上海市普陀区长征中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期高二期末测试数学学科试卷 (时间120分钟,满分150分)2025.06 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分. 1.双曲线的右焦点坐标是_____. 2.若,则_____. 3.在的展开式中,含项的系数为_____. 4.直线经过点和,则此直线的斜率为_____. 5.设为正整数,计算_____. 6.已知是等比数列,,则公比_____. 7.顶点在坐标原点,以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 8.设,则_____. 9.从全班位学生中选派人去参加表彰会,其中正、副班长两人中至少有一人参加,则不同的选派方式共有__________种. 10.把这五个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰好先递减后递增,则这样的数列共有__________个. 11.已知点,是椭圆的右焦点,是椭圆上一动点,则周长的最大值为________. 12南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.三角垛的最上层(即第一层)有个球,第二层有个球,第三层有个球...从第二层开始,每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有个篮球,把它们堆放成一个三角垛,那么剩余篮球的个数最少为__________. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14每题4分,15-16每题5分,选对得分,否则一律得零分. 13.圆心为且过原点的圆的标准方程是. 14.年北京冬奥会速度滑冰、花样滑冰、冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是 15.在数列中,,,则. 16.设椭圆的标准方程为>>，若斜率为1的直线与椭圆相切同时亦与圆为椭圆的短半轴)相切，记椭圆的离心率为，则的值为 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分14分,第(1)小题7分,第(2)小题7分). 在某次社会实践活动中,学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相,求下列排法种数. 甲乙两人不相邻； 甲在排头并且乙不在末尾. 18.(本题满分14分,第(1)题8分,第(2)题6分). 已知等差数列中，，公差；等比数列中,，是和的等差中项，是和的等差中项. 求数列，的通项公式； 求数列的前项和. 19.(本题满分14分,第(1)题4分,第(2)题10分). 已知的二项展开式中，二项式系数之和为64. 求的值； 求的展开式中的常数项. 20.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(3)题8分). 定义:对于任意,满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. 若,试举反例说明数列不是数列； 若,证明:数列是数列； 设数列的通项为,且数列是数列,求常数的取值范围. 21.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(3)题8分). 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,焦距是. 求椭圆的方程； 若直线与椭圆交于两个不同点、,以线段为直径的圆经过原点,求实数的值: 设、为椭圆的左、右顶点,为椭圆上除、外任意一点,线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点,分别过点和作轴的垂线,垂足分别为和,求证:线段的长为定值. 2024学年第二学期高二期末测试数学学科试卷 (时间120分钟,满分150分)2025.06 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分. 1.双曲线的右焦点坐标是_____. 解析：因为,所以, 且焦点在轴上, 所以右焦点为 2.若,则_____. 解析： , 又，解得. 3.在的展开式中,含项的系数为_____. 解析：由二项式定理可得:的展开式的通项为: 令，则 4.直线经过点和,则此直线的斜率为_____. 解析：直线经过点和, 则直线的斜率为. 5.设为正整数,计算_____. 解析： 6.已知是等比数列,,则公比_____. 解析：是等比数列，,， 解得 7.顶点在坐标原点,以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 解析：若焦点在轴上，设它的标准方程为 若焦点在轴，设它的标准方程为 综上：抛物线方程为或 8.设,则_____. 解析：由于， 故令，可得. 9.从全班位学生中选派人去参加表彰会,其中正、副班长两人中至少有一人参加,则不同的选派方式共有__________种. 解析：由题设，正副班长只有一人参加时有种选法， 正副班长都参加时有种选法， 所以共有种选法 10.把这五个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰好先递减后递增,则这样的数列共有__________个. 解析：从中选出一个数排在的右侧，其余排在的左侧,得到先增后减的数列有， 从中选出两个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先增后减的数列有， 从中选出三个数排在的右侧,其余排在的左侧，得到先增后减的数列有， 故满足条件的数量总个数为个. 11.已知点,是椭圆的右焦点,是椭圆上一动点,则周长的最大值为________. 解析：的周长为， 而， 的周长为 当最大时，三点共线， 如图所示， 由题意得，，点坐标为坐标为 则的周长最大为 12南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.三角垛的最上层(即第一层)有个球,第二层有个球,第三层有个球...从第二层开始,每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有个篮球,把它们堆放成一个三角垛,那么剩余篮球的个数最少为__________. 解析：由题意得，，，，，， 以上个式子累加可得， 又满足上式，所以， . 所以剩余篮球的个数最少为. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,13-14每题4分,15-16每题5分,选对得分,否则一律得零分. 13.圆心为且过原点的圆的标准方程是. 解析：由题意知圆半径， 圆的方程为. 所以选:. 14.年北京冬奥会速度滑冰、花样滑冰、冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是 解析：由题意，甲乙同组，分组时，如有三人组，必是甲乙所在组，此时有中分组方法，如果甲乙一组，则分组方法为种， 故三个项目都有人参加的不同方案共有种. 所以选:. 15.在数列中,,,则. 解析： 所以是以为周期的数列，所以 所以选 16.设椭圆的标准方程为>>，若斜率为1的直线与椭圆相切同时亦与圆为椭圆的短半轴)相切，记椭圆的离心率为，则的值为 解析：设切线方程为,代入椭圆方程可得: 因为相切， 直线与圆相切可得:，或(舍去) 则有 因为， 所以可得. 所以选:. 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分14分,第(1)小题7分,第(2)小题7分). 在某次社会实践活动中,学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相,求下列排法种数. 甲乙两人不相邻； 甲在排头并且乙不在末尾. 解析：先排其余人，有种情况， 再把甲乙插入人之间的个空中，共有种， 所以共有种排法； 首先排甲有种排法，再排乙有种排法，排其余人有种情况， 所以共有种排法. 18.(本题满分14分,第(1)题8分,第(2)题6分). 已知等差数列中，，公差；等比数列中,，是和的等差中项，是和的等差中项. 求数列，的通项公式； 求数列的前项和. 解析：等差数列中，，公差，即有； 等比数列中，，设公比为， 由是和的等差中项，是和的等差中项， 可得，， 即有，，，， 解得， 则； ， 则前项和 19.(本题满分14分,第(1)题4分,第(2)题10分). 已知的二项展开式中，二项式系数之和为64. 求的值； 求的展开式中的常数项. 解析：由题意可得:， 所以. 由知:， 而的展开式通项为， 所以常数项为. 20.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(3)题8分). 定义:对于任意,满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. 若,试举反例说明数列不是数列； 若,证明:数列是数列； 设数列的通项为,且数列是数列,求常数的取值范围. 解析：由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. 因为, 所以当即时,，此时数列单调递增 当时,，此时数列单调递减；故数列的最大项是, 所以，的取值范围是 当时，当时，，， 由得， 即当时符合条件. 若，则，此时 于是 又对于有， 所以当时数列是数列； ②当时, 取则:，，， 由，所以时数列不是数列. ③当时， 取则，，， 由，所以时数列不是数列. 综上:当时数列是数列；当时数列不是数列. 21.(本题满分18分,第(1)题4分,第(2)题6分,第(3)题8分). 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,焦距是. 求椭圆的方程； 若直线与椭圆交于两个不同点、,以线段为直径的圆经过原点,求实数的值: 设、为椭圆的左、右顶点,为椭圆上除、外任意一点,线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点,分别过点和作轴的垂线,垂足分别为和,求证:线段的长为定值. 解析：因为，， 所以，， 又， 解得，， 所以椭圆的方程为； 设， 联立方程组，可得， ，解得， 则由韦达定理可得，，， 则， 又以线段为直径的圆经过原点,所以•， 即 解得； 证明:由题意，,设， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由中点坐标公式可得，， 所以直线的方程为， 联立直线和直线的方程可得， 所以， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$