0）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣2e）　 ． 【答案】（﹣∞，﹣2e）． 【解答】解：函数f（x）＝e﹣2x+ax2，求导得f′（x）＝﹣2e﹣2x+2ax， 令f′（x）＝0，得，x＜0， 若函数f（x）在区间（﹣∞，0）恰有两个极值点， 则y＝a与函数在区间（﹣∞，0）恰有2个交点， ，x＜0， 当g′（x）＝0，得， 当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当时，g（x）取得最大值﹣2e，当x→﹣∞，g（x）→﹣∞，当x→0，g（x）→﹣∞ 所以a＜﹣2e，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2e）． 故答案为：（﹣∞，﹣2e）． 14．函数f（x）＝x3+ax+2有3个零点，则a的取值范围是　（﹣∞，﹣3）　 ． 【答案】（﹣∞，﹣3）． 【解答】解：已知函数f（x）＝x3+ax+2， 则f′（x）＝3x2+a， 又函数f（x）＝x3+ax+2有3个零点， 则函数f（x）要存在极大值和极小值， 则a＜0， 当时，f′（x）＞0， 当时，f′（x）＜0， 所以f（x）在上单调递增； f（x）在上单调递减， 所以f（x）的极大值为，极小值为， 则， 即， 解得a＜﹣3， 即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝ax﹣（lnx）2． （I）a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）f（x）有3个零点x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：（lnx2﹣lnx1）•lnx3． 【答案】（Ⅰ）x﹣y＝0；（Ⅱ）（i）（0，）；（ii）证明见解析． 【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝x﹣（lnx）2，且f（1）＝1，f′（x）＝1﹣2lnx•，所以k＝f′（1）＝1， 所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即x﹣y＝0； （Ⅱ）（i）由f（x）＝0，得a，x＞0； 设g（x），则g′（x）， 令g′（x）＝0，得x＝1或x＝e2， 所以x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）∈（0，+∞）； x∈（1，e2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）∈（0，）； x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）∈（0，）； 画出函数g（x）的大致图象，如图所示： 由函数的图象，结合题意知，a的取值范围是（0，）； （ii）证明：由（i）知，0＜x1＜1＜x2＜e2＜x3，设lnx1＝t1，lnx2＝t2，lnx3＝t3， 则t1＜0＜t2＜2＜t3，又，由②③得，两式相减得t3﹣t2＝2（lnt3﹣lnt2）， 由对数均值不等式得2，所以t3t2＜4； 要证（lnx2﹣lnx1）lnx3，即证t2t3﹣t1t3， 只需证4﹣t1t3，即证﹣t1t3， 又因为t1＜0，aa，所以|t1|＝﹣t1， 所以﹣t1t3，只需证； 设h（t），t＞2，则h′（t）， 当2＜t＜4时，h′（t）＞0，h（t）在（2，4）上单调递增； 当t＞4时，h′（t）＜0，h（t）在（4，+∞）上单调递减； 所以h（x）max＝h（4），即h（t）， 由4e2﹣16e+16＝4（e﹣2）2＞0，得成立，命题得证． 16．已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx． （1）当a＝0时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）函数f（x）的最大值为﹣1； （2）（0，+∞）． 【解答】解：（1）当a＝0时，，则， 易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值， ∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1； （2）， ①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点； ②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点； ③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减， 且f（1）＝a﹣1＜0，， 又由（1）可得，，即，则lnx＜x，，则， 当x＞1时，， 故存在，使得f（m）＞0， ∴此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点； ④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点； ⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减， 且f（1）＝a﹣1＞0， 又由（1）可得，当0＜x＜1时，，则，则， 此时， 故存在，使得f（n）＜0， 故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点； 综上，实数a的取值范围为（0，+∞）． 17．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a． （1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0． ∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； （2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意； 当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna， 当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． ∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）． 又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞． ∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可， 则1+lna＞0，可得a． 综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）． 18．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k， k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增， k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x或x， 令f′（x）＜0，解得：x， ∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增， 综上，k≤0时，f（x）在R递增， k＞0时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增； （2）由（1）得：k＞0，f（x）极小值＝f（），f（x）极大值＝f（）， 若f（x）有三个零点， 只需，解得：0＜k， 故k∈（0，）． 19．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， ∵e2x＞0，ex＞0 ∴当a≤0时，f′（x）＜0， ∴f（x）在R上单调递减， 当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex）（ex）， 令f′（x）＝0，解得：x＝ln， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln， ∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增； 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当a＞0时，f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x， 当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0， ∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞， 当x→∞，e2x→+∞，且远远大于ex和x， ∴当x→∞，f（x）→+∞， ∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可， 由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数， ∴f（x）min＝f（ln）＝a×（）+（a﹣2）ln0， ∴1ln0，即ln1＞0， 设t，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0）， 求导g′（t）1，由g（1）＝0， ∴t1，解得：0＜a＜1， ∴a的取值范围（0，1）． 方法二：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， ∵e2x＞0，ex＞0 ∴当a≤0时，f′（x）＜0， ∴f（x）在R上单调递减， 当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex）（ex）， 令f′（x）＝0，解得：x＝﹣lna， 当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna， 当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna， ∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增； 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， ②当a＞0时，由（1）可知：当x＝﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min＝f（﹣lna）＝1ln， 当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（x）只有一个零点， 当a∈（1，+∞）时，由1ln0，即f（﹣lna）＞0， 故f（x）没有零点， 当a∈（0，1）时，1ln0，f（﹣lna）＜0， 由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0， 故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点， 假设存在正整数n0，满足n0＞ln（1），则f（n0）（aa﹣2）﹣n0n0n0＞0， 由ln（1）＞﹣lna， 因此在（﹣lna，+∞）有一个零点． ∴a的取值范围（0，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 导数中的零点问题 【基础回顾】 知识点1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 知识点2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注：函数单调+存在零点=唯一零点 知识点3、函数零点问题的常见题型： 判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 题型一 判断函数零点的个数 函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例题精讲】 1．函数f（x）＝2x+x﹣6的零点为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 2．函数所有零点之和为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．0 D．1 3．函数的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．函数f（x）＝2lgx﹣xlg2，则函数f（x）的零点个数是（　　） A．2 B．3 C．1 D．0 5．已知函数则函数f（x）的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 讨论函数零点的个数 含参零点的讨论，采用分类讨论的方法，在参数不同的取值范围内运用零点存在性定理得到零点的个数。 【例题精讲】 1．已知函数（k是常数k∈R），且f（x）是偶函数． （1）求k的值； （2）若函数，求函数y＝g（x）零点． 2．已知函数． （1）当a＝1时，求f（x）的单调区间； （2）讨论f（x）零点的个数． 3．已知函数f（x）＝ax﹣ex+1，（a∈R）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）讨论f（x）的零点个数． 4．已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a（a＞0）． （1）若a＜1且仅存在两个整数x，使得f（x）＜0，求a的取值范围； （2）讨论f（x）零点的个数． 5．已知函数f（x）＝xex+ax2+2ax﹣1． （1）当时，求f（x）在x＝﹣2处的切线方程； （2）当时，讨论f（x）零点的个数． 题型三 零点个数求参数范围 利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣acos2πx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 2．若函数f（x）＝lnx﹣mx3+1有2个零点，则m的取值范围是　 　 ． 3．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）有两个零点，则实数a的取值范围是 　 　 ． 4．已知函数f（x）＝lnx﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围； （3）设g（x）＝ex﹣1+xf（x），若g（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 5．已知函数． （1）求f（x）在[﹣2，3]上的最大值； （2）若函数f（x）恰有三个零点，求a的取值范围． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞） 2．曲线y＝ex﹣1与y＝x2的公切线的条数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则“”是“f（x）有极值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知f（x）＝﹣2x3+11x2﹣18x+a，若f（x）＜0当且仅当1＜x＜b或x＞c，其中a，b，c为实数，则方程的所有实根的和为（　　） A．﹣11 B． C． D．11 5．设函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R），则“a2＞3b”是“f（x）有三个不同的零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数f（x）＝x2﹣x﹣acos2πx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 7．关于函数，下列说法正确的是（　　） ①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0； ②f（x）的图象关于原点对称； ③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是； ④f（x）在（﹣1，1）上单调递减． A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 8．设函数f（x）＝eax﹣2+（a﹣1）x﹣lnx﹣2有2个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e） B． C． D．（0，e） 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知x1是函数f（x）＝x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）＝x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C． D． （多选）10．已知函数y＝x+ex的零点为x1，y＝x+lnx的零点为x2，则（　　） A．x1+x2＞0 B．x1x2＜0 C．lnx2＝0 D．x1x2﹣x1+x2＜1 （多选）11．函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，则（　　） A． B． C．k＝1 D．k＞1 三．填空题（共3小题） 12．已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为　 　 ． 13．已知函数f（x）＝e﹣2x+ax2在（﹣∞，0）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是　 　 ． 14．函数f（x）＝x3+ax+2有3个零点，则a的取值范围是　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝ax﹣（lnx）2． （I）a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）f（x）有3个零点x1，x2，x3，且（x1＜x2＜x3）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：（lnx2﹣lnx1）•lnx3． 16．已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx． （1）当a＝0时，求f（x）的最大值； （2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围． 17．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 18．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围． 19．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $