精品解析：安徽省六安市霍邱县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

霍邱县2024-2025学年度第二学期期中考试八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据进行化简，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是正确的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：A． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 把方程转化成的形式，则，的值是（ ） A. 3，8 B. 3，10 C. ，3 D. ，10 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出m与n的值． 【详解】解：方程移项得：x2-6x=1， 配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10， ∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式， ∴m=-3，n=10． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 7. 若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：，根据是整数，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是整数，n为自然数 ∴为完全平方数且 的最大值为 ∴或1或4或9 ∴或或或0． ∴满足条件的自然数共4个 故答案为：C． 8. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ） A. 2027 B. 2025 C. 2023 D. 2021 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质． 依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的值的总和． 【详解】解：∵， 当时，， 即当时，； 当时，， 即当分别取时，的值均为 1 ， ∴当分别取时，所对应的值的总和是． 故选：A． 9. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为( ) A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作于点，为的中线， 在中，，，， 在中， 为斜边上的中线，， 中边的“中偏度值”为： 故选：C． 10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x＞． 【解析】 【详解】解：依题意得：2x+3＞0．解得x＞．故答案为x＞． 12. 电影《哪吒2》于2025年1月29日在中国上映，第一天票房约4.73亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约18亿，若把增长率记作，则方程可以列为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设平均每月的增长率为x，根据等量关系式：第一天的票房第三天的票房列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13. 古代数学家曾经探究出这样一个结论：如图，在中，，点在这上，则，当，，时，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，线段的和差，解题的关键是将数据代入求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是射线上的动点，， （1）当时，_____． （2）当是直角三角形时，的长为______． 【答案】 ①. ， ②. ，或 【解析】 【分析】（1）分类讨论：当P在线段上时，证明是等边三角形即可求解；当P在线段的延长线上时，过P作于G，在中，分别根据余弦、正弦的定义求出、，然后在中根据勾股定理求解即可； （2）分类讨论，当时，分两种情况讨论，情况一：P在线段上，如图，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论；情况二：P在线段的延长线上，如图，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；当时，如图，由对顶角的性质可得，利用正弦的定义求出的长即可； 【详解】解：∵，， ∴， （1）当P在线段上时，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； 当线段的延长线上时，如图，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为1或， 故答案为：1或； （2）当，P在线段上时，如图， ，， ， ， 为等边三角形， ； 当，P在线段的延长线上时，如图， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 当时，如图， ， ， ， 在直角三角形中， ； 综上，的长为，或 故答案为：，或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，等边三角形的判定与性质等知识，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共计90分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：． ， ， 或， 解得，． 16. 如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． （2）在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 【答案】（1） 如图1：即为所求， ． （2） 如图2，即为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形，无理数，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）找出常用的勾股数作图即可； （2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可． 【小问1详解】 解：∵ ，，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 17. 如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出的长，进而可以得到的各边长，再根据勾股定理的逆定理得到此三角形是直角三角形，进而得到所求面积为的面积减去的面积，即可得到答案； 【详解】解：∵， ， ， ， 是直角三角形，且 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解决此题的关键是合理的利用勾股定理逆定理． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 19. 用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第个图形中含有正方体木块个． （1）填表： 1 2 3 4 ．．． （2）第个图形中的正方体木块有_______个（用含的表达式表示）． （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；6；15；28 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】此题考查了图形的变化规律，一元二次方程的解法等知识，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． （1）由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…以此规律求解即可； （2）利用（1）中规律求解即可； （3）把代入，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； 故答案为：1；6；15；28； 【小问2详解】 解：由（1）知第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个， 即， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得：（舍去），， 存在，它是第30个图形． 20. 如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 21. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【解析】 【分析】设每件商品应降价x元，然后根据题意可知（40﹣30﹣x）（8x+48）＝504，进而求解即可 【详解】每件商品应降价x元，由题意，得（40﹣30﹣x）（8x+48）＝504， 解得：， ∵有利于减少库存， ∴x＝3． 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键 22. 小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝＝2﹣， ∴a＝2﹣， ∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 【答案】（1） （2）①3；②﹣18 【解析】 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）各式变形后，将a的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： =（-1）+（-）+（-）+…+（-） =-1； 【小问2详解】 解：①∵a=+1， ∴a−1=， ∴(a−1)2=2， ∴a2−2a=1， ∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3； ②∵a2−2a=1， ∴3a3﹣12a2+9a﹣12 =3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12 =3a-6a2+9a-12 =-6（a2﹣2a）-12 =﹣18． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是_______． （2）判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】（1）4或 （2） 关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）①；②1或3或5 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2024-2025学年度第二学期期中考试八年级 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程转化成的形式，则，的值是（ ） A. 3，8 B. 3，10 C. ，3 D. ，10 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 7. 若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知，当分别取得1，2，3，…，2025时，所对应值的总和是（ ） A. 2027 B. 2025 C. 2023 D. 2021 9. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，则中边的“中偏度值”为( ) A. 2 B. 3 C. D. 10. 关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是______． 12. 电影《哪吒2》于2025年1月29日在中国上映，第一天票房约4.73亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约18亿，若把增长率记作，则方程可以列为___________． 13. 古代数学家曾经探究出这样一个结论：如图，在中，，点在这上，则，当，，时，________． 14. 如图，在中，，，是射线上的动点，， （1）当时，_____． （2）当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共计90分） 15. 解方程：． 16. 如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数． （2）在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形． 17. 如下图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，，求四边形的面积．（单位：米） 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19. 用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第个图形中含有正方体木块个． （1）填表： 1 2 3 4 ．．． （2）第个图形中的正方体木块有_______个（用含的表达式表示）． （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 21. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 22. 小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝＝2﹣， ∴a＝2﹣， ∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是_______． （2）判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $